35585.com:(教师用书)高中数学 3.1.1-2 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算课件 新人教版选修2-1_图文

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3.1 3.1.1 3.1.2 空间向量及其运算 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算 ? 教师用书独具演示 ●三维目标 1.知识与技能 理解空间向量的概念,会用图形说明空间向量的线性运 算及其运算律,初步应用空间向量的线性运算解决简单的立 体几何问题. 2.过程与方法 学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研 究内容和方法,经历向量及其运算由平面向空间的推广,体 验数学概念的形成过程. 3.情感、态度与价值观 培养学生的空间观念和系统学习概念的意识. ●重点难点 重点:空间向量的概念及线性运算. 难点:共线向量、共面向量定理及推论的应用. (教师用书独具) ●教学建议 由平面向量向空间向量的推广过程中,学生对于其相同点与 不同点的理解有一定的困难,本节可采用的教学方式是通过 问题启发引导学生自主完成概念的探究过程,紧紧围绕空间 向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学,并从教学过 程的每个环节入手,多举实例,努力突破教学难点. ●教学流程设计 演示结束 课 1.理解空间向量的概念.(难点) 标 2.掌握空间向量的线性运算.(重点) 解 3.掌握共线向量定理、共面向量定理 读 及推论的应用.(重点、难点) 空间向量的概念 【问题导思】 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量 → → → OA,OB,OC,它们和以前所学的向量有何不同? → → → 【提示】 OA,OB,OC是不同在一个平面内的向量, 而我们以前所学的向量都在同一平面内. 名称 空间向 量 单位向 量 相等向 量 相反向 量 定义 大小 和_______ 方向 的量叫做 在空间中,具有_____ 空间向量,向量的大小叫做向量的 长度(模) __________ 长度或模为____ 1 的向量 长度为0 的向量 零向量 ________ 相同 相等 的向量 方向________ 且模_________ 方向 相反且________ 长度 相等的向量 ________ 空间向量的线性运算 【问题导思】 1.平面向量的加、减法满足怎样的运算法则? 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边 形法则,减法满足三角形法则. 2.平面向量中,数乘向量怎样定义的? 【提示】 平面中,实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一 个向量,称为向量的数乘;当 λ>0 时, λa 与 a 方向相同, 当 λ<0 时,λa 与 a 方向相反,λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍. 1.(1)空间向量的加、减法运算(如图 3-1-1) 图 3-1-1 → → → → → → OB=OA+AB=a+b;CA=OA-OC=a-b. (2)运算律:①a+b=b+a; ②(a+b)+c=a+(b+c). 2.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个 向量 ,称为向量的数乘运算. _______ (2)运算律:①λ(a+b)=λa+λb;②λ(μa)=(λμ)a. 共线向量与共面向量 1.共线向量 (1) 定 义 : 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互相平行或重合 共线向量 或平行向量; ______________,则这些向量叫做__________ (2)共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠0), a=λb a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__________. 2.共面向量 同一个平面 的向量叫做共面向量. (1)定义:平行于_____________ (2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x, y), p=x a+y b 使____________. 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 → → → 序实数对(x, y), 使_______________ 或对空间任一定点 O, AP=xAB+yAC ; → → → → 有OP=OA+xAB+yAC. 推论 空间向量的有关概念 给出下列命题: ①零向量没有确定的方向; → → ②在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AC=A1C1; ③若向量 a 与向量 b 的模相等,则 a,b 的方向相同或 相反; → → → ④在四边形 ABCD 中,必有AB+AD=AC. 其中正确命题的序号是________. 【思路探究】 (1)空间向量中,零向量是怎样定义的? (2)怎样判断两个向量相等?(3)四边形 ABCD 满足什么条件 → → → 时,才有AB+AD=AC? → → 【自主解答】 ①正确;②正确,因为AC与A1C1的大小 和方向均相同;③|a|=|b|,不能确定其方向,所以 a 与 b 的 方向不能确定;④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时, → → → 才有AB+AD=AC. 综上可知,正确命题为①②. 【答案】 ①② 1.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同. 2.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向 量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决. 3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任 何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性. 下列命题是假命题的为________. (1)空间向量中的两个单位向量必相等; (2)若空间向量满足 a∥b,b∥c,则 a∥c; (3)空间向量 a、b 满足 a=b,则|a|=|b|; (4)若空间向量 a,b,c 满足 a=b,b=c,则 a=c. 【解析】 (1)单位向量模相等,方向不一定相同,故两 单位向量不一定相等;(2)若 b=0,则结论不成立;(3)正确; (4)正确,相等向量满足传递性. 【答案】 (1)(2) 空间向量的线性运算 如图 3-1-2 所示,在平行六

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