(2011杭州二模)浙江省杭州市2011届高三第二次教学质量检测题数学文答案

2010 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 文科卷评分标准 文科卷评分标准
一、选择题 (每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D

二、填空题 (每小题 4 分,共 28 分) 11.1 12.24 13.点(n,n2)是直线 y = nx 与双曲线 y =

14.(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 或(x + 2)2 + (y + 2)2 = 8 16.

289π 4

n2 的一个交点 x ?1 + 5 1 + 5 15. 或 2 2

17. [ 17 ? 2, 5]

三、解答题(共 72 分) 解答题 18 . (本题满分 14 分) (Ⅰ)由 m ∥n 得 得 sin( A ?

3 sin A ? cos A ? 1 = 0 ,
1 , 2

π
6

)=

因为 0< A<π ,所以 A= (Ⅱ)在△ABC 中,由 cos B = 又由正弦定理

π
3



7分

3 6 ,得 sin B = , 3 3

a b = , sin A sin B 解得 b = 2 2 .
(Ⅰ)由 2 S n = an + 1 ,

14 分

19. (本题满分 14 分)

n = 1 代入得 a1 = 1 ,
两边平方得 4 S n = (an + 1) 2 ……(1) , (1)式中 n 用 n ? 1 代入得 4 S n ?1 = (an ?1 + 1) 2
2 2

(n ≥ 2) ……(2),
3分

(1) ? (2),得 4an = (an + 1) ? (an ?1 + 1) , 0 = (an ? 1) 2 ? (an ?1 + 1) 2 , 由正数数列 {an } ,得 an ? an ?1 = 2 , (Ⅱ) bn =

[(an ? 1) + (an ?1 + 1)] ? [(an ? 1) ? (an ?1 + 1)] = 0 ,
7分

所以数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,有 an = 2n ? 1 .

1 1 1 1 1 = = ( ? ), an ? an +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1 n 裂项相消得 Bn = . 2n + 1

14 分

20. (本题满分 14 分) (Ⅰ) ①由已知得, ∠B = ∠C = 30° , AB = AC = 3 . 在 △ ABD 中 , 由 BD=1, 得 AD= 1 + 3 ? 2 ?1 ? 3 ? cos 30° =1, 在 △ ACD 中 , ∵ AC 2 + AD 2 =4 = CD 2 , ∴ AC⊥ AD. 平 面 ADC⊥ 平 面 ABD, ∴ AC⊥ 平 面 ABD. ② ∵ AC ⊥ 平 面 ABD, ∴ VC-ABD= 3分 5分 8分

(Ⅱ) 由 BD = 1 ,得 CD = 2, 在平面内作等腰△ ABC 底 边 上 的 高 线 AE, 点 E 为 垂 足 , 则 AE=

1 1 1 1 ? S ?ABD ? AC = ? ( 3 ?1 ? sin 30°) ? 3 = . 3 3 2 4

3 . 2
(第 20 题) 11 分

在 三 棱 锥 C -ABD 中 , 连 接 CE, 作 AH⊥ CE 于 点 H, ∵ BD⊥ AC, BD⊥ AE, ∴ BD⊥ 平 面 ACE, ∵ AH?平 面 ACE, ∴ BD⊥ AH, ∴ AH⊥ 平 面 BCD, ∴ ∠ ACH 是 直 线 AC 与 平 面 BCD 所 成 的 角 . 在 Rt ?ACE 中 , 得 CE = ∴ sin ∠ACH ==

15 15 AC ? AE , AH = = , 2 CE 5

5 , 5 5 . 5
14 分

即直线 AC 与平面 BCE 所成的角的正弦值为

21. (本题满分 15 分) 1 1 ( x ? 1)( x ? 2) , 2分 (Ⅰ) 当 a = 时, f ( x) = x 2 ? 3x + 4 + 2ln x , f '( x) = 2 2 x 1 即 f ( x) 在区间 [ ,1) 和 (2,3] 上单调递增,在区间 [1,2] 上单调递减. 5分 2 3 1 1 1 . 7分 比较 f (1) = , f (3) = 2ln 3 ? ,得函数 f ( x) 在 [ ,3] 上的最大值为 f (3) = 2ln 3 ? 2 2 2 2 2 2ax 2 ? 3 x + 2 (Ⅱ) f '( x) = 2ax ? 3 + = , 9分 x x 因为 f ( x) 在其定义域上是单调递增函数, 所以当 x ∈ (0, +∞) 时 f '( x) ≥ 0 恒成立,得 2ax 2 ? 3x + 2 ≥ 0 恒成立, 因为 a> 0, x = 11 分

3 >0, 所以 ? = 9 ? 16a ≤ 0 , 4a
15 分

9 所以,实数 a 的取值范围为 [ , +∞) . 16
22.(本题满分 15 分) (Ⅰ)过 P 作 PP ⊥ l 于 P ,则 | PA | + | PP |=| PA | + | PF |≥| AF | . 1 1 1 当 P, A, F 共线时, | PA | + | PP | 取最小值 | AF |= 1 解得 p = 6 ,或 p = 2.

p 9 + ( ? 2) 2 = 10. 2
3分

当 p = 6 时,抛物线 C 的方程为 x 2 = 12 y, 此时,点 A 与点 F 在抛物线 C 同侧, 这与已知不符. ∴ p = 2, 抛物线 C 的方程为 x = 4 y.
2

5分

(Ⅱ)①设直线 PQ 的方程为

? y = kx ? 1, 2 y = kx ? 1, 由 ? 2 消去 y ,整理得 x ? 4kx + 4 = 0 , (第 21 题) ? x = 4y 2 由 ? = 16k ? 16 > 0 ,得| k | > 1. 7分 / 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), 则 Q ( ? x2 , y2 ), x1 + x2 = 4k , x1 ? x2 = 4. y ? 1 y ? 1 kx1 ? 2 kx2 ? 2 2kx1 x2 ? 2( x1 + x2 ) 2k ? 4 ? 2 ? 4k k FP ? k FQ / = 1 ? 2 = + = = = 0. x1 ? x2 x1 x2 x1 x2 4
∴ Q / , F , P 共线. 1 1 ② S = | MF | (| x1 | + | ? x2 |) = ? 2 ? (| x1 | + | x2 |) =| x1 + x2 |= 4 | k | , 2 2 ∵ | k |> 1 , ∴ S > 4.
11 分

15 分


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