2016届高二寒假数学试题5,6

2016 届寒假(选作)数学综合题三 一、选择题

1、将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒 子中至少有 1 个小球,且每个盒子中的小球个数都不同,则共有( )种不 同放法 A.15 2、若 f ( x) ? 1 ? B.18 C.19 D.21

1 ,当 x ?[0 , 1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 ( ?1 , 1] 内 f ( x ? 1)

g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是(
1 A . [0 , ) 2
B .[



1 ,??) 2

1 C . [0 , ) 3

1 D . (0 , ] 2

3、若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、F2 ,线段 F1 F2 被 a2 b2

抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 7 : 5 的两段,则此双曲线的离心率为 ( A.
9 8
2

) B.
4

6 37 37

C.

3 2 4

D.

3 10 10

4、以椭圆 x

? y 2 ? 1 的短轴的一个端点 B(0,1) 为直角顶点,作椭圆的

内接等腰直角三角形的个数为 A.0 个 B.1 个 C.2 个





D.3 个

5、已知点 P( x, y ) , Q(1,0) ,且实数 x,y 满足不等式组
?x ? 2 y ? 7 ? 0 OP ? OQ ? 的最小值是( ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,点 O 为坐标原点,则 OP ? OQ ?x ? 1 ?

)

(A)

2 2

(B)

10 10

(C)

5 5

(D)

3 13 13

6、设函数 f ? x ? 的定义域为 D,若满足:① f ? x ? 在 D 内是单调函数; ②

存在 ?c, d ? ? D ,使得 f ? x ? 在 ?c, d ? 上的值域为 ?c, d ? ,那么就称 y ? f ? x ? 是定 义域为 D 的“成功函数”。若函数 g ? x ? ? loga ? a2 x ? t ? ? a ? 0, a ? 1? 是定义 域为 R 的“成功函数”,则 t 的取值范围为( A.
1? ? ? ??, ? 4? ?

) D.
? 1? ? 0, ? ? 4?

B.

?1 ? ? ,1? ?4 ?

C.

? 1? ? 0, ? ? 4?

7、设 a1 , a2 , ? , an 是 1 , 2 , ? , n 的一个排列,把排在 a i 的左边 且比 a i 小 .. . 的数的个数称为 a i 的顺序数( i ? 1 , 2 , ? , n ).如:在排列 6,4, 5, 3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺 序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( ) A.48 8、设点 P 是椭圆
2 2

B.96

C.144

D.192

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )上一点,F1,F2 分别是椭圆的左、 2 a b

右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,则该椭圆的离 心率是( ) (A) (C)
1 2
3 2
? ? ?

(B) (D)
? ? ? ?
?

2 2 1 4
? ? ?

9.已知向量 a ,b ,c ,满足 a ? b ? a? b ? 2, ( a ? c ) ? ( b ? 2 c ) ? 0 ,则 b ? c 的最小值为( A.
3 ?1 2

?

?

) B.
7? 3 2

C.

3 2
3 2

D.

7 2

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ,
f ( ?2) ? ?3 ,数列 {an } 满足 a1 ? ?1 ,且 Sn ? 2an ? n , (其中 Sn 为 {an } 的前

n 项和)。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? (

) C. 3 D. 2

A. ?3 二、填空题

B. ? 2

1.在 ?ABC 中,?BAC ? 1200 ,AB=4,AC=2,D 是 BC 上的一点,DC=2BD,

则 AD ? BC ? _______ 2. 若 实 数 x,y 满 足 _________________
x2 ? y2 ? 4 , 则
xy 的 最 小 值 是 x? y?2

3、 某种平面分形图如下图所示一级分形图是由一点出 发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为 120°;二 级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出 发再生成两条长 度为原来 的线段,且这两条线段与 原线段两两夹角为 120°;…;依此规律得到 n 级分形图. (I)n 级分形图中共有 中所有线段长度之和为 条线段; (II) ;n 级分形图
1 3

4、如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为线段 AD,BC 上的点,∠ABE =20°,
E ∠CDF=30°.将△ABE 绕直线 BE、△CDF 绕直线 CD 各自独立旋转 A D

一周,则在 所 有 旋 转 过 程 中 , 直 线 AB 与 直 线 DF 所 成 角 的 最 大 值 为
B C

_________.[来源:Z§xx§k.Com] 三、解答题 1、 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 .

F

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 若数列 {bn } 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2n (n ? N * ) , 求数列 {bn } 的前 n 项和.

2、如图,已知椭圆 E: x2 ? y2
a b

2

2

? 1 (a ? b ? 0) ,焦点为 F1 、 F2 ,双曲线

G: x2 ? y 2 ? m (m ? 0) 的顶点是该椭圆的焦点,设 P 是双曲线 G 上异于顶
点的任一点,直线 PF1 、 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D,已知 三角形 ABF2 的周长等于 8
2

,椭圆四个顶点组成的菱形的面积为 8
y B

2

.

(1)求椭圆 E 与双曲线 G 的方程; (2)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,探求
k1 和 k 2 的关系;

·
F1 O

·P
D x

A ·

· F2
C

(3)是否存在常数 ? ,使得

AB ? CD ? ? AB ? CD

恒成立?

若存在,试求出 ? 的值;若不存在, 请说明理由.

3、已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 2 . (1)求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2)若函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图象恰有一个公共点,求实数 a 的值; (3)若函数
y ? f ( x ) ? g ( x)

有 两 个 不 同 的 极 值 点 x1, x2 ( x1 ? x2 ) , 且

x2 ? x1 ? ln2 ,求实数 a 的取值范围。

4、已知圆

O: x 2 ? y 2 ?

4 ,直线 9

l: y ? kx ? m 与椭圆

x2 C: ? y 2 ? 1 相交于 2

P、Q 两点,O 为原点.
(Ⅰ)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点,且与圆 O 交于 A、B 两点,且
y
?AOB ? 60
?

,求直线 l 的方程;

P

(Ⅱ)如图,若 ?POQ 重心恰好在圆上,求 m 的取值范围.
Q

O

x

(第 4 题)

/5、已知函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,试判断 f ( x) 的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ( x1 ? x2 ) . (i) 求实数 a 的取值范围; (ii)证明: ? e ? f ( x1 ) ? ?1 。
2

(注: e 是自然对数的底数)

2016 届寒假(选作)数学综合题四

一、选择题

1、已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象 关于点(1, 0)对称 . 若对任意 的 x, y ? R , 不等式 f ?x2 ? 6x ? 21? ? f ?y 2 ? 8 y ? ? 0 恒成立, 则当 x >3 时,
x 2 ? y 2 的取值范围是( )

A. (3, 7) D. (9, 49) 2、 设 数.①

B. (9, 25)

C. (13, 49)

的定义域为 D,若

满足下面两个条件,则称

为闭函

在 D 内是单调函数;②存在

,使 f(x)在[a,b] 为闭函数, 那么 k 的取值

上的值域为[a,b].如果

范围是( ) A.k<l B. C. k >-1 D.

/3.已知点 P 在曲线 y ? 则 ? 的范围是 ( A. [0, )
? 4

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e ?1
x

) B. [ , )
? ? 4 2

C.( ,
2

? 3?
4
MP MQ

]

[ D.

3? ,? ) 4

4、P , Q 是两个定点,点 M 为平面内的动点,且

? ? ( ? ? 0 且 ? ? 1 ),

点 M 的轨迹围成的平面区 域的面积为 S ,设 S ? 以下判断正确的是 ( )

f (? )( ? ? 0 且 ? ? 1 )则

( 1, ? ?) 上是减函数 A. f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 ( 1, ? ?) 上是减函数 B. f (? ) 在 (0,1) 上是减函数,在 ( 1, ? ?) 上是增函数 C. f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 ( 1, ? ?) 上是增函数 D. f (? ) 在 (0,1) 上是减函数,在

x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1、A2 是实轴顶点, F 是右焦点, a b

B ? 0, b ? 是虚轴端点,若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点

使得 ?PA 则双 pi (i ? 1, 2) , 1 A2 为斜边的直角三角形, i 1 A2 (i ? 1, 2) 构成以 A 曲线离心率 e 的取值范围是( (A) ( 2, ??)
( 2, 5 ?1 ) 2 ( (B)


(1, (C) 5 ?1 ) 2

5 ?1 , ??) 2

(D)

6. 已知正四面体 A ? BCD 中,P 为 AD 的中点, 则过点 P 与侧面 ABC 和 底面 BCD 所在平面都成 60? 的 平面共有 (注: 若二面角 ? ? l ? ? 的大 小为120? ,则平面 ? 与平面 ? 所成的角也为 60? )( (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 )

(D)无数个

7.若实数 a,b,c 满足 loga 2 ? logb 2 ? logc 2 ,则下列关系中不可能成立 ..... 的是( ) B. b ? a ? c C .
c?b?a

A. a ? b ? c D. a ? c ? b

N

8.已知函数 f ( x) 在 R 上是单调函数,且满足对任意
x ? R ,都有 f [ f ( x) ? 2x ] ? 3 ,若则 f (3) 的值是(

D

C M



A

B

A.3 D.12

B.7

C.9

9 如图,直角梯形 ABCD 中,AD⊥AB, AB//DC , AB=4, AD=DC=2, 设点 N 是 DC 边的中点,点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动 点,则 AM ? AN 的最大值是( (A)4 (B) 6 ) (D)10

(C) 8

10、把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺 序构成等差数列,则称这些数为 n 的 一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如: (1,4, 7)与(7,4,1)为 12 的相同等差分拆.问正整数 36 的不同等差分拆的个数是( ).

(A)20

(B)18

(C)19

(D)21

二、填空题 1、函数
? a, x ? 1 ? 若关于 x 的方程 2 f 2 ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 f ( x) ? ? 1 | x ?1| ( ) ? 1, x ? 1 ? ? 2

有五个不同的实数解,则 a 的取值范围是________.

2、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1 , MN 是正方体内切球的直径, P 为正方体表面上的动点,则 PM ? PN 的最大值为________.
2 3、当 x ??0,1? 时,不等式 x 2 cos ? ? x ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? sin ? ? 0 恒成立,则 ? 的

取值范围为________.

4、已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1的左、右焦点,椭圆内一点 M 的 100 64

坐标为(2,-6),P 为椭圆上的一个动点,则 | PM | ? | PF2 | 的最大值 是 .

三、解答题

1、已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列, b=1,记角 A=x,a+c=f (x).
? (Ⅰ) 当 x∈[ ? , ]时, 求 f (x)的取值范围; (Ⅱ) 若 f (x ? ? ) ? 6 ,
6 3

6

5

求 sin2x 的值.

2、已知数列{ an }中 a1 ? , a n ? 2 ? 满足 bn ?
? 1 ( n ? N ). an ? 1

3 5

1 a n ?1

( n ? 2 , n ? N ? ),数列 {bn } ,

(Ⅰ)求证数列{ b n }是等差数列; (Ⅱ)若 Sn ? (a1 ? 1) ? (a2 ? 1) + (a2 ? 1) ? (a3 ? 1) + ? ? (an ? 1) ? (an?1 ? 1) ,是否 存在 a与b ? Z, 使得: 求出 a 的最大值与 b 的最小值, a ? Sn ? b 恒成立. 若有, 如果没有,请说明理由. 3、证明:sin20°< /4、已知 a, b, c ? R , a
?
2

7 . 20

? b2 ? c 2 ? 1 .(1)求 3a ? 2b ? c 的最大值;(2)求

证:

1 1 1 ? ? ? 3. 2a ? b 2b ? c 2c ? a
?x ? t2 , ? y ? t.

/5、在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?
P(1, 3) 作直线 l 交曲线 C 于 M , N 两点.

( t 为参数) ,过点

(1)以直角坐标系的原点为极点建立极坐标系,把曲线 C 的方

程转化为极坐标方程; (2)如果
2 PM , MN , 2 PN

依次成等比数列,求直线 l 的方程.


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