2.1.1 合情推理(2-类比推理)_图文

某课题组为了解本市的高中生数学学习状态,对四所 学校做了一个问卷调查,其中有两道题的统计数据如下:
高中数学 学习状态 问卷调查 对数学 的印象 生动 活泼
19% 7% 16%

你认为数学 学习过程主要 是为了 发现 问题
11% 23% 21%

严肃 枯燥
71% 75% 64%

解决 问题
89% 77% 79%

甲学校 乙学校 丙学校

丁学校

25%

53%

16%

84%

根据这四所学校的情况,你能判断该市高中生对数学的普 遍印象吗?

已知 判断 前提

新的 判断
结论

推理是人们的思维活动的过程,是根据一 个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程。

? ?

1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电, 归 纳 推 理

猜想:一切金属都能导电. 合 2.由三角形内角和为180°, 凸四边形内

情 推 角和为360°,凸五边形内角和为540° , 理 猜想:凸n边形内角和为 (n ? 2) ?180?.

?

3.地球上有生命,火星具有一些与地球类 类比 推理 似的特征, 猜想:火星上也有生命. 演绎4.因为所有人都会死,苏格拉底是人, 推理 所以苏格拉底会死.

铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电

?

一切金属 都能导电.

甲、乙、丙、 丁四所高中学 生普遍认为数 学是严肃枯燥 的。

?

全市高中 生普遍认 为数学是 枯燥的.

部分 个别 三角形内角和
为 180? 和为 360? 和为 凸四边形内角

凸五边形内角

540

?

?

整 体 一 般
第一个数为2 凸n边形 内角和为

第二个数为4
第三个数为6 第四个数为8

?n ? 2??180?.

?

第n个 数为2n.

一、归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由 个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称 为归纳推理(简称归纳).

你能举出归纳推理的例 子吗?

每幅地图可 以用四种颜色着 色,使得有共同 边界的相邻区域 着上不同色. 1852年,英国人弗南西斯·格思里为地图着色 时,发现了四色猜想. 1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算 机上,用了1200个小时,完成了四色猜想的证明.

观察下列等式 3+7=10, 10=3+7 ,

3+17=20, 20=3+17, 13+17=30, 30=13+17. 归纳出一个规律: 偶数=奇质数+奇质数 通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.

任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n ? p1 ? p2 (n ? N? , n ? 3)

陈氏定理 2n ? p1 ? p 2 ? p 3
了解更多

大胆猜想:

应用归纳推理可以
发现新事实,获得新结论!

归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料 分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

2 ? 1 ? 5,
23

21

2 ? 1 ? 17,
24

22

归纳推理的 一般步骤
实验观察

2 ? 1 ? 257, 2 ? 1 ? 65537 , 都是质数

猜想: 2 ? 1是质数 .
半个世纪之后,欧拉发现:

2n

大胆猜想

? 641 ? 6700417 2 ? 1 ? 4294967297
26 27 28
2n

25

检验猜想

后来人们发现 2 ? 1,2 ? 1,2 ? 1 都是合数.
新的猜想: 形如 2

? 1( n ? 5 ) 的数都是合数.

例1.已知数列{an}的第1项a1=1且 a n +1

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.

an = 1 + an

例2. 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.

多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

多面体
三棱锥 四棱锥

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 4 5 6 6 6 8 9 10

三棱柱
五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱

6
8

8
6

12
12

截角正方体
尖顶塔

猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 4 5 4 5

欧拉公式
6 8

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

5
6 6 8 7 7 9

6
6 8 6 10 10 9

9
10 12 12 15 15 16

立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

例3.如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按 下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属 片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1 号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解:设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

2

1

3

解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

2

1

3

据说春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认 为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的 茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子.

鲁班的思路是这样的:
茅草是齿形的; 茅草能割破手.

我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的.

利用平面向量的性质类比得 空间向量的性质 平面向量 空间向量


a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 )则

b ? (b1 , b2 , b3 ) 则 若a ? (a1 , a2 , a3 ) ,
① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ② a ? b ? (a ? b , a ? b , a ? b ) 1 1 2 2 3 3 ③ ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )(? ? R)

① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )
② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )

③ ? a ? (?a1 , ?a2 )(? ? R)


a ? b ? a1b1 ? a2b2

④ a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
⑤ a // b ? a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R) ⑥ a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ⑦

⑤ a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ⑥ a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0 ⑦

| a |? a ? a
2 1

2 2

| a |? a ? a ? a
2 1 2 2

2 3

1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明 了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等. 科学家猜想:火星上也可能有生命存在. 4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.

二、类比推理
在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同 或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或 相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称; 类比)

进行类比推理的步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; (3)检验这个猜想. 观察、比较 联想、类推 猜想新结论

数学研究中常用这样的推理!

例如:利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
与球心距离相等的两截面面积相等
4 3

圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连 线垂直于弦
与圆心距离相等的两弦相等

与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径的 圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的 球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(zz0)2 = r2

运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象 思考:平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的 类比对象 构成几何体的元素:三角形 四面体

平面图形(二维)
点 线 平面直角坐标系

立体图形(三维)
点或线 线或面 空间直角坐标系

例4. 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出 空间中四面体性质的猜想.
A B

c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3

b



B

C

猜想:

S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC

在三角形ABC中,?C=

?,

三边分别为 a , b , c .

?C=900, 则 c 2 = a 2 + b 2
类比可得:

?C<900, 则 c 2 < a 2 + b 2 ?C>900, 则 c 2 > a 2 + b 2

?c ? a ? b ? 2ab cos?
2 2 2

平面中的余弦定理
P82阅读与思考

空间中的余弦定理

平面与空间中的余弦定理

例5.(2001年上海)已知两个圆 ① x2+y2=1 与 ②

x2+(y-3)2=1, 则由①式减去②式可得上述两圆的对
称轴方程. 将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加

以推广, 即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题
应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为 ---------2+(y-b)2=r2 与② (x-c)2+ 设圆的方程为① ( x-a) -----------------------------------------------------------------------------------------------2=r2(a≠c或b≠d), 则由 ① 式减去 ② 式 (y-d) ------------------------------------------------------------------------------------------------

可得上述两圆的对称轴方程。 ------------------------------------------------------------.

小 结:
1、运用类比方法解决问题,其基本过程可 用框图表示如下:
原问题

?
原问题解法

?? ??
类比

类比问题

?? ??
猜想

类比问题的解法

?

2、运用类比法的关键是:寻找一个合适的 类比对象。

圆 三角形 四边形

几何中常见的类比对象 球 四面体(各面均为三角形) 六面体(各面均为四边形) 代数中常见的类比对象 数 方程 函数 向量 不等式 或,且,非运算 无限

交集,并集,补集 有限

练习:
1.如图,在平行四边形 ABCD 中,有

AC ? BD ? 2 AB ? AD
2 2 2

?

2

?
C1

那么,在平行六面体 ABCD? A1B1C1D1 中,有

AC1 ? BD1 ? CA 1 ? DB1 ?

2

2

2

2

D1

4( AB ? AD ? AA 1 )
2 2
D C

2

A1

B1

D

C

A B
A B

B S PA'?PB' ? PA ' B ' B' 2.由上图(左)有面积关系: ? S ?PAB PA ? PB A A' 则由上图(右),则类似的结论是: P

B'

P

VP ? A'B'C' PA '?PB '?PC' ? VP ? ABC PA ? PB ? PC

3. 在Rt?ABC中, 若?C=90?,则cos2 A ? cos2 B ? 1, 在空间中类比给出四面 体性质的猜想 .

四面体的三个侧面相互 垂直, 且与底面所成的角 分别为?, ?, ? , 则 cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2 ? ? 1.

4. 若 数 列 {an }为 等 差 数 列 且 a m ? a, a n ? b bn ? am (m ? n, m, n ? N ), 则am ? n ? . 现已知 n?m 数列 {b n }(b n ? 0, n ? N*)为 等 比 数 列 , 且b m ? a ,
*

b n ? b, 类 比 以 上 结 论 ,可 得 到 什 么 命 题 ?并 证 明 你的结论 .

bm?n

b ? n?m m . a

n

5. 有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然椭圆、双 曲线都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆 锥曲线的直径。
2 2 2 ?r ? 0?上异于直径两端点的任 x ? y ? r 定理:过圆

意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线所在 直线的斜率之积为定值-1.
x2 y2 (1)写出定理在椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 中的推广, a b

并加以证明;

x2 y2 (2)写出定理在双曲线 a 2 ? b 2 ? 1?a ? 0 , b ? 0? 中的推广,

你能从上述结论中得到有心圆锥曲线(包括椭圆、双 曲线、圆)的一般性结论吗?请写出你的结论。

(1)过椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上异于直径两端点的 2 a b

任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线
2 b 所在直线的斜率之积的定值为 ? ; 2 a 2 2
x y ? (2)过双曲线 2 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 上异于直径两端 a b

点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连 2 b 线所在直线的斜率之积的定值为 ; a2 (3)过有心圆锥曲线 Ax2 ? By2 ? 1?AB ? 0?上异于直 径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则 A ? 两条连线所在直线的斜率之积的定值为 . B

作 业
1、课本 P83 A组 1—3

2、实习作业:

孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想;
费马最后定理; 七桥问题; 欧拉回路

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一 位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德 巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素 数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3, 12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴(Goldbach) 写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜 想: (a) 任何一个?6之偶数,都可以表示成两个奇质数 之和。 (b) 任何一个?9之奇数,都可以表示成三个奇质数 之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他 的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证 明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数 学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注 意。从提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想 攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的 验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对 33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫 猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努 力。

从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上 万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。哥 德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 “明珠”。到了20世纪20年代,才有人开始向它靠 近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法 证明,得出了一个结论:每一个比6大的偶数都可以 表示为(9+9)。这种缩小包围圈的办法很管用,科 学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所 含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个 质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”。

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明的,称为陈氏定理(Chen?s Theorem) ? “任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常 都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ” 的形式。

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与 t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ” 。 1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ” 。 1937年,意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ” 。 1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
1956年,中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和 “2 + 3 ” 。 1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证 明了 “1 + 5 ”, 中国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉 多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证 明了“1 + 3 ”。 1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢?现在还没法 预测。

作业


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