福建省闽粤联合体2017-2018学年高三上学期第四次联考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018 学年福建省闽粤联合体高三(上)第四次联考数学试 卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 a 为实数,若复数 z=a2﹣3a﹣4+(a﹣4)i 为纯虚数,则复数 a﹣ai 在复平面内对应 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 a∈R,且(1+ai)2i 为正实数,则 a=( ) A.0 B.﹣1 C.±1 D.1 3.下列中是假的是( ) A.? α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ B.? a>0,函数 f(x)=ln2x+lnx﹣a 有零点 C.? m∈R,使 f(x)=(m﹣1)? 是幂函数,且在(0,+∞)上递减 D.? φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 4.已知向量 =(sinθ,﹣2)与 =(1,cosθ)互相垂直,其中 θ∈ 等于( A. 5.设 ) B. C. D. ,则 sinθ+cosθ 的展开式的各项系数和为 M,二项式系数和为 N,若 M﹣N=240,则展 开式中 x 的系数为( ) A.﹣150 B.150 C.300 D.﹣300 6.如图是某几何体的三视图,其中正视图是斜边长为 2a 的直角三角形,侧视图是半径为 a 的半圆,则该几何体的体积是( ) A. πa3 B. πa3 C. πa3 D.2 πa3 ) 7.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为( A. B. C. D. 8.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工 为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( A. B. C. D. ) 9.圆 x2+y2﹣2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a﹣b 的取值范围是( ) A. (﹣∞,4) B. (﹣∞,0) C. (﹣4,+∞) D. (4,+∞) 2 10.抛物线 y=x 与直线 x=0、x=1 及该抛物线在 x=t(0<t<1)处的切线所围成的图形面积 的最小值为( ) A. B. C. D. 11.若 x,y 满足约束条件 ,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值, 则 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,2 ) B. (﹣4,2 ) C. (﹣4,0] D. (﹣2,4) 3 2 12.已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R) ,在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0.若 对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,则实数 c 的 取值范围是( ) A.c≥4 B.c≥3 C.c≥2 D.c≥1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 f(x)= ,不等式 f(x)>2 的解集为 . 14.如果函数 y 轴的对称轴,则 ω 的取值范围是 . 在区间(﹣1,0)上有且仅有一条平行于 15.给出以下四个: ①正态曲线当 μ 一定时曲线形状由 σ 确定,σ 越小曲线越“瘦高”表示总体分布越集中; ②过点(﹣1,2)且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 x+y﹣1=0; ③函数 f(x)=2x+2x﹣3 在定义域内有且只有一个零点; ④回归方程拟合效果可用 R2=1﹣ 刻画,R2 越接近 1 表示回归效果越差; 其中正确的序号为 . (把你认为正确的序号都填上) 16.已知锐角△ABC 的三内角 A,B,C 成等差数列,对应边长分别为 a,b,c,满足 a﹣ c=4,且 cos(A﹣C)= ,则 AC 边上的高 BD= . 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在数列{an}中,a1= ,且对任意的 n∈N*都有 an+1= (1)求证{ ﹣1}是等比数列; . (2)若对任意的 n∈N*都有 an+1<pan,求实数 p 的取值范围. 18.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1=2,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m(0<m<2) . (Ⅰ)试问直线 B1D1 与 AP 能否垂直?并说明理由; (Ⅱ)若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°,试确定 m 值; (Ⅲ)若 m=1,求平面 PA1D1 与平面 PAB 所成锐二面角的大小. 19. 如图, 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域. 用力旋转转盘, 转盘停止转动时, 箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动) , 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派 一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b) (假设儿童和成人 的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动) . (Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率? (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于 8 的家庭 可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少? (Ⅲ)若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 20.已知以原点 O 为中心, 为右焦点的双曲线 C 的离心率 . (1)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (2)如图,已知过点 M(x1,y1)的直线 l1:x1x+4y1y=4 与过点 N(x2,y2) (其中 x2≠x1) 的直线 l2:x2x+4y2y=4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与两条渐近线分别交与 G、H 两 点,求△OGH 的面积. 21.已知函数 . (Ⅰ)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;

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