《2.1.2 演绎推理》课件5-优质公开课-人教B版选修2-2精品_图文

2.1.2 演绎推理
《2.1.2 演绎推理》课件5
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课程目标 1.了解演绎推理的定义; 2.掌握演绎推理的三段论模式,并能应用这种 模式进行推理; 3.了解合情推理、演绎推理的区别与联系.

学习脉络

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1.演绎推理 (1)定义:根据概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确 结论的过程,叫做演绎推理. (2)特征:当前提为真时,结论必然为真.

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2.三段论推理 (1)三段论推理是演绎推理的一般模式. (2)三段论的构成: ①大前提:提供一般性原理; ②小前提:指出一个特殊的对象; ③结论:结合大前提和小前提,得出一般性原理和特殊对象之间的内在 联系. (3)“三段论”的常用格式 大前提:M 是 P; 小前提:S 是 M; 结论:S 是 P.

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思考三段论推理得出的结论一定正确吗?
提示:不一定.三段论推理得出的结论的正确性与大前提、小前提、推 理形式是否正确有关.只有当大前提正确,小前提正确,推理形式也符合要求 时,得出的结论才是正确的.

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点拨在实际应用三段论推理时,为了简洁起见,有时会省略大前
提或小前提,甚至两者都略去不写.

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3.演绎推理的常见模式 (1)三段论推理. (2)传递性关系推理:用符号表示推理规则是“如果 aRb,bRc,则 aRc”,其 中“R”表示具有传递性的关系. (3)完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归 纳推理.

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总结:演绎推理与合情推理的区别与联系. 区别:从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异.

合情推理 归纳推理

类比推理

演绎推理

推理形 由部分到整体或由个

由一般到特殊的推

由特殊到特殊的推理



别到一般的推理



结论的 结论不一定正确,有待进一步证明
正确性

只有当大前提、小前 提和推理形式都正 确时,结论才正确

联系:合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是 通过合情推理获得的.在数学中,演绎推理可以验证合情推理的结论的正确 性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
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三段论推理模式的理解与应用
1.可以用集合论的观点来分析,三段论推理的依据是:如果集合 M 中的 每一个元素都具有属性 P,且 S 是 M 的子集,那么集合 S 中的每一个元素都 具有属性 P.
2.“三段论”中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种 特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系,从而 得到了第三个命题——结论.
3.在应用三段论解决问题时,应明确什么是大前提和小前提,有时为了 叙述的简捷,而大前提又是显然的,这时大前提可以省略.
4.“三段论”推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确以及推理 形式(即 S 与 M 的包含关系)是否正确.
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【典型例题 1】 将下列推理写成三段论推理的形式: (1)所有的奇数都不能被 4 整除,所以 15 不能被 4 整除. (2)三角形的内角和为 180°,Rt△ABC 的内角和为 180°. (3)菱形对角线互相平分. (4)函数 f(x)=x3+sin x 是奇函数. 思路分析:分析各个命题,找出它们的大前提、小前提和结论,然后写成 三段论推理的形式.

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解:(1)所有的奇数都不能被 4 整除.(大前提) 15 是奇数.(小前提) 15 不能被 4 整除.(结论) (2)三角形的内角和为 180°.(大前提) Rt△ABC 是三角形.(小前提) Rt△ABC 的内角和为 180°.(结论) (3)平行四边形对角线互相平分.(大前提) 菱形是平行四边形.(小前提) 菱形对角线互相平行.(结论) (4)若对函数 f(x)定义域中的任意 x,都有 f(-x)=-f(x), 则 f(x)是奇函数.(大前提) 对于函数 f(x)=x3+sin x,当 x∈R 时,有 f(-x)=-f(x).(小前提) 所以函数 f(x)=x3+sin x 是奇函数.(结论)

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【典型例题 2】 如图,在锐角△ABC 中,AD,BE 是高线,D,E 为垂足,M 为 AB 的中点.求证:ME=MD.试用三段论推理证明上述问题,并指出每一步 推理的大、小前提.

思路分析:由于△ABE,△ABD 都是直角三角形,且 ME,MD 都是斜边上 的中线,故可利用相关定理证明.
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证明:∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形,(大前提)
在△ABD 中,AD⊥CB,∠ADB=90°,(小前提)
∴△ABD 为直角三角形.(结论)
同理△ABE 也为直角三角形.
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,(大前提)
M 是直角△ABD 斜边 AB 上的中点,DM 为中线,(小前提) ∴DM=12AB.(结论) 同理 EM=12AB. ∵和同一条线段相等的两条线段相等,(大前提) 又∵DM=12AB,EM=12AB,(小前提) ∴ME=MD.(结论)

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点评在平面几何问题、立体几何问题的证明过程中,多数情况下
采用的推理形式都是三段论模式,并且大前提通常就是:两个三角形全等、 相似的判定定理,线面平行、垂直的判定定理等,故可以省略不写.

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利用传递性关系推理证明问题
1.传递性关系推理的推理规则是:若 aRb,bRc,则 aRc.其中“R”表示具有 传递性的关系.
2.传递性关系在数学中较为常见,例如:相等关系,实数的“>”或“<”关系. 集合的包含关系,平面和空间中线线的平行关系等.

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【典型例题

3】

求证:112

+

1 22

+

312+…+n12<2(n∈N+,且

n≥2).

思路分析:考虑将不等式左边的每一项的分母缩小,然后用数列中的求

和方法求出各项放大后的和,再利用传递性关系推理证明.

证明:由于112

+

1 22

+

312+…+n12

=

1 12

+

1 2×2

+

3×1 3+…+n×1 n

<

1 12

+

1 1×2

+

2×1 3+…+(n-11)n,

而112

+

1 1×2

+

2×1 3+…+(n-11)n=1+

1-

1 2

+

1 2

-

1 3

+…+n1-1 ? 1n=2-1n.

又因为1n>0,所以 2-1n<2,

于是112

+

1 22

+

312+…+n12<2.

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点评不等式证明中采用的放缩法,实质就体现了传递性关系推
理.

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利用完全归纳推理证明问题
1.完全归纳推理不同于归纳推理,后者仅仅说明了几种特殊情况,它不 能说明结论的正确性,但完全归纳推理则把所有情况都作了证明,因此结论 一定是正确的.
2.在利用完全归纳推理证明问题时,要对证明的对象进行合理的分类, 且必须把所有情况都考虑在内.

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【典型例题 4】 试证明函数 f(x)=ln(x+ x2 + 1)的定义域为 R,并判断 其奇偶性.
思路分析:只须对 x>0,x=0,x<0 分别说明对数的真数均大于 0 即可. 证明:当 x>0 时,x+ x2 + 1>0 显然成立; 当 x=0 时,x+ x2 + 1=1>0 成立; 当 x<0 时, x2 + 1 > x2=|x|=-x, 所以 x+ x2 + 1>x+(-x)=0. 因此对 x∈R,都有 x+ x2 + 1>0,即函数的定义域为 R.

又因为 f(-x)=ln(-x+ (-x)2 + 1)

=ln(

x2 + 1-x)=ln(

x2+1-x)( x2+1+x) x2+1+x

=ln x2+11+x=-ln( x2 + 1+x)=-f(x).

故 f(x)是奇函数.

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1.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.猫科动物都是哺乳动物,老虎是猫科动物,所以老虎是哺乳动物 B.由平面内三角形的性质,类比得出空间中四面体的性质 C.某校高三共有 10 个班,其中一班 51 人,二班 53 人,三班 52 人,由此推测各 班都超过 50 人

D.在数列{an}中,a1=1,an=12

an-1

+

1 an-1

(n≥2),由此计算出{an}的前 4 项,从

而归纳出{an}的通项公式 解析:B 是类比推理,C 和 D 是归纳推理,只有 A 是演绎推理.

答案:A

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2.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故该奇数是 3 的倍数.”

上述推理是( )

A.小前提错

B.结论错

C.正确的

D.大前提错

解析:该推理完全符合三段论模式,大前提、小前提都正确,故结论也是正确

的.

答案:C

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3.因为当 a>0 时,|a|>0;当 a=0 时,|a|=0;当 a<0 时,|a|>0,所以当 a 为实数时,|a|≥0.

此推理过程运用的是演绎推理中的

推理.

答案:完全归纳

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4.在用三段论证明“已知 f(x)=lg11+-xx,则 f(x)是奇函数”时,大前提



.

解析:大前提应该是奇函数的定义,即“若对定义域中任意的 x,都有

f(-x)=-f(x),则 f(x)是奇函数”.

答案:若对于 f(x)定义域中任意的 x,都有 f(-x)=-f(x),则 f(x)是奇函数

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5.用三段论的形式表示下列演绎推理: (1)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若∠1≠∠2,则此两角不是对顶角; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;
·
(3)0.332是有理数. 解:(1)若两个角是对顶角则两角相等,(大前提)
∠1 和∠2 不相等,(小前提) ∠1 和∠2 不是对顶角.(结论) (2)每一个矩形的对角线相等,(大前提) 正方形是矩形,(小前提) 正方形的对角线相等.(结论) (3)所有的循环小数都是有理数,(大前提)
·
0.332是循环小数,(小前提)
·
0.332是有理数.(结论)
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