哈尔滨三中2014-2015学年度上学期高三第一次测验数学试卷(理科)

考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试 时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3) 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷
有一项是符合题目要求的) 1.下列结论正确的有

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只

①集合 A ? {1,2} ,集合 B ? {x | x是4的因数} ,A 与 B 是同一个集合; ②集合 { y | y ? 2 x 2 ? 3} 与集合 {( x, y ) | y ? 2 x 2 ? 3} 是同一个集合; ③由 1 ,

3 6 1 , , | ? | , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

④集合 {( x, y ) | xy ? 0, x、y ? R} 是指第二和第四象限内的点集. A.0 个 2.函数 f ? x ? ? A. ?? 3,3? 3.函数 y ? A. [0, ??) 4.函数 f ? x ? ? B.1 个 C.2 个 D.3 个

9 ? x2 的定义域是 x?2
B. ?? 3,3? C. ?? 3,2 ? ? ?2,3? D. ?? 3,2 ? ? ?2,3?

25 ? 5 x 的值域是
B. ?0,5? C. ?0,5? D. ?0,5?

4x ? 1 的图象 2x

A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称
1 2

B.关于直线 y ? x 对称 D.关于 y 轴对称

5.给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2 x ?1 ,其中在区间(0,1)
2

上单调递减的函数序号是 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

6.设全集 U ? R , E ? ? x | x ? ?3, 或x ? 2? , F ? ? x | ?1 ? x ? 5? ,则集合 ? x | ?1 ? x ? 2? 可以表示为 A. E ? F B. ?CU E ? ? F C. ?CU E ? ? ?CU F ? D. ?CU E ? F ?

5 5 5 ,则 a , b , c 的大小关系是 7.设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2

A. a ? c ? b 8.函数 y ? a x ?

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

9.已知函数 f ( x) ? ? A. 6 10.函数 f ( x) ? ? A. 1 个

?

2x x?4 ,则 f (1 ? log 2 3) 的值为 f ( x ? 2 ) x ? 4 ?
B. 12 C. 24 D. 36

2 ? ?ln x ? x ? 2 x( x ? 0) 的零点个数为 2 ? x ? 2 x ? 3 ( x ? 0 ) ?

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个
x

11.若函数 f ( x) 为 R 上的单调递增函数,且对任意实数 x ,都有 f [ f ( x) ? e ] ? e ? 1 ( e 是 自然对数的底数),则 f (ln 2) 的值等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12.已知关于 x 的不等式 0 ? x ? 2 x ? m ? 3(m ? R ) 有且只有一个实数解, 函数 f ( x ) ? tx ,
2

g ( x ) ? 2tx 2 ? 2( m ? t ) x ? 1 ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 至少有一个为正数,则实
数 t 的取值范围是 A. (??, 0) B. (0, 2) C. (2,8) (非选择题, 共 90 分) D. (0,8)

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13. f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ? x ? ? x ? 4 x , 那 么 当 x ? 0 时 ,
2

f ( x) ?

.

14. 已知函数 f ? x ? 在 ?? ?,?? ? 上单调递减,且 f ?2 ? ? 0 ,若 f ? x ? 1? ? 0 ,则 x 的取值范 围 .

15. 若 偶 函 数 f ( x) 对 定 义 域 内 任 意 x 都 有 f ( x) ? f (2 ? x) , 且 当 x ? ?0,1? 时 ,

f ( x) ? log 2 x ,则 f (

15 )? 2

.
2

16.已知 f ? x ? 为奇函数, 当 x ? ?0,2? 时,f ( x) ? ? x ? 2 x ; 当 x ? ?2,?? ? 时,f ( x) ? 2 x ? 4 , 若关于 x 的不等式 f ( x ? a ) ? f ( x) 有解,则 a 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.全集 U ? ? x x ?
2

? ?

? 5 x ? 1 ? 0?, A ? ?x x ? 1 ? 1?, B ? 2 ?

? x ?1 ? ? 0?, ?x ? x?2 ?

求集合 A ? B, A ? (CU B ) .

18.已知函数 f ( x) ? lg

1? x (a ? 1) 是奇函数, 1 ? ax

(1)求 a 的值; (2)若 g ( x) ? f ( x) ?

2 1 1 , x ? ?? 1,1? ,求 g ( ) ? g (? ) 的值. x 1? 2 2 2

19.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), x ? ?? 2,?1? ,且函数 f ( x) 在 x ? ?1 处取到最
2

大值 0 , (1)求

c 的取值范围; a

b 2 ? 2ac (2)求 的最小值. ab ? a 2

20.已知函数 f ( x) ? m ? 6 ? 4 , m ? R .
x x

4 时,求满足 f ( x ? 1) ? f ( x) 的实数 x 的范围; 15 x (2)若 f ( x) ? 9 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 m 的范围.
(1)当 m ?

21. 已知定义在 ?0,?? ? 上函数 f ( x) 对任意正数 m, n 都有 f (mn) ? f (m) ? f (n) ?

1 ,当 2

x ? 4 时, f ( x) ?

3 1 ,且 f ( ) ? 0 . 2 2

(1)求 f (2) 的值; (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 .

22.设 x ? m 和 x ? n 是函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极值点,其中 2

m ? n, a ? R .
(1)求 f (m) ? f (n) 的取值范围; (2)若 a ?

e?

1 e

? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值(注: e 是自然对数的底数).

哈尔滨市第三中学 2014-2015 学年度 高三第一次验收考试数学答案(理科)
一、选择题

二、解答题 13. x 2 ? 4 x 三、解答题 14. ?? ?,3? 15. ? 1 16. ?? 2,0 ? ? ?0,?? ?

19.(1)因为函数 f ( x) 在 x ? ?1 处取到最大值 0 , 则 f (?1) ? a ? b ? c ? 0 ,可得 b ? a ? c 且 ?
2

b 3 a?c 3 c ? ? ,? ? ? ? ,解得 ? 2 2a 2 2a 2 a

(2)

b 2 ? 2ac ?a ? c ? ? 2ac a 2 ? c 2 a c b 2 ? 2ac 5 c ? ? 因为 ,所以 ? ? ? ? 2 ab ? a 2 ab ? a 2 2 a a?a ? c ? ? a 2 ac c a

(2)因为对任意的 x ? R , f ( x) ? 9 恒成立,则 m ? 6 x ? 4 x ? 9 x
x

4x ? 9x ? 2 ? 1 1 ?2? ?2? ?? ? ? ?2, 整理得:m ? 对任意的 x ? R ,? ? ? 0 , 所以 ? ? ? x x x 6 ?3? ?2? ?3? ?2? ?3? ? ? ? ? ?3? ?3?

x

x

x

则m ? 2

22.(Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 . ? x ? (a ? 2) ? x x

依题意,方程 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根 m , n (其中 m ? n ).故

?(a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? a ? 0 , 并且 ? ?a ? 2 ? 0

m ? n ? a ? 2, mn ? 1 .

所以, f (m) ? f (n) ? ln mn ? (m 2 ? n 2 ) ? (a ? 2)(m ? n)

1 2

1 1 ? [(m ? n) 2 ? 2mn] ? (a ? 2)(m ? n) ? ? (a ? 2) 2 ? 1 ? ?3 2 2
故 f (m) ? f (n) 的取值范围是 (??, ?3) (Ⅱ)解当 a ?

e?

1 1 n ? 2 时, (a ? 2) 2 ? e ? ? 2 .若设 t ? (t ? 1) ,则 e m e

( m ? n) 2 1 1 ?t ? ? 2? e? ? 2. mn t e 1 1 1 t ? ? e ? ? (t ? e)(1 ? ) ? 0 ? t ? e 于是有 t e te n 1 n 1 f (n) ? f (m) ? ln ? (n 2 ? m 2 ) ? (a ? 2)(n ? m) ? ln ? ( n 2 ? m 2 ) ? ( n ? m)( n ? m) m 2 m 2 (a ? 2) 2 ? (m ? n) 2 ?

n 1 2 n 1 n2 ? m2 n 1 n m ? (n ? m 2 ) ? ln ? ( ) ? ln ? ( ? ) m 2 m 2 mn m 2 m n 1 1 ? ln t ? (t ? ) 2 t 1 1 1 1 1 (t ? 1) 2 构造函数 g (t ) ? ln t ? (t ? ) (其中 t ? e ),则 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ?0. 2 t t 2 t 2t 2 e 1 e 1 所以 g (t ) 在 [e, ??) 上单调递减, g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? . 故得最大值为 1 ? ? 2 2e 2 2e ? ln


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