ag03.com:2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(二十一)

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提能专训(二十一)

坐标系与参数方程(选修 4- 4)

1.(2013· 福建省毕业班质检)如图,在极坐标系中,圆 C 的圆心 坐标为(1,0),半径为 1.

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标

? ?x=-1+tcos 系.已知直线 l 的参数方程为? π ? y = t sin ? 6
断直线 l 与圆 C 的位置关系.

π 6,

(t 为参数),试判

解析:(1)如图,设 M(ρ,θ)为圆 C 上除点 O,B 外的任意一点, 连接 OM,BM, 在 Rt△OBM 中,|OM|=|OB|· cos ∠BOM,

所以 ρ=2cos θ. π? ? 可以验证点 O?0,2?,B(2,0)也满足 ρ=2cos θ,
? ?

故 ρ=2cos θ 为所求圆的极坐标方程.

? ?x=-1+tcos (2)由? π ? y = t sin ? 6
3 = 3 (x+1),

π 6,

(t 为参数),得直线 l 的普通方程为 y

即直线 l 的普通方程为 x- 3y+1=0. 由 ρ=2cos θ,得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. |1×1- 3×0+1| 因为圆心 C 到直线 l 的距离为 d= =1, 2 所以直线 l 与圆 C 相切.
? ?x=1+tcos α, 2.(2013· 郑州第二次质检)已知直线 C1:? (t 为参 ?y=tsin α ? ?x=cos θ, ? 数),曲线 C2:? (θ 为参数). ?y=sin θ ?

π (1)当 α=3时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求点 P 轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线? π 解析:(1)当 α=3时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通 方程为 x2+y2=1,
? ?y= 3?x-1?, 联立方程组? 2 2 ?x +y =1, ?

?1 3? 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?. 2? ?2

(2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0, 根据 OA 垂直于 C1,可求得点 A 坐标为(sin2α,-sin αcos α), 1 2 ? x = ? 2sin α, 轨迹的参数方程为? 1 ? y =- ? 2sin αcos α

故当 α 变化时,点 P



为参数), 1? ? 1 点 P 轨迹的普通方程为?x-4?2+y2=16,
? ? ?1 ? 1 故点 P 轨迹是圆心为?4,0?,半径为4的圆. ? ?

3.(2013· 太原市高三模拟二)平面直角坐标系 xOy 中,点 A(2,0)
?x=acos φ, ? 在曲线 C1:? (a>0,φ 为参数)上.以原点 O 为极点,x ?y=sin φ ?

轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=acos θ. (1)求曲线 C2 的普通方程; π? ? (2)已知点 M,N 的极坐标分别为(ρ1,θ),?ρ2,θ+2?,若点 M,
? ?

1 1 N 都在曲线 C1 上,求ρ2+ρ2的值.
1 2

解析:(1)∵ 点 A(2,0)在曲线 C1 上,
?2=acos φ, ? ∴ ? ?0=sin φ, ?

∵ a>0,∴ a=2,∴ ρ=2cos θ.
? ?x=ρcos θ, 由? 得(x-1)2+y2=1, ?y=ρsin θ, ?

∴ 曲线 C2 的普通方程为(x-1)2+y2=1.
? ?x=2cos φ, (2)由(1)得曲线 C1:? ?y=sin φ, ?

x2 2 消去参数 φ,得 4 +y =1. 由题意得点 M,N 的直角坐标分别为 π? π?? ? ? ? (ρ1cos θ,ρ1sin θ),?ρ2cos?θ+2?,ρ2sin?θ+2??.
? ? ? ? ??

∵ 点 M,N 在曲线 C1 上,
2 2 ρ1 cos2θ 2 2 ρ2 2sin θ 2 2 ∴ + ρ + ρ 1sin θ=1, 2cos θ=1, 4 4 2 ?sin θ ? 5 1 1 ?cos2θ 2 ? ? ? ? ∴ ρ2+ρ2= 4 +sin θ + 4 +cos2θ?=4. ? ? ? ? 1 2

4.(2013· 乌鲁木齐地区第三次诊测)在平面直角坐标系 xOy 中,
? ? ?x=cos φ, ?x′=ax, ? 曲线 (φ 为参数),经坐标变换? (a>0,b>0) ? ? ?y=sin φ ?y′=by

后所得曲线记为 C.A,B 是曲线 C 上两点,且 OA⊥OB. (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值.
? ?x=cos φ, 解 析 : (1) 由 ? ? ?y=sin φ ? ?x′=ax, (φ 为 参 数 ) 及 ? ? ?y′=by,



?x′=acos φ, ? x′2 y′2 x2 ? 消去 φ,得 a2 + b2 =1,即曲线 C 的普通方程为a2 ?y′=bsin φ, ?

y2 +b2=1. (2)证明:以直角坐标系 xOy 的原点为极点,x 轴的非负半轴为极 ?ρcos θ?2 ?ρsin θ?2 轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 a2 + b2 =1,即

a2b2 ρ= 2 2 , b cos θ+a2sin2θ
2

π? ? 2 不妨设 A(ρ1,θ1),B?ρ2,θ1+2?,代入 C 的极坐标方程,有 ρ1 =
? ?

a2b2 a2b2 2 ,ρ = , b2cos2θ1+a2sin2θ1 2 b2sin2θ1+a2cos2θ1 设点 O 到直线 AB 的距离为 h,则 |OA||OB| ρ1ρ2 h= |AB| = 2 2= ρ1+ρ2 = 1 1 1 +ρ2 ρ2 1 2

1 b2cos2θ1+a2sin2θ1 b2sin2θ1+a2cos2θ1 + a2b2 a2b2 ab (定值). a2+b2



5.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2 =4. (1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解析:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
? ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± 3, ?ρ=4cos θ, ?

π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3?.
? ? ? ?

注:极坐标系下点的表示不唯一.
? ?x=ρcos θ, (2)解法一: 由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为 ?y=ρsin θ, ?

(1, 3),(1,- 3).
? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ?y=t, ? ? ? ?x=1, ? ? ? ? ?或参数方程写成?y=y, - 3≤y≤ 3.? ? ? ? ? ?x=ρcos θ, 解法二:将 x=1 代入? ?y=ρsin θ, ?

1 得 ρcos θ=1,从而 ρ=cos θ.
? ?x=1, π π 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? -3≤θ≤3. ? ?y=tan θ, ? ?x=-1+tcos α, 6.已知直线 l:? (t 为参数,α 为参数,α 为 l ?y=tsin α ? ? ?x= 2cos θ, ? 的倾斜角, 且 0<α<π)与曲线 C: (θ 为参数)相交于 A, ? ?y=sin θ

B 两点,点 F 的坐标为(1,0). (1)求△ABF 的周长; (2)若点 E(-1,0)恰为线段 AB 的三等分点,求△ABF 的面积.

x2 2 解析:(1)如图,曲线 C 的方程为 2 +y =1, 所以 F(1,0),E(-1,0)为椭圆 C 的两个焦点. 又 A,B 在椭圆上,知|AE|+|AF|=|BE|+|BF|=2a=2 2, 又直线 AB 过点 E, 所以△ABF 的周长为 4 2.
? ?x=-1+tcos α, x2 2 ? (2)将 代入 2 +y =1,得 ? ?y=tsin α

(1+sin2α)t2-2cos α· t-1=0, 设点 A,B 对应的参数为 tA,tB,其中 Δ=4cos2α+4(1+sin2α)=8 >0,

?t +t =1+sin α, 且? -1 t· t= , ? 1+sin α
A B 2 A B 2

2cos α

2 2 则|AB|=|tA-tB|= . 1+sin2α 不妨设|AE|∶|EB|=2∶1,
? ?tA+tB=-tB, 则 tA=-2tB,? ?tA· tB=-2t2 ? B,

得 tA· tB=-2(tA+tB)2, -1 4cos2α 所以 =-2· , 1+sin2α ?1+sin2α?2 7 即 8cos2α=1+sin2α,得 sin2α=9. 1 1 2 2 3 14 则 S△ABF=2|AB|· |EF|sin α=2· 2sin α= 8 . 2 · 1+sin α 7.(2013· 豫东、豫北十校 4 月联考)在平面直角坐标系 xOy 中,

曲线 C1:x2+y2=1,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 l:3cos θ -8 -2sin θ= ρ . (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、3 倍后得到曲线 C2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的 参数方程; (2)求 C2 上一点 P 到 l 的距离的最大值. 解析:(1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 3x-2y+8=0.
? x? ? y? 由题意得曲线 C2 的直角坐标方程为?2?2+?3?2=1, ? ? ? ? ?x=2cos θ, ? 所以曲线 C2 的参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=3sin θ

(2)设点 P 的坐标为(2cos θ,3sin θ),则点 P 到直线 l 的距离为 |6cos θ-6sin θ+8| d= = 13 π? ? ? ? ?6 2cos?θ+ ?+8? 4? ? ? ? 13



6 26+8 13 π? ? 所以当 cos?θ+4?=1 时,dmax= . 13 ? ? 8.(哈尔滨九中三模)如图,已知点 A( 3,0),B(0,1),圆 C 是以
? ?x=tcos φ, AB 为直径的圆,直线 l:? (t 为参数). ? ?y=-1+tsin φ

(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; →= (2)过原点 O 作直线 l 的垂线,垂足为 H,若动点 M 满足 2OM → ,当 φ 变化时,求点 M 轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. 3OH 解析:(1)圆 C 的普通方程为?x-
? ?

3?2 ? 1?2 ? +?y- ? =1, 2 ? ? 2?

所以极坐标方程为 π?? π?? ? ? ρ=2sin?θ+3??或ρ=2cos?θ-6??.
? ?? ? ??

(2)直线 l 的普通方程为 xsin φ-ycos φ-cos φ=0, 1 1 ?1 ? 点 H?2sin 2φ,-2-2cos 2φ?.
? ?

→ =3OH → ,则 由于 2OM 3 3 ?3 ? M?4sin 2φ,-4-4cos 2φ?,
? ?

3 ? x = ? 4sin 2φ, 点 M 轨迹的参数方程为? 3 3 ? y =- ? 4-4cos 2φ 圆.

(φ 为参数),图形为


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