高一数学人教A版必修4课件2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 目标导航 预习导引 学习目标 重点难点 1.会用坐标表示平面向量的数量积; 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角; 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系 . 重点:用坐标表示平面向量的数量积; 难点:用坐标求向量的模及两向量的夹角. 目标导航 预习导引 1 2 3 4 1.平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 目标导航 预习导引 1 2 3 4 2.向量的模与两点间距离公式 (1)设 a=(x,y),则|a|= 2 + 2 . (2)如果向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x 2,y 2),那么 |a|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 . 目标导航 预习导引 1 2 3 4 3.两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0. 目标导航 预习导引 1 2 3 4 4.向量的夹角公式 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其夹角为 θ,则 cos 1 2 +1 2 θ= (0≤θ≤π). 2 + 2 2 + 2 1 1 2 2 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 一、平面向量数量积及模的坐标表示 1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用:数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一个公式;它 实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来. (2)记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”. 2.数量积坐标表示的意义 (1)由数量积坐标表示,可不求向量的模和夹角直接求数量积,使得数量积的计 算更为方便、简单. (2)实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来. 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 3.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点 间的距离,如 a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点 A(x,y),使得 =a=(x,y),所以||=|a|= 2 + 2 ,即|a|为点 A 到原点的距离.同 样若 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则 =(x2-x1,y2-y 1),所以 | |= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 ,即平面直角坐标系中任意两点间的距离 公式.由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间 的距离的运算. 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 【例1】 (1)已知a=(2,1),b=(-1,k),a· (2a-b)=0,则k=( ) A.-12 C.6 B.-6 D.12 ) (2)若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( A.a· b=1 C.(a-b)⊥b B.|a|=|b| D.a∥b 思路分析:运用向量数量积坐标运算的法则及性质求解. 答案:(1)D (2)C 解析:(1)由已知2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),从而a· (2a-b)=(2,1)· (5,2-k)=10+2-k=0, 故k=12. (2)由已知得a-b=(2,0)-(1,1)=(1,-1), 则(a-b)· b=1×1+1×(-1)=0,故(a-b)⊥b. 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 (1)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|2a-b|等于( ) A.4 B.5 C.3 5 D.4 5 (2)已知向量 a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R),则|a+b|的取值范 围为 . 答案 :(1)D (2)[ 2,+∞) 解析 :(1)∵a∥b,∴y+4=0,即 y=-4. ∴b=(-2,-4). ∴2a-b=(4,8). ∴|2a-b|= 4 5. (2)∵a+b=(x,x+2), ∴|a+b|= 2 + ( + 2)2 = 2 2 + 4 + 4 = 2( + 1)2 + 2 ≥ 2. ∴|a+b|∈[ 2,+∞). 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 二、向量垂直、夹角余弦值的坐标表示 1.向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题:注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条 件不要混淆,“a⊥b?x1x2+y1y2=0”可简记为“对应相乘和为0”;“a∥b?x1y2-x2y1=0” 可简记为“交叉相乘差为0”. (2)可以解决的问题:应用公式可解决向量垂直,两条直线互相垂直等问题. 2.平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略 (1)应用条件:已知两个非零向量的坐标,可以利用该公式求得夹角的余弦值. (2)在不同表示形式下求向量夹角的策略: ①当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求出a· b,|a|和|b|或直接得出它们之间 的关系. ②若 a,b 是坐标形式,则可直接利用公式 cos θ= 解. 1 2 +1 2 2 + 2 · 2 + 2 1 1 2 2 求 一 知识精要 二 三 【例2】 (1)若a=(3,0),b=(-5,5),则a与b的夹角为 典题例解 迁移应用 . (2)已知:a=(-3,1),b=(1,-2),若(-2a+b)⊥(a+λb).试求实数λ的值. (1)答案 : 则 cos θ= 3π 4 解析 :设 a 与 b 的夹角为 θ, · | || | = 3× (-5)+0×5 32 +02 × (-5) +52 3π 4 3π 4 2 =- . 2 2 又 θ∈[0,π],故 θ= ,

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