2016-2017学年北师大版高中数学必修1检测:第3章 指数函数和对数函数3.3.2 含解析 精品

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.函数 y=3x 与 y=3 x 的图像关于下列哪条直线对称( - ) A.x 轴 C.直线 y=x 1?x - 解析: y=3 x=? ?3? , 1?x 由 y=3x 与 y=? ?3? 关于 y 轴对称, 所以 y=3x 与 y=3 x 关于 y 轴对称. - B .y 轴 D.直线 y=-x 答案: B 2.在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax 的图像可能是( ) 解析: 需要对 a 讨论: ①当 a>1 时,f(x)=ax 过原点且斜率大于 1,g(x)=ax 是递增的.②当 0<a<1 时,f(x)= ax 过原点且斜率小于 1,g(x)=ax 是减函数.显然 B 正确. 答案: B ? ?a(a≤b), - 3.定义运算 a⊕b=? 则 f(x)=2x⊕2 x 的图像是( ?b(a>b), ? ) 解析: x≥0 时,2x≥1≥2 x>0; - x<0 时,0<2x<1<2 x. - x ? ?2 ,x≥0, ? 故 f(x)=2 ⊕2 = x ? ?2 ,x<0. - x -x 答案: C 4.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.c>b>a 解析: a=0.80.7>0.80.9=b, a=0.80.7<0.80=1,∴b<a<1. 而 c=1.20.8>1.20=1, ∴c>a>b. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1?x x 5.函数 y=? ?5? -3 在区间[-1,1]上的最大值等于 ________________________________________________________________________. x 1?x x ?1? -3x 是减函数,故当 x=- 解析: 由 y=? 是减函数, y = 3 是增函数,可知 y = ?5? ?5? ) B.b>a>c D.c>a>b 14 1 时函数有最大值 . 3 答案: 14 3 6.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0,且 a≠1)的图像有两个公共点,则 a 的取值范围 是________. 解析: 当 0<a<1 时,如图(1)所示, 要使得 y=2a 与 y=|ax-1|有两个交点, 1 需 0<2a<1,故 0<a< . 2 当 a>1 时,如图(2)所示, 1 由于 y=2a>2,所以 y=2a 与 y=|ax-1|不存在两个交点,故 a 的取值范围为 0<a< . 2 1 答案: 0<a< 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知 a>0 且 a≠1,讨论 f(x)=a-x2+3x+2 的单调性. 3 2 17 3 3 x- ? + ,则当 x≥ 时,u 是减函数,当 x≤ 时,u 解析: 设 u=-x2+3x+2=-? ? 2? 4 2 2 是增函数. 又当 a>1 时,y=au 是增函数,当 0<a<1 时,y=au 是减函数, 3 3 ,+∞?上是减函数,在?-∞, ?上是增 所以当 a>1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在? 2? ?2 ? ? 函数. 3 3? ? ? 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在? ?2,+∞?上是增函数,在?-∞,2?上是减函 数. ex a 8.设 a>0,f(x)= + x(e>1)是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 解析: (1)依题意,对一切 x∈R,都有 f(x)=f(-x), ex a 1 ∴ + x= x+aex. a e ae 1?? x 1 ? ∴? ?a-a??e -ex?=0. 1 ∴a- =0,即 a2=1. a 又 a>0,∴a=1; (2)证明:设 0<x1<x2, 1 1 f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+ - ex1 ex2 1 =(ex2-ex1)?ex +x -1? ? 1 2 ? 1-ex1+x2 =ex1(ex2-x1-1)· , ex1+x2 ∵x2>x1>0, ∴x2-x1>0,x1+x2>0, 又由 e>1 知 y=ex 在 R 上为增函数, ∴ex2-x1-1>0,1-ex1+x2<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)已知函数 f(x)=ax 在 x∈[-2,2]上恒有 f(x)<2,求 a 的取值范围. 解析: 当 a>1 时, 函数 f(x)=ax 在[-2,2]上单调递增, 此时 f(x)≤f(2)=a2, 由题意可知 a2<2,即 a< 2, 所以 1<a< 2. 当 0<a<1 时, 函数 f(x)=ax 在[-2,2]上单调递减, 此时 f(x)≤f(-2)=a 2, - 由题意可知 a 2<2,即 a> - 2 , 2 所以 2 <a<1. 2 2 ? ∪(1, 2). ? 2 ,1? 精品文档 强烈推荐 综上所述,所求 a 的取值范围是?

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