高中数学人教B版选修2-3课时作业:第1章习题课1 Word版含解析

习题课(1)

一、选择题

1.从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有( )

A.6 个

B.10 个

C.12 个

D.16 个

解析:法一:列举可得:23,32,25,52,27,72,35,53,37,73,57,75共 12 个.

法二:从 2,3,5,7 四个数中任选两个数分别相除,所得结果有 A24=4×3=12 个. 答案:C

2.从 1,2,3,…,100 中任取 2 个数相乘,其积能被 3 整除的有( )

A.33 组

B.528 组

C.2111 组

D.2739 组

解析:乘法满足交换律,因此是组合问题.

把 1,2,3,…,99,100 分成 2 组:{3,6,9,…,99},共计 33 个元素;{1,2,4,5,…,100},

共计 67 个元素,故积能被 3 整除的有 C233+C133·C167=2739(组). 答案:D

3.从 4 男 3 女志愿者中,选 1 女 2 男分别到 A,B,C 地执行任务,则不同的选派方法

有( )

A.36 种

B.108 种

C.210 种

D.72 种

解析:选 1 女派往某地有方法 A13·A13种,选 2 男派往另外两地有 A24种方法,则不同的选 派方法共有 A13·A13·A24=108(种).
答案:B

4.[2013·四川绵阳一模]从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四

项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )

A.280 种

B.240 种

C.180 种

D.96 种

解析:根据题意,由排列可得,从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事四项不同工作,有 A46=360 种不同的情况,其中包含甲从事翻译工作,有 A35=60 种,乙从事翻译工作,有 A35 =60 种,若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有 360-60-60=240

种.

答案: B

5.12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到

前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )

A.C28A32

B.C28A66

C.C28A26

D.C28A52

解析:从后排 8 人中选 2 人安排到前排 6 个位置中的任意两个位置即可,所以选法种数

是 C28A26,故选 C. 答案:C

6.[2014·四川高考]六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,

则不同的排法共有( )

A.192 种

B.216 种

C.240 种

D.288 种

解析:当最左端排甲时,不同的排法共有 A55种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四 个位置之一,则不同的排法共有 C14A44种.故不同的排法共有 A55+C14A44=9×24=216 种.
答案:B

二、填空题

7.按 ABO 血型系统学说,每个人的血型为 A,B,O,AB 四种之一,依血型遗传学,

当且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时,子女一定不是 O 型,若某人的血型为 O 型,

则父母血型所有可能情况有__________种. 解析:父母应为 A 或 B 或 O,C13·C31=9(种). 答案:9

8.[2013·北京高考]将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如

果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________.

解析:5 张参观券分成 4 份,1 份 2 张,另外 3 份各 1 张,且 2 张参观券连号,则有 4 种分法,把这 4 份参观券分给 4 人,则不同的分法种数是 4A44=96.
答案:96

9.[2014·浙江高考]在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖. 将这 8 张

奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).

解析:分情况:一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人,种数为 C32C11A24=36;另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人,种数为 A43=24,则获奖情 况总共有 36+24=60(种).

答案:60

三、解答题

10.[2014·福州市高二期末第二学期联考]用 0,1,2,3,4,5 这六个数字:

(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则这个数为凹 数,如 524、746 等都是凹数.那么这六个数字能组成多少个无重复数字的凹数? 解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类: 第一类:0 在个位时有 A35个; 第二类:2 在个位时,首位从 1,3,4,5 中选定 1 个有 A14种,十位和百位从余下的数字中 选有 A24种,于是有 A14·A24个; 第三类:4 在个位时,与第二类同理,也有 A14·A24个. 由分类加法计数原理知,共有四位偶数: A35+A14·A24+A41·A24=156(个). (2)符合要求的凹数可分为四类: 第一类:十位数字为 0 的有 A25个;第二类:十位数字为 1 的有 A24个; 第三类:十位数字为 2 的有 A23个;第四类:十位数字为 3 的有 A22个,由分类加法计数 原理知,凹数共有: A25+A24+A23+A22=40(个). 即这六个数字能组成 40 个无重复数字的凹数. 11.车间有 11 名工人,其中 5 名是钳工,4 名是车工,另外两名老师傅既能当车工又 能当钳工,现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,问有多少种选 派方法. 解:法一:设 A,B 代表两名老师傅. A,B 都不在内的选派方法有:C45·C44=5(种); A,B 都在内且当钳工的选派方法有: C22·C25·C44=10(种); A,B 都在内且当车工的选派方法有: C22·C45·C24=30(种); A,B 都在内,一人当钳工,一人当车工的选派方法有: C22·A22·C35·C34=80(种); A,B 有一人在内且当钳工的选派方法有: C21·C35·C44=20(种); A,B 有一人在内且当车工的选派方法有: C21·C45·C34=40(种); 所以共有 C45·C44+C22·C25·C44+C22·C45·C24+C22·A22·C35·C43+C12·C35·C44+C12·C45·C34=185(种)选派 方法. 法二:5 名钳工有 4 名被选上的方法有:

C54·C44+C45·C34·C21+C54·C24·C22=75(种); 5 名钳工有 3 名被选上的方法有: C53·C44·C12+C35·C43·A22=100(种); 5 名钳工有 2 名被选上的方法有:C25·C22·C44=10(种). 所以一共有 75+100+10=185(种)选派方法. 12.6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 解:(1)根据分步计数原理得到:C26C42C22=90 种. (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C26C24C22种方法,这个过程可以分两步完成:第一 步分为三份,每份两本,设有 x 种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法.根据分步乘法计数原理可得:C62C24C22=xA33,所以 x=C26AC2433C22=15.因此分为三份,每 份两本一共有 15 种方法. (3)这是“不均匀分组”问题,一共有 C16C25C33=60(种)方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有 C16C25C33A33=360(种)方法. (5)可以分为三类情况:①“2、2、2 型”即(1)中的分配情况,有 C62C24C22=90(种)方法; ②“1、2、3 型”即(4)中的分配情况,有 C16C52C33A33=360(种)方法;③“1、1、4 型”,有 C64A33=90(种)方法.所以一共有 90+360+90=540(种)方法.
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