课题:指数函数_图文

湖南省新宁一中计算机教学课件

指数函数(一)
主讲:李水平
2013年8月14日

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引1:有一个细胞经过一次分裂成2个 , 经过两

分析:分裂次数x
1 2 3

次分裂成4 个,经过三 次分裂成8个,… , 经过x次分裂应分裂成多少个? 分裂成细胞个数y 2= 2 1 4= 2 2 8=2 3




个。

y= 2 x 所以经 过x次分裂后应分裂成 y= 2 x

x

湖南省新宁一中计算机教学课件 某一种商品现有产量为1万件,产品年增长率 引例2: 为10%,则经过多少年该产品的产量为y万件?

简解: 设经过x年,产品产量为y万件,同上分析可 得:y=1.1 x
如上两例中的函数:y= 2 x与y=1.1 x就是我们 本节课要学习的一种新函数——指数函数

一、指数函数的定义:
y = a x (其中a>0,且a≠1,a为常 一般地,函数
数)叫指数函数,自变量为x,定义为:x∈R。

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例: 判断下列函数哪些是指数函数?
不是 ,(2)y=3· X 不是 , (1) y=2 x +1 4 是 , (4) y=(-2)x 不是 ,

(3) y=3

x

(5) y=10 x 是 ,(6) y=2 x+1 不是 。
二、指数函数的图象:
在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)y= 2 x (2)y=0.5 x
(3)y=10 x
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三、指数函数 y = a x 的性质: a的值 a>1

0<a<1

图 象


1.函数的定义域为: x∈R
2.函数的值域为:

y>0



3.函数图象恒过定点: (0,1)

4.在R上为增函数 在R上为减函数
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思考?

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四、应用举例: 例1. 一种放射性的物质不断变化为其它物质, 每经过一年剩留量约为原来的84%,画出 这种物质的剩留量随时间变化的图象,并 从图象上求出约经过多少年,剩留量是原 来的一半(结果保留一个有效数字)。 设最初的质量为1,经过x年,剩留量为y.则 分析:
经过1年,y=1×84%=0.84 1 ,

经过2年,y= 0.84×0.84=0.84 2 经过3年,y=0.84 2 ×0.84= 0.84 3 经过x年,可推得:
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,… ,
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y=0.84 x

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解:由上可得剩留量 y与时间x的函数关 系式为 y=0.84 x ,列表作图如下:
从图上可以看出y=0.5,必须且只需x约 为4年。 答:约经过4年,剩留量是原来的一半。 例 比较下列各题中两个值的大小 2 (1) 1.72.5 , 1.73 ; (2) 0.8 –0.1 , 0.8 –0.2 ;



(3) 1.70.3 , 0.93.1 .
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解: (1)考察指数函数y=1.7x,由于底数 1.7>1,所以指数函数y=1.7x在R上是增 函数. 而2.5<3,故 1.72.5<1.73 . (2) 考察指数函数y=0.8x,由于0<0.8<1, 所以指数函数y=0.8x在R上是减函数. 而 -0.1>-0.2, 故 0.8-0.1<0.8-0.2 . (3)由指数函数的性质知:1.70.3>1.7 0 =1,

0.93.1<0.90=1, 故
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1.70.3>0.93.1.

小结(1)两个同底的指数幂比较大小,可运用 :
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湖南省新宁一中计算机教学课件 以该底数为底的指数函数的单调性进行比较; (2)不同底的幂的大小比较可借用中间量 0或1来比较。 例3. 求下列函数的定义域,值域

(1)

y?3

1 x

(2)

1 分析: (1)要使原函数有定义,当且仅当 x 有意义;(2)则当且仅当 2x ? 1 有意义。 1 解: (1)要使原函数有定义,当且仅当 有 x
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1 y?( ) 4

2 x ?1

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1 意义,所以x≠0,又 x ≠0,故原函数的定义

域为{x| x ≠0, x∈R},值域为{y|y>0且y ≠1} (2)要使原函数有定义,当且仅当 2x ? 1有 1 意义,得 2x-1≥0 => x? ,

又由 2x ? 1 ≥0,得 0<y≤1.

2

1 所以原函数的定义域为: x ? 2

原函数为值域为: y ∈(0,1].
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五、目标检测 1.当a ∈(1,+?)

时,函数y=ax( a>0,a≠1) 为增函数,这时,x ∈ (0,+?) 时,y>1.

2.若函数y=(2a+1)x是减函数,则实数a的取值 1 范围是 a ? (? 2 ,0) . 3.函数 ? ( 1 ) x ?1 的定义域为 x∈[1,+?) ,值域 y 2 为 y∈(0,1] . 4.比较大小: (1) 30.8 > 30.7 , (2) 0.75-0.1 > 0.750.2, (3) 1.50.2 > 0.72.2.
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归纳小结:

1. 本节课的主要内容是:指数函数的定义, 图象与性质;
2. 本节课的重点是:掌握指数函数的图 象与性质; 3. 本节课的关键是:弄清底数A的变化 对于函数值的变化的影响。 作业:P.78 习题2.6
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1, 3题。
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谢谢光临指导!

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问题1.为什么要规定a>0且a≠1 ?
(? 2) 答案:当a≤0时,ax 有些没有意义,如 就 没有意义; 而当a=1时,函数值总等于1,可归 为特殊的常量函数,没有研究的必要.可见这 样规定是有其道理的。
1 2

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问题2:指数函数的奇偶性如何?

答案:是非奇非偶函数。

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