www.6065522.com:【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步章末分层突破_图文

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巩 固 层 · 知 识 整 合

拓 展 层 · 链 接 高 考

章末分层突破
提 升 层 · 能 力 强 化 章 末 综 合 测 评

[ 自我校对] y2-y1 ① (x2≠x1) x2-x1 ②点斜式 ③两点式 ④一般式 |Ax0+By0+C| ⑤ A2+B2

直线方程及两直线的位置关系

1.直线方程的五种形式及其选取 直线方程的五种形式各有优劣,在使用时要根据题目条件灵活选择,尤其 在选用四种特殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对特殊情况进行讨 论.

2.两条直线的平行与垂直 两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系,其判定 如下: l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 位置关系 或 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1 不同时为 0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2 不同时为 0) 平行 垂直 l1∥l2?k1=k2 且 b1≠b2 或
? ?A1B2-A2B1=0, l1∥l2?? ? ?C1B2-C2B1≠0

l1⊥l2?k1· k2=-1 或 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0

过点 P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在 x 轴 上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线的方程.

【精彩点拨】

考虑直线斜率是否存在,不存在时可直接求出,存在时设

方程利用截距关系求 k. 【规范解答】 (1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为 x

=-1,x=0,它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,满足题意;

(2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分别为 y=k(x +1),y=kx+2. 2 令 y=0,分别得 x=-1,x=-k .
? 2? 由题意得?-1+k ?=1,即 ? ?

k=1.

则直线的方程为 y=x+1,y=x+2, 即 x-y+1=0,x-y+2=0. 综上可知,所求的直线方程为 x=-1,x=0,或 x-y+1=0,x-y+2=0.

[ 再练一题] 1. 求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x-y-1=0 平行的直线 l 的方程.
【解】 法一 3 ? ? ?x=-5, ?2x-3y-3=0, 由方程组? 得? ? ?x+y+2=0, ?y=-7. 5 ?

∵直线 l 和直线 3x-y-1=0 平行, ∴直线 l 的斜率 k=3, ∴根据点斜式有
? ? ? 7? 3?? y-?-5?=3?x-?-5??. ? ? ? ?? ?

即所求直线方程为 15x-5y+2=0.

法二

∵直线 l 过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点,

∴可设直线 l 的方程为: 2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ -3=0. ∵直线 l 与直线 3x-y-1=0 平行, λ+2 λ-3 2λ-3 7 ∴ 3 = ≠ ,解得 λ=4. -1 -1 从而所求直线方程为 15x-5y+2=0.

直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直 线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题 过程. 2.解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与 两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的 几何图形来形象直观地分析问题.

如图 21 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求 直线 l 的方程;

图 21

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.

【精彩点拨】 (1)设出方程,求出弦心距,由点到直线的距离公式求 k.(2) 设出方程,由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数.
【规范解答】 (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交, 所以直线 l 的斜率存在. 设 直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3, |1-k?-3-4?| 所以 d= 2 -? 3? =1.由点到直线的距离公式得 d= ,从而 2 1+k
2 2

k(24k+7)=0, 7 即 k=0 或 k=-24,所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0.

(2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则 1 直线 l2 的方程为 y-b=-k (x-a).因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,且直线 l1 被 圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 |1-k?-3-a?-b| 的 距 离 和 圆 C2 的 圆 心 到 直 线 l2 的 距 离 相 等 , 即 = 2 1+k
? ? 1 ?5+ ?4-a?-b? k ? ?

1 1+k2

,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,

从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值范围有无穷多个, 5 ? ? ? ?a=2, ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, 所以? 或? 解得? ? ? ?b-a+3=0 ?a+b-5=0, ?b=-1 2 ? 这样点 P 只可能是点
?5 1? P1?2,-2?或点 ? ? ? 3 13? P2?-2, 2 ?. ? ?

3 ? ?a=-2, 或? ?b=13. 2 ?

经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.

[ 再练一题] 2. 如图 22, 平面直角坐标系中, 已知以点 A(- 1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点, (1)求圆 A 的方程; (2)当 MN=2 19时,求直线 l 的方程.

图 22

【解】(1)设圆 A 的半径为 R.由于圆 A 与直线 l1:x+2y+ |-1+4+7| 7=0 相切,∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.

(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 MN 的中点为 Q,直线 l 的方程为 y=k(x+ 2),即 kx-y+2k=0.连结 AQ,则 AQ⊥MN. ∵MN=2 19,∴AQ= 20-19=1, |k-2| 3 则由 AQ= 2 =1,得 k=4.直线方程为 3x-4y+6=0. k +1 综上,直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0.

与圆有关的最值问题

y 与圆有关的最值问题,往往是已知圆的方程 f(x,y)=0,求x,y-x,x2+y2 等量的最值或范围.解决的方法是:设(x,y)是圆上任意一点,分别把给定的式 y 子x,y-x,x2+y2 赋予一定的几何意义,这样就把有关最值问题转化成点、直 线与圆的位置关系问题,再根据圆的几何性质确定最值.

已知实数 x,y 满足关系式:x2+y2-6x-4y+12=0,点 P(x,y), A(-1,0),B(1,0). y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 x-y 的最大值和最小值; (3)求 PA2+PB2 的最大值和最小值.

【精彩点拨】 (1)转化为过圆上的点(x, y)和原点(0,0)的直线的斜率问题. (2) 令 m=x-y,转化为直线与圆相切的问题.(3)令 PA2+PB2=m2,化简后转化为 两圆相切问题.

【规范解答】 根据题意,设圆 C:(x-3)2+(y-2)2=1,圆心 C(3,2). |3k-2| y y (1)设x=k,则当直线 y=kx 与圆 C 相切时,x取得最值.此时 2=1,k 1+k 3± 3 = 4 , 3+ 3 3- 3 y ∴x的最大值为 4 ,最小值为 4 .

(2)设 x-y=m,则当直线 y=x-m 与圆 C 相切时,x-y 取得最值. |3-2-m| 此时 =1,∴m=1± 2, 2 ∴x-y 的最大值为 1+ 2,最小值为 1- 2.

2 m -2 2 2 2 2 2 (3)设 PA +PB =m ,则有 x +y = 2 ,m2≥2. 2 m -2 2 2 当圆 x +y = 2 与圆 C 相切时,PA2+PB2 取得最值,此时

m2-2 1= 2 ±

13,解得 m2=30± 4 13. ∴PA2+PB2 的最大值为 30+4 13,最小值为 30-4 13.

[ 再练一题] 3.如果实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求: y (1)x的最大值与最小值; (2)x+y 的最大值与最小值.

y 【解】 (1)设方程(x-3) +(y-3) =6 所表示的圆 C 上的任意一点 P(x, y).x
2 2

y 的几何意义就是直线 OP 的斜率,设x=k,则直线 OP 的方程为 y=kx. 由图(1)可知,当直线 OP 与圆相切时,斜率取最值.

|3k-3| |3k-3| 因为点 C 到直线 y=kx 的距离 d= 2 , 所以当 2 = 6, 即 k=3± 2 2 k +1 k +1 时,直线 OP 与圆相切.

y 所以x的最大值与最小值分别是 3+2 2与 3-2 2.

(1)

(2)

(2)设 x+y=b,则 y=-x+b,由图②知,当直线与圆 C 相切时,截距 b 取 |6-b| 最值.而圆心 C 到直线 y=-x+b 的距离为 d= . 2 |6-b| 因为当 = 6,即 b=6± 2 3时,直线 y=-x+b 与圆 C 相切,所以 x 2 +y 的最大值与最小值分别为 6+2 3与 6-2 3.

待定系数法的应用
待定系数法,就是所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的系数(部分 或全部)是待定的,然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法. 本章中求直线和圆的方程常用待定系数法,采用待定系数法求圆的方程的 一般步骤为: ①选择圆的方程的某一形式; ②由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组); ③解出 a,b,r(或 D,E,F); ④代入所设方程.

求直线方程时一般有以下几类: ①知过定点,设点斜式(注意斜率不存在的情况); ②知斜率,设斜截式; ③与截距有关设截距式; ④知与已知直线平行或垂直,设一般式(或斜截式、点斜式).

如图 23,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x- 4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

图 23

【精彩点拨】

(1)求出圆心 C,设出直线的方程,利用圆心到直线的距离

等于半径,结合待定系数法求解.(2)设出圆的方程,化简条件 MA=2MO,将问 题转化为两圆相交问题.

【规范解答】 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解 得点 C(3,2), 于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, |3k+1| 3 由题意,得 2 =1,解得 k=0 或-4, k +1 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.

(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[ y -2( a-2) ] 2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2, 化简得 x2+y2+2y-3=0, 即 x2+(y+1)2=4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ a2+?2a-3?2≤3,

2 ? ?5a -12a+8≥0, 化简得? 2 ? ?5a -12a≤0,

由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤ 5 .
2

所以点 C 的横坐标 a

? 12? 的取值范围为?0, 5 ?. ? ?

[ 再练一题] 4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 【导学号:60420096】

【解】

(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.

由题设得 y2+2=r2,x2+3=r2.从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0),由已知得 |x0-y0| 2 =2. 2 又 P 在曲线 y -x =1
2 2

? ?|x0-y0|=1, 上,从而得? 2 2 ? ?y0-x0=1.

? ?x0-y0=1, 由? 2 2 ? ?y0-x0=1,

? ?x0=0, 得? ? ?y0=-1.

此时,圆 P 的半径 r= 3.
? ?x0-y0=-1, 由? 2 2 ? ?y0-x0=1, ? ?x0=0, 得? ? ?y0=1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.

1.(2014· 福建高考改编)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x +y+1=0 垂直,则 l 的方程是________.
【解析】 圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3),又因为直线 l 与直线 x+y+ 1=0 垂直,所以直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x- y+3=0.

2.(2015· 湖北高考)如图 24,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB| =2. (1)圆 C 的标准方程为________; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________.

图 24

【解析】 (1)取 AB 的中点 D,连接 CD,则 CD⊥ AB. 由题意|AD|=|CD|=1, 故|AC|= |CD|2+|AD|2= 2,即圆 C 的半径为 2. 又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),所以圆心 C 的坐标为(1, 2),故圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y- 2)2=2.

(2)令(x-1)2+(y- 2)2=2 中的 x=0,解得 y= 2± 1,故 B(0, 2+1).直 2+1- 2 线 BC 的斜率为 =-1,故切线的斜率为 1,切线方程为 y=x+ 2+ 0-1 1.令 y=0,解得 x=- 2-1,故所求截距为- 2-1.
【答案】 (1)(x-1)2+(y- 2)2=2 (2)- 2-1

3.(2014· 北京高考改编)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0), B(m,0)(m>0), 若圆 C 上存在点 P, 使得∠APB=90° , 则 m 的最大值为__________.
【解析】 根据题意,画出示意图,如图所示, 则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m. 1 因为∠APB=90° ,连接 OP,易知|OP|=2|AB|=m. 要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的 最大距离.因为 |OC| = 32+42 = 5 ,所以 |OP|max = |OC|+r=6,即 m 的最大值为 6. 【答案】 6

4.(2014· 山东高考)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3, 则圆 C 的标准方程为______________________.
【解析】 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题意得 a=2b>0,且 a2=( 3)2 +b2,解得 a=2,b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
【答案】 (x-2)2+(y-1)2=4

5.(2015· 广东高考)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交 于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存 在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.

【解】

(1)把圆 C1 的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,∴圆 C1 的圆心

坐标为 C1(3,0). (2)设 M(x,y),∵A,B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点,且 M 为 AB 的中 → → 点,∴由圆的性质知:MC1⊥MO,∴MC1· MO=0. → → 又∵MC1=(3-x,-y),MO=(-x,-y), ∴由向量的数量积公式得 x2-3x+y2=0. 易知直线 l 的斜率存在,∴设直线 l 的方程为 y=mx, |3m-0| 2 5 当直线 l 与圆 C1 相切时,d= 2 =2,解得 m=± 5 . m +1

5 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得 9x -30x+25=0, 解得 x=3.
2

当直线 l 经过圆 C1 的圆心时,M 的坐标为(3,0). 又∵直线 l 与圆 C1 交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点, 5 ∴3<x≤3. 5 ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 x -3x+y =0, 其中3<x≤3, 其轨迹为一段圆弧.
2 2

(3)由题意知直线 L 表示过定点(4,0),斜率为 k 的直线,把直线 L 的方程代 5 入轨迹 C 的方程 x -3x+y =0,其中3<x≤3,
2 2

5 化简得(k +1)x -(3+8k )x+16k =0,其中3<x≤3,
2 2 2 2

5 记 f(x)=(k +1)x -(3+8k )x+16k ,其中3<x≤3.
2 2 2 2

若直线 L 与曲线 C 只有一个交点,令 f(x)=0.

9 3 2 当 Δ=0 时,解得 k =16,即 k=± ,此时方程可化为 25 x -120x+144=0, 4
2

即(5x-12)2=0,
? 12 ?5 3 ? ? 解得 x= 5 ∈ 3,3 ,∴k=± 满足条件. 4 ? ?

当 Δ>0 时,
?5 ? 5 ①若 x=3 是方程的解, 则 f(3)=0?k=0?另一根为 x=0<3, 故在区间?3,3? ? ?

上有且仅有一个根,满足题意.

?5? 5 2 5 64 5 64 ? ? ②若 x=3是方程的解,则 f 3 =0?k=± 7 ?另外一根为 x=23,3<23≤3, ? ? ?5 ? 故在区间?3,3?上有且仅有一个根,满足题意. ? ? ?5 ? 5 ③若 x=3 和 x=3均不是方程的解, 则方程在区间?3,3?上有且仅有一个根, ? ?

只需

?5? ?5 ? 2 5 2 5 f?3?· f(3)<0?- 7 <k< 7 .故在区间?3,3?上有且仅有一个根,满足题意. ? ? ? ?

2 5 2 5 3 综上所述,k 的取值范围是- 7 ≤k≤ 7 或 k=± 4.


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