2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5课件:第四讲 一 数学归纳法_图文

理解教 材新知 一 第 四 讲 考点一 把握热 点考向 考点二 数 学 归 纳 法 考点三 应用创 新演练 一 数学归纳法 数学归纳法 (1)数学归纳法的概念: 先证明当 n 取第一值 n0(例如可取 n0=1)时命题成立, 然后 假设当 n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当 n=k+1 时命 题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法. (2)数学归纳法适用范围: 数学归纳法的适用范围仅限于与 正整数有关 的数学命题的证 明. (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤: ①证明当 n 取 第一个值 n0 (如取 n0=1 或 2 等)时命题正确; ②假设当 n=k(k∈N+,k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时命题也正确. 由此可以断定, 对于任意 不小于 n0 的正整数 n, 命题都正确. 利用数学归纳法证明恒等式 [例 1] 证明:当 n≥2,n∈N+时, ? 1?? 1?? 1? ? 1 ? n+ 1 ?1- ??1- ??1- ?…?1- 2?= . 4 9 16 n 2 n ? ?? ?? ? ? ? [思路点拨] 注意到这是与正整数 n 有关的命题,可考虑 用数学归纳法证明. [证明] 2+1 3 1 3 (1)当 n=2 时,左边=1- = ,右边= = . 4 4 2×2 4 ∴当 n=2 时,等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即: ? k+1 1?? 1?? 1? 1 ?1- ??1- ??1- ?…(1- 2)= 4?? 9?? 16? k 2k ? 当 n=k+1 ? 1 ? ? ? 1 - 2 ? ?k+1? ? ? ? ? 1 ?? 1? ? 1? 时,?1-4??1-9?…?1-k2? ? ?? ? ? ? 1 ? k+1? ? ? 1 - = 2 ?k+1? ? 2k ? ? ? k+1 k?k+2? k+2 ?k+1?+1 = · = = . 2k ?k+1?2 2?k+1? 2?k+1? ∴当 n=k+1 时, 等式也成立, 由(1)(2)知, 对任意 n≥2, n∈N+等式成立. 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准 确表述 n=n0 时命题的形式,二是要准确把握由 n=k 到 n=k +1 时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明 n=k +1 成立时,必须使用归纳假设. 1.在用数学归纳法证明,对任意的正偶数 n,均有 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1- + - +…+ -n=2?n+2+n+4+…+ 2 3 4 n- 1 ? 1? ?成立时, 2n? (1)第一步检验的初始值 n0 是什么? (2)第二步归纳假设 n=2k 时(k∈N+)等式成立,需证明 n 为何值时,方具有递推性; (3)若第二步归纳假设 n=k(k 为正偶数)时等式成立,需证 明 n 为何值时,等式成立. 1 1 1 解:(1)n0 为 2.此时左边为 1- ,右边为 2× = . 2 4 2 (2)假设 n=2k(k∈N+)时, 等式成立, 就需证明 n=2k+2(即 下一个偶数)时,命题也成立. (3)若假设 n=k(k 为正偶数)时,等式成立,就需证明 n=k +2(即 k 的下一个正偶数)时,命题也成立. 1 1 1 2n 2.求证:1+ + +…+ = (n∈N+). 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n n+1 2×1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1, 1+1 所以左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立, 1 1 1 2k 即 1+ + +…+ = . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+k k+1 1 1 1 则当 n=k+1 时, 1+ + + …+ + 1+2 1+2+3 1+2+3+…+k 1 2k 1 = + = 1+2+3+…+k+?k+1? k+1 1+2+3+…+k+?k+1? 2?k+1?2 2?k+1? 2k 2 + = = . k+1 ?k+1??k+2? ?k+1??k+2? ?k+1?+1 这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对任何 x∈N+等式都成立. 用数学归纳法证明整除问题 [例 2] 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被 x+y 整除. 本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式 [思路点拨] (x+y)有困难,故可考虑用数学归纳法证明. [证明] (1)当 n=1 时, x2-y2=(x+y)(x-y)能被 x+y 整除. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,x2k-y2k 能被 x+y 整除, 那么当 n=k+1 时,x2k+2-y2k+2 = x2 · x2k-y2· y2k-x2y2k+x2y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2) ∵x2k-y2k 与 x2-y2 都能被 x+y 整除, ∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被 x+y 整除. 即 n=k+1 时,x2k+2-y2k+2 能被 x+y 整除. 由(1)(2)可知,对任意正整数 n 命题均成立. 利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商 数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因 式分解”等变形技巧, 凑出 n=k 时的情形, 从而利用归纳假设 使问题得证. 3.用数学归纳法证明:(3n+1)7n-1(n∈N+)能被 9 整除. 证明:①当 n=1 时,4×7-1=27 能被 9 整除命题成立. ②假设 n=k 时命题成立,即(3k+1)· 7k-1 能被 9 整除, 当 n=k+1 时, [(3k+3)+1]· 7k 1-1=[3k+1+3]· 7· 7k-1= + 7· (3k+1)· 7k-1+21· 7k =[(3k+1)· 7k-1]+18k· 7k+6· 7

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