0008v:北京市高中示范校2016届高考数学复习---高三文科三角与平面向量复习建议

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北京市高中示范校 2016 届高考数学复习 高三文科三角与平面向量复习建议
2015.09.

【三角函数复习】
? 2015 年考试说明 要求层次 考试内容 A 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角的正弦、余弦、正切的定义 三 角 诱导公式 函 同角三角函数的基本关系式 三角函数、 三角恒等 变换、解三 角形 用三角函数解决一些简单的实际问题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 三角恒 二倍角的正弦、余弦、正切公式 等变换 简单的恒等变换 解三角 形 ? 考试说明样题 正弦定理、余弦定理 解三角形 √ √ √ √ √ √ 数 周期函数的定义、三角函数的周期性 函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象和性质 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 √ √ √ √ √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ √ √ √ B C

(2006 文,2)函数 y ? 1 ? cos x 的图象 (A)关于 x 轴对称 (C)关于原点对称 (B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 x=

? 对称 2

【答案】B.本题考查余弦函数的性质、函数的奇偶性及其图象的对称性.难度 0.72.
1

(2006 文,13)在△ ABC 中, ? A, ? B, ? C 所对的边长分别为 a,b,c. 若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 a : b : c ? 【答案】 5 : 7 : 8, , ? B 的大小是 .

?
3

.本题主要考查正弦定理、余弦定理.难度 0.66.

(2007 文,13)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代 数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的 面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 【答案】 .

7 .本题主要考查三角恒等变换、求值等基础知识.难度 0.46. 25

(2009 文,15)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ? 3 .本题主要考查三 2

【答案】 f ( x ) 的最小正周期为 ? ; f ( x ) 的最大值为 1,最小值为 ?

角函数的图象及性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的周期 及最大值和最小值.难度 0.65. ? 近三年北京高考题

(2015 文) 3.下列函数中为偶函数的是( A. y ? x2 sin x ) C. y ? ln x D. y ? 2 ? x .

B. y ? x2 cos x

11.在 ??? C 中, a ? 3 , b ?

6 , ?? ?
2

2? ,则 ?? ? 3

15.已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin

x . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ?0, (2014 文) 12.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

1 ,则 c ? 4

; sin A ?



2

16.函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?

y y0

(Ⅰ)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? ? (2013 文) 5.在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ?

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

O

x0

x

1 ,则 sin B ? 3

(A)

1 5

(B)

5 9

(C)

5 3

(D)1

f x) ? (2 cos 2 x ? 1) sin 2 x ? 15.已知函数 (

1 cos 4 x . 2

(Ⅰ)求 ( 的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若 ? ? ( f x) 18.已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x .

?
2

, ? ) ,且 ( f ?) ?

2 ,求 ? 的值. 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) )处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围. 可见,目前北京高考题没有超出考试说明样题的难度与要求,而且呈现逐年简单的趋 势. ? 学情分析 尽管各类学校学生程度不同,但是共同特点都是概念不清,公式记不住,公式好不容易 背下来了,却不知道用来解决什么问题、怎么解决问题.文科学生大多缺少良好的数学思维 能力,思维能力稍好的学生又容易眼高手低,会做而做不对,对而不全.而且他们没有归纳 总结的学习习惯,所以会产生今天会做、过几天就忘,或者同种类型的题目老师讲一道只会 做这一道题,稍微变型就不会的现象. ? 复习误区 1.因为学生知识遗忘过多,所以把知识像新课一样重新讲一遍. 2.因为学生底子薄,就简化甚至是忽略知识的形成过程,仅仅以简单的题型训练为主. 3.为了让学生掌握重点题型,大量机械性地重复训练.

3

?

复习建议 如何才能提高复习效率和复习实效性呢?我认为: 1. 可以适当整合复习顺序,便于学生对知识的理解和记忆. 比如,在复习三角函数定义以后,直接复习三角函数的图象,再接概念,然后变换. 调整理由:函数的图象直观地反映着函数的性质,学习函数的捷径是熟知函数的图象,

而三角函数是函数,所以学习可以从图象开始. 特殊角的函数值,从图形记忆比盲目记忆要好. 2. 知识讲解从网络开始,学生忘得多的多讲,重点知识多强调. 记忆概念和公式,一定要回归定义和本源. 比如,复角公式 比如,三角函数在各象限中的符号,回归定义或图象 3.题型讲解从目标开始,解题方法从结构开始,让学生明白他在做什么. 比如,求下列函数的最值: (2010 文) f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x (2010 文) f ( x ) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x
2

(2011 文理) f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1

4.解题规律从原理开始,让学生知道为什么这么做. (2015 山东, 4) 要得到函数 y ? sin( 4 x ?

?
3

) 的图象, 只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象 ( B )

A.向左平移

? 个单位 12

B.向右平移

? 个单位 12

C.向左平移

? 个单位 3

D.向右平移

? 个单位 3

5.训练要有针对性. (1)同样的一道题,讲一道练两道足以.如果还错怎么办?要么没有听懂,需要再讲; 要么是没有找到错因,在同样的地方重复犯错.俗话说,做一道错题比做十道新题强.定期 错题“再回首”,效果好于做很多同类型题. (2)老师讲明白了,学生听明白了,不等于学生会做了.所以,要想提高复习实效性, 最重要的是让学生掌握所学,这就需要作业的针对性.

4

6.可以教给学生一些避免错误的方法 比如,变形后代特殊值验证. ? 看几道外省市高考题

(一)基本概念也可以这么考查 1. (2011 年陕西文 18)叙述并证明余弦定理. 选题意图:本题是课本公式、定理、性质的推导,可以用向量法和解析法解答.这是高考考 查的常规方向和考点,引导学生回归课本,重视基础知识学习和巩固.

π 2. (2015 湖北文,18)某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一 2
个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



x
A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动
y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

π 【答案】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表: 6
?x ? ?
0

π 2 π 3
5

π
7π 12
0

3π 2 5π 6
?5



x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

13 π 12
0

π π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ)离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 6 12
3. (2015 年上海文,17)已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ,则点 B 的纵坐标为( A. ) C.

? 3

3 3 2

B.

5 3 2

11 2
5

D.

13 2

【答案】D

4. (20115 新课标 I,8)函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递 减区间为( )

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ? 【答案】D (二)以基本的三角函数为背景,也可以考查能力 1. (2015 福建文,21)已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

? 个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后 6

得到函数 g ? x ? 的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)略. 2. (2015 湖南文,15)已知 ? >0,在函数 y ? 2 sin ?x 与 y ? 2 cos?x 的图象的交点中,距 离最短的两个交点的距离为 2 3 ,则 ? =_____. 【答案】 ? ?

?
2

3. (2015 天津文,14)已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x(? ? 0), x ? R ,若函数 f ? x ? 在区 间 ? ??, ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 .

【答案】

π 2

6

(三)以三角为背景,可以考查数学应用 1. (2015 陕西文,14)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数

y ? 3 sin(

?
6

x ? ?) ? k ,

据此函数可知,这段时间水深 (单位: m) 的最大值为 ____________. 【答案】8 2. (2015 湖北文,15)如图,一辆汽车在一条水平的公 路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山 顶在西偏北 75? 的方向上,仰角为 30? ,则此山的高度
CD ? _________m.

【答案】 100 6

BC ? 4 3. (2015 上海文, 21) 如图,A, B, C 三地有直道相通,AB ? 5 千米,AC ? 3 千米,
千米.现甲、 乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地, 经过 t 小时, 他们之间的距离为 f (t ) (单 位:千米).甲的路线是 AB ,速度为 5 千米/小时,乙的路线是 ACB , 速度为 8 千米/小时.乙到达 B 地后原地等待.设 t ? t1 时乙到达 C 地. (Ⅰ)求 t1 与 f (t1 ) 的值; (Ⅱ)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 t1 ? t ? 1 时,求

f (t ) 的表达式,并判断 f (t ) 在 [t1 ,1] 上得最大值是否超过 3?说明理由.
【答案】 (Ⅰ)

3 3 41 h, 千米; (Ⅱ)超过了 3 千米 . 8 8

7

【平面向量复习】
? 2015 年考试说明 要求层次 考试内容 A 平面向量 向量的线 性运算 平面向量的相关概念 向量加法与减法 向量的数乘 两个向量共线 平面向量的基本定理 平面向量 的基本定 用坐标表示平面向量的加法、减法 理及坐标 平面 向量 与数乘运算 表示 用坐标表示的平面向量共线的条件 数量积 数量积的坐标表示 平面向量 的数量积 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直 关系 向量的 应用 用向量方法解决简单的问题 √ √ √ √ √ √ √ 平面向量的正交分解及其坐标表示 √ √ √ B √ √ √ C

?

考试说明样题
?? ? ?? ?

( 2012 文, 13 )已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值 为 ; DE ? DC 的最大值为
?? ? ?? ?



【答案】1,1.本题考查平面向量的概念和运算,也可以运用向量的几何意义来考虑.难度 0.52.

8

?

近三年北京高考题

(2015 文)6.设 a , b 是非零向量,“ a ? b ? a b ” 是“ a //b ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

?

? ?

? ?

? ?



(2014 文)3.已知向量 a ? ? 2, 4 ? , b ? ? ?1,1? ,则 2a ? b ? (A) ? 5, 7 ? (C) ? 3,7 ? (B) ? 5,9 ? (D) ? 3,9 ?

?

?

? ?

(2013 文)14.已知点 A(1, ?1) , B(3, 0) , C (2,1) .若平面区域 D 由所有满足

??? ? ??? ? ??? ? 的点 P 组成,则 D 的面积为__________. ( 1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 1) AP ? ? AB ? ? AC

?

复习建议 文科数学对于平面向量的考查重在概念的理解和坐标运算. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,是工具性的知识.向量的坐标化使其具

有了几何与代数两种形式,实现了数与形的结合,除了掌握向量概念和运算外,同时注意向 量与三角、解析几何等知识的交汇的运用.在复习该部分内容时,可适当强化数形结合的思 想方法.

1. (2015 陕西文,8) 对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是( A. | a ? b |?| a || b | C. (a ? b)2 ?| a ? b |2 【答案】B

? ?



? ?

? ?

B. | a ? b |?|| a | ? | b || D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b

? ?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?2

2. (2015 天津文, 13) 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB // DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,
?

点 E 和 点 F 分 别 在 线 段 BC 和 CD 上 , 且 BE ? 为 【答案】 .

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的 值 3 6

29 18

9

3. ( 2015 浙江文, 13 )已知 e1 , e2 是平面单位向量,且 e1 ? e2 ?

?

?

? ?

? ? ? ? ? b ? e1 ? b ? e2 ? 1 ,则 b ? _______.
【答案】

? 1 .若平面向量 b 满足 2

2 3 3

4. (2015 上海文,13)已知平面向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ,且 {| a |, | b |, | c |} ? {1,2,3},则

| a ? b ? c | 的最大值是
【答案】 3 ? 5

.

5. (2015 安徽文,15) ?ABC 是边 长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a ,
? ? ? AC ? 2a ? b ,则下列结 论中正确的是

?

?

?

?

.(写出所有正确结论得序号)

① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 【答案】①④⑤ 6. (2015 山东文,13)过点 P(1, 则 PA ? PB = 【答案】 . )作圆 的两条切线,切点分别为 A,B,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 2
2 2

7. (2015 湖南文,9)已知点 A,B,C 在圆 x ? y ? 1上运动,且 AB ? BC,若点 P 的坐标为 (2,0) ,则 PA ? PB ? PC 的最大值为 A.6 【答案】B 8. (2015 陕西文,17) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a, 3b) 与 B.7 C.8 D.9

??? ? ??? ? ??? ?

??

? n ? (cos A,sin B) 平行.
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 【答案】 (Ⅰ) A ?

?
3

; (Ⅱ)

3 3 . 2

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