福建省南安市鹏峰中学2014届高考考前模拟数学文试题

福建省南安市鹏峰中学 2014 届高考考前模拟数学文试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 。 1.若集合 M ? x x ? 2 ? 0 , N ? x ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,则 M A.

?

?

?

?

N=

(

)

? x 2 ? x ? 3?

B.

? x x ? 1?

C.

? x x ? 3?

D.

? x 1 ? x ? 2?
( )

?1 3 ? 2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ? , ? ,则 f (4) 的值为 ?3 3 ? ? ?
C. ? A. -2 3.如果复数 A.2 B.2

2 ? bi (其中 b ? R )的实部与虚部互为相反数,则 b = i3 B. ?2 C. ?1 D. 1


1 4

D.

1 4

(

)

4.已知平面向量 a ? (2 ? k ,3), b ? (2, 4) ,若 a b ,则实数 k 等于(

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 5

5. 已知直线 y ? ? x ? 1 经过圆“ x2 ? y 2 ? 2ax ? 2 y ? 1 ? 0 ”的圆心,则实数 a 的值为 ( ) A.2 B. 0 C. ?2
3

D.

3 2
) D. y ? x ? 2
开始

6. 曲线 y ? 4 x ? x 在点(-1,-3)处的切线方程是( A. y ? 7 x ? 2 B. y ? 7 x ? 4 C. y ? x ? 4

i=0
输入正整数 n n为奇数?
是 否

7. 在右侧程序框图中,输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是( A.3 B.4 C.5 D.6



n = 3n+1



n = n/2

8. “ a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? log (2 ? ax) 在定义域内为减函数”的 ( a A. 充 分 不 必 要 条 件 C.充要条件 B. 必 要 不 充 分 条 件

i=i+1 n = 1?


D.既不充分也不必要条件

输出i
2

9.己知抛物线 y2=4 3 x 的准线与双曲线 且|AB|=2,则双曲线的离心率 e 为

x y ? 2 =1 两条渐近线分别交于 A,B 两点, 2 a b
( )

2

结束

A.2

B.

4 3

C. 2

D.

2 3 3

10.已知实数 a,b,满足条件 ? A.

?0 ? a ? 2 , 则事件: “ 2a ? b ? 0 ” 发生的概率为 ( ) ?0 ? b ? 2
C.

1
正 图

1


1
侧 图

1


1 4

B.

1 3

1 2

D.

3 4


11. 如右图,一个几何体的正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰三角形, 俯视图是一个圆及其圆心,当这个几何体的体积最大时圆的半径是 ( A.

3 3

B.

1 3

C.

6 3

D.

2 3

俯 图



2 2 12. 将 n 个正整数 1、 2 、 3 、?、 n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,

计算某行或某列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的比值

a ,称这些比值中的最小值为这 b
).

个数表的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的所有可能的“特征值”的最大值为( A.

4 3

B.

3 2

C. 2

D. 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 在 ?ABC 中, cos A ?

1 ? ,则 sin( A ? ) ? 3 4

14. 为了均衡教育资源, 加大对偏远地区的教育投入, 调查了某地若干户家庭的年收入 x (单 位:万元)和年教育支出 y(单位:万元) ,调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有线性

? ? 0.15x ? 0.2 .由回归直线方程 相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y
可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加____________万元.

? 1 ? x ? , x ? 0, 15. 函数 f ( x) ? ? 与直线 y ? 4 的交点个数是______个. x ?3 ? e x , x≤0 ?
16. 如果 b 是 a 和 c 的等差中项,y 是 x 和 z 的等比中项,且 x,y,z 都是正数。则 (b-c) log m x +(c-a) log m y +(a-b) log m z =________,其中 m>0 且 m≠1. 三、解答题:本大题共六大题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中,a1 ? ?7 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 中,b1 ? 1 , 公比为 q , 且 b2 ? S2 ? ?8 . a4 ? a1 ? 3q

(Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)求 S n ,并求 S n 当最小时 n 的取值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A 1B 、 AC 1 的中点, 点 D 在 B1C1 上, A 1D ? B 1C 求证: (Ⅰ)EF∥平面 ABC; 。

? 平面 BB1C1C . (Ⅱ)平面 A 1FD

19. (本小题满分 12 分) 交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为

10? ,分别有五个级别: T ? ?0,2? 畅通; T ? ?2,4? 基本畅通; T ? ?4,6? 轻 T .其范围为 ?0,
度拥堵; T ? ?6,8? 中度拥堵;T ? ?8,10? 严重拥堵.在晚高峰时段( T ? 2 ),从某市交通指 挥中心选取了市区 20 个交通路段, 依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个?

?6,8?, ?8,10? 的路段中共抽取 6 个路段, , (Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在 ?4,6?
求依次抽取的三个级别路段的个数; (Ⅲ)从 (Ⅱ)中抽出的 6 个路段中任取 2 个,求至少一个路段为轻度拥堵的概率.

20.

(本小题满分12分) 函数f(x)=Asin( ? x+ ? )(A>0, ? >0,0< ? <

? )在一个周期内的图象如图所示,P是图象的 2

最髙点, Q是图象的最低点,M是线段PQ与x轴的交点,且

cos ?POM ?
(I

5 , | OP |? 5, | PQ |? 4 2 5

) 求函数 y=f(x)的解析式; (II)将函数 y =f (x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y = g(x)的图象,试求 函数 h(x)= f(x).g(x)图象的对称轴方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 且经过点 M ( ? 3, ) , 圆 C2 的 2 2 a b 2

直径为 C1 的长轴.如图, C 是椭圆短轴的一个端点,斜率为 k (k ? 0) 的动直线 AB 过 点 C 且与圆 C2 交于 A, B 两点, CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D .
(I)

求椭圆 C1 的方程;

(II)求△ ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R) .
2 x
(I)

当 a ? 1 时,试判断 f ( x ) 的单调性并给予证明;

(II)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ).

①求实数 a 的取值范围; ②证明: ?

e ? f ( x1 ) ? ?1.(e 为自然对数的底数) 2

参考答案 1-12 ABBCA DCADD C 12. B 2 同行或同列时, 当 n ? 2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行两列的数表,当1,

4 4 3 3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为 或 ;当1, 4 ;当 1, 3 3 2 4 3 3 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 或 ,故这些可能的“特征值”的最大值为 . 2 3 2
这个数表的“特征值”为 13.

4? 2 6

14. 0.15

15.3

16. 0

17. 【解答】 (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , 因为 ?

?b2 ? S 2 ? ?8 ?q ? 14 ? d ? ?8, 所以 ? 解得 q ? 3 , d ? 3 .??4 分 q ? d. ? a4 ? a1 ? 3q ?
, bn ? 3n?1 . ????????6 分

故 an ? ?7 ? 3(n ? 1) ? 3n-10 (Ⅱ)

n(3n ? 17) , ??????????8 分 2 10 (法一)由 an ? 0 得 n ? ,又 n ? N? ,? n ? 3 时, S n 最小。??????12 分 3 Sn ?
(法二)Sn ?

n(3n ? 17) 3 2 17 3 17 ? n ? n ,令 f ( x) ? x 2 ? x x ? N ? ,由二次函数的图象 2 2 2 2 2

与性质易得,? n ? 3 时, S n 最小。??????12 分

18. 证明:

?6 分

??12 分 19.解:(Ⅰ)由直方图得:这20个路段中,轻度拥堵的路段有 ?0.1 ? 0.2??1? 20 ? 6 个, 中度拥堵的路段有 ?0.25 ? 0.2? ? 1? 20 ? 9 个,严重拥堵的路段有 ?0.1 ? 0.05? ? 1? 20 ? 3 个. ??3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:拥堵路段共有 6 ? 9 ? 3 ? 18 个,按分层抽样,从 18 个路段选出6个,依次 抽取的三个级别路段的个数分别为:

6 6 6 ? 6 ? 2 , ? 9 ? 3 , ? 3 ? 1 ,即从交通指数 18 18 18
??6 分

?6,8?, ?8,10? 的路段中分别抽取的个数为 2,3,1 . , 在 ?4,6?

(Ⅲ)记选出的2个轻度拥堵路段为 A1 , A2 ,选出的3个中度拥堵路段为 B1 , B2 , B3 ,选出的 1个严重拥堵路段为 C1 ,则从6个路段中选取2个路段的所有可能情况如下:

? A1, A2 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, B3 ? , ? A1, C1 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? , ? B1, B2 ?, ? B1, B3 ?, ? B1, C1 ?,
? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B3 , C1 ? ,共15种情况.
其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有: ??10 分

?A1 , A2 ?, ?A1 , B1 ?, ?A1 , B2 ?, ?A1 , B3 ?, ?A1 , C1 ?, ?A2 , B1 ?, ?A2 , B2 ?, ?A2 , B3 ?, ?A2 , C1 ? ,共9种,?
所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是

9 3 ? . 15 5

??12 分

20.

21.解:(I)由已知得到

c 3 a 2 ? b2 3 2 2 ? ,所以 ,即 a ? 4b . ? a 2 a 2
1 2 3 1 ? 2 ? 1, 2 4b 4b

又椭圆经过点 M ( ? 3, ) ,所以 解得 b ? 1,? a ? 4 ,
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆的方程是 4

????????4 分

(II)因为直线 AB ? CD 且两直线都过点 C (0,1) ,

由已知可得直线 AB : y ? kx ? 1 , (k ? 0) ,直线 CD : y ? ? 所以圆心 (0, 0) 到直线 AB 的距离为 d ?

1 x ? 1 ,即 x ? ky ? k ? 0 , k

1 k 2 ?1

,

所以 AB ? 2 4 ? d 2 ?

2 4k 2 ? 3 k 2 ?1

,

??????6 分

? x ? ky ? k ? 0, 8k ? 2 2 x ? x ? 由 ? x2 得 , 所以 , (4 ? k ) x ? 8 kx ? 0 C D 2 2 k ? 4 ? y ? 1, ? ? 4

CD ? 1 ?

1 1 64k 2 8 k 2 ?1 2 , ( x ? x ) ? 4 x x ? (1 ? ) ? C D C D k2 k 2 (k 2 ? 4)2 k2 ? 4
1 1 2 4k 2 ? 3 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 AB CD ? ? ? 2 ? .????9 分 2 2 k ?4 k2 ? 4 k 2 ?1
2

所以 S

ABD

?

t2 ? 3 2 ,t ? 3, 令 t ? 4k ? 3 ,则 k ? 4
2

S

ABD

?

8t 32t 32 16 13 ? 2 ? ? . 13 t ?3 t ? 13 t ? 13 ?4 t 4
2

当t ?

13 10 , t ? 13 ,即 4k 2 ? 3 ? 13, k ? ? 时,等号成立, t 2

故△ ABD 面积的最大值为

16 13 10 ? 1 .????12 分 ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? 13 2

22.解:(I)

a ? 1 , f ( x) ? x2 ? e x , f ?( x) ? 2x ? e x .
x x

令 g ( x) ? 2 x ? e , g ?( x) ? 2 ? e ? 0 , x ? ln 2 .????2 分 在 (??,ln 2) 上, g ( x) 单调递增,在 (ln 2, ??) 上, g ( x) 单调递减, 最大值 g (ln 2) ? 2 ln 2 ? 2 ? 2(ln 2 ? 1) ? 2 ln

2 ? 0. e

? f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??. ? ?) 上单调递减. ????5 分
(II) ① f ?( x) ? 2ax ? e x ,须方程 2ax ? e x ? 0 有相异两实根.

化为 2ax ? e ,如图,设切点为 A( x0 , e 0 ) ,
x

x

(e x )? ? e x ,? 2a ? e x0 ,又 2ax0 ? ex0 ,
2ax0 ? 2a ? x0 ? 1 , e x0 ? e , A(1, e) ,
e 2a ? k AO ? e , a ? . ????10 分 2
解法二.

f ?( x) ? 2ax ? e x ,须方程 2ax ? e x ? 0 有相异两实根.
化为 2a ?

ex ex e x ? x ? e x ?1 e x ( x ? 1) ? ,令 ? ( x) ? , ? ?( x) ? x x2 x2 x

由 ? ?( x) ? 0 得 x ? 1 , 在 (??,0),(0,1) 上, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减; 在 (1, ??) 上, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, 当 x ? (??,0) 时,方程 2ax ? e ? 0 不可能有相异两实根. 最小值 ? (1) ? e ,
x

从而 2a ? e ? a ? ②由①知,当 a ?

e . 且 0 ? x1 ? 1 ? x2 . 2

????10 分

e 时,两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 2

必有 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,

f ?( x1 ) ? 0 ,?2ax1 ? ex1 ? 0 , a ?

e x1 , x1 ? (0,1) , 2 x1

f ( x1 ) ? ax12 ? e x1 ?
t

x e x1 2 x1 ? x1 ? e ? e x1 ( 1 ? 1), x1 ? (0,1) , 2 x1 2

令 h(t ) ? e ( ? 1), t ? (0,1) ,

t 2

t 1 t 1 h?(t ) ? et ( ? 1) ? et ? ? et ( ? ) ? 0 , 2 2 2 2

h(t ) 在 (0,1) 上单调递减, h(1) ? h(t ) ? h(0) ? ?
即?

e t ? et ( ? 1) ? ?1 , 2 2

e ? f ( x1 ) ? ?1. 证毕. 2

????14 分


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