个性化辅导:高一复习学案三角函数(8-10)

个 性 化 课 程 辅 导 教 案 学员姓名 授课时间 教学课题
教学 目标

性 课

别 时

女 3 课时





高一

教研老师

三角函数

1 理解任意角的概念会进行弧度制和角度制的互化 2 三角函数概念理解应用 3 记忆同角三角函数函数基本关系式并会利用他们来解题。
灵活运用和计算

重点 难点

第一讲三角函数(第一部分)
1.1 任意角的概念与弧度制 1.1.1 角的概念的推广
知识概述(自主学习,构建网络) 1、角的概念的推广: 在平面内,一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向,习惯上规定,按照 向旋转而成的角叫做正角;按照 成一个角,叫做 . 方

方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,我们也把它看


注意: (1)角经过推广之后,可形成任意大小的角. (2)射线 OA 绕端点 O 旋转到 OB 位置所成角,记

学 内 容

作∠AOB,其始边是

,终边是

;∠BOA 的始边是

,终边是



(3)角的减法可转化为加法,即 ? ? ? = ? ? 2、角的讨论——象限角和终边在轴上的角: 通常在直角坐标系中讨论角,使角的顶点与 第几象限,就把这个角叫做 何象限(终边在轴上的角) . 3、与任意角 ? 终边相同的所有角的集合: 基础训练(自我检测,明确重点) 1、判断下列各语句的真假:
1

,也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

重合,角的始边与

重合.角的终边在 上,就认为这个角不属于任

(象限角) ;如果角的终边在

(1)第一象限的角一定是锐角; (3)相等的角终边一定相同; (5)钝角的终边在第二象限.

(2)终边相同的角一定相等; (4)小于 900 的角一定是锐角;

2、 ( 1 )射线 OA 饶端点 O 逆时针旋转 2700 到 OB 位置,接着顺时针旋转一周到 OC 位置,则∠ AOC= .

(2)射线 OA 饶端点 O 顺时针旋转 800 到 OB 位置,接着逆时针旋转 2500 到 OC 位置,然后再顺时针 旋转 2700 到 OD 位置,则∠AOD= 3、判断下列各角是第几象限的角: (1)450, (4)2100, (7)-3150, ; (2)-350, ; (5)4050, ; (8)8550, ; (3)1240, ; (6)-1350, ; (9)-7500, ; ; . .

4、写出与下列各角终边相同角的集合: (1)300, (3)2200, ; (2)-700, ; (4)-3100, ; .

0 0 5 、在 0 ~ 360 间, ( 1 )终边在 x 轴正半轴、 y 轴正半轴、 x 轴负半轴、 y 轴负半轴上的角分别

是 范围分别是 典型例题(点拨思路,归纳方法)

; (2)终边在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的角的 .

例 1、在 0 到 360 间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1) 660 ; (2) 760 ; (3) ?45 ; (4) ?120 ; (5) ?480 ; (6) ?950 08 .
0 0
0

0

0

0

0

0

/

例 2、 (1)终边在 x 轴正半轴上的角的集合是 (2)终边在 x 轴负半轴上的角的集合是 (3)终边在 y 轴正半轴上的角的集合: (4)终边在 y 轴负半轴上的角的集合: 例 3、写出终边在 x 轴上的角的集合.
2

; ; ; .

例 4、写出终边在第一象限的角的集合.

基础训练(自我检测,明确重点) 1、 (1)终边在 x 轴正半轴上的角的集合是 (2)终边在 x 轴负半轴上的角的集合是 (3)终边在 y 轴正半轴上的角的集合: (4)终边在 y 轴负半轴上的角的集合: (5)终边在 x 轴上的角的集合: (6)终边在 y 轴上的角的集合: 2、 (1)终边在射线 y ? x( x ? 0) 上的角的集合: (2)终边在射线 y ? x( x ? 0) 上的角的集合: (3)终边在射线 y ? ? x( x ? 0) 上的角的集合: (4)终边在射线 y ? ? x( x ? 0) 上的角的集合: (5)终边在直线 y ? x 上的角的集合: (6)终边在直线 y ? ? x 上的角的集合: 3、 (1)终边在第一象限的角的集合: (2)终边在第二象限的角的集合: (3)终边在第三象限的角的集合: (4)终边在第四象限的角的集合: 强化训练(强化重点,提高能力) 1、与-650 终边相同角的集合是
3

; ; ; . ; . ; ; ; ; ; . ; ; ; .



2、在 0 到 360 间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. 3、在直角坐标系中,集合 S ? ? ? ? k ? 90 , k ? Z 的元素表示的角的终边在
0

0

0

?

?



4、终边在直线 y ? 3x 上的角的集合是
0 0 0


0

5、若 ? 是锐角,则角 k ? 3600 ? ? (k ? Z ) , ?? , 180 ? ? , 180 ? ? , 360 ? ? , 90 ? ? ,

900 ? ? , 2700 ? ? , 2700 ? ? 的终边分别在第
0 0 0

象限.

6 、 角 ? 与 角 k ? 3600 ? ? (k ? Z ) 、 ?? 、 180 ? ? 、 180 ? ? 、 360 ? ? 的 终 边 的 关 系 分 别 是 7、若 ? 分别是第一、二、三、四象限的角,则 .

? 分别是第 2

象限的角.

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
知识概述(自主学习,构建网络) 1、1 弧度角的定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. .

注意:这样规定出来的 1 弧度角的大小是完全确定的,与所用圆的大小 2、弧度制:以 为单位来度量角的制度叫做弧度制.弧度记作 .

注意:①在用弧度制表示角时,弧度二字或 是 .③正角的弧度数是

可略去不写.②弧度制与角度制的主要区别 ,零角的弧度数是 .④无论角度制还是

,负角的弧度数是

弧度制,都在角的集合与实数集之间建立了一个

对应关系.

3、公式:设圆半径为 r ,弧长为 l 的弧所对圆心角的弧度数为 ? ,相应扇形面积为 S. (1)弧度数公式: ? = 4、弧度制与角度制的换算: ① 360 ?
0

; (2)弧长公式: l =

; (3)扇形面积公式:S=



rad , 1800 ?
)0, n ?
0

rad .
( rad ) . (换算公式)

② ? (rad ) ? (

注意: (1)根据换算公式,可写出算法、编写程序,利用计算机进行换算; (2)会用计算器进行换算; (3)熟练掌握特殊角的弧度数. 基础训练(自我检测,明确重点) 1、 (1)在半径不同的同心圆中,同一个圆心角所对的圆弧长与相对应的半径的比值 (2)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是
4



弧度.

2、填写下表: 度 弧度 度 弧度 3、使用换算公式,把下列各角的度数化为弧度数: (1)150; (2)120; (3)22030/; (4)157.50; (5)10800; (6)-600; (7)-2250. 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 360 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

4、把下列各角的弧度数化为度数: (1)

? 5? 3? ? 3? 5? ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ? ; (6) ? . 12 3 10 2 6 8

5 、已知半径为 120mm 的圆上,有一条弧长为 144mm ,则此弧所对圆心角的弧度数和角度数分别 是 .

6、把下列各角化为 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式,并指出它们是第几象限角: (1)

23? 18? ; (2) ? ; (3)-15000. 6 7

强化训练(强化重点,提高能力) 1、时间经过 4h,时针、分针各转了 度,各等于 弧度. . ; .

2、航海罗盘将圆周 32 等分,则其中一等份所对圆心角的度数和弧度数分别是 3、 (1)已知圆的半径是 0.5m,则 2rad 圆心角所对的弧长和扇形面积分别是 (2)已知圆的半径是 5cm,则 1200 圆心角所对的弧长和扇形面积分别是

4、 (1)在半径 OA=100cm 的圆形板上,截取一个弧长 AB =112cm 的扇形 OAB,则圆心角∠AOB 的度数 是 (精确到 10) . (精确到 0.1) . .

(2)已知 2000 的圆心角所对的弧长为 50m,则这个圆的半径等于 (3)已知扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是
5
2

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数的定义
知识概述(自主学习,构建网络) 1、三角函数的定义: 在直角坐标系 xoy 中,已知任意角 ? .在 ? 的终边上取 于原点的任一点 P( x, y) , P 到原点 O 的距 离为 r ,则: 叫做角 ? 的正弦,记作 ; ; 叫做角 ? 的余弦,记作 ; ; ;

叫做角 ? 的正切,记作 叫做角 函数. 注意:倒数关系: sec? ? 2、三角函数的定义域: (1) y ? sin ? ,

叫做角 ? 的余切,记作 .它们都是以

叫做角 ? 的正割, 记作

? 的余割,记作

? 为自变量的函数,分别叫做角 ? 的

; csc? ?

; cot ? ?



; (2) y ? cos ? ,

; (3) y ? tan ? ,



基础训练(自我检测,明确重点) 1、已知角 ? 终边过点 P( ,

1 3 ) ,则 sin ? = 2 2
; csc? ?

; cos ? = . , cos ? = , cos ? =

; tan ? =



cot ? ?

; sec? ?

2、已知角 ? 终边过点 Q(?

2 2 , ) ,则 sin ? = 2 2

, tan ? = , tan ? = .



3、已知角 ? 终边过点 M (?3, ?1) ,则 sin ? =

4、若角 ? 终边是射线 y ? 3x( x ? 0) ,求 ? 的六个三角函数值.

典型例题(点拨思路,归纳方法) 例题、已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求 ? 的六个三角函数值.

6

强化训练(强化重点,提高能力) 1、sin300= tan450= ,cos300= ,sin600= ,tan300= ,cos600= ,sin450= ,tan600= ,cos450= . , cos ? = , tan ? = . ,

2、已知角 ? 的终边落在直线 y ? 2 x 上,则 sin ? = 3、已知 sin ? ? ? 的坐标为

1 3 , cos ? ? ? ,则 ? 的终边与以原点为圆心、以 2 为半径的圆的交点 2 2


4、特殊角的三角函数值: (熟记) 角? 00 300 450 600 900 1800 2700 3600

? 的弧度数
sin ?

cos?
tan ?
2、三角函数在各象限的符号: (将在各象限函数值为正的函数名称填在相应象限内)
O

y

x

口诀; 基础训练(自我检测,明确重点) 1、计算: (1) 5sin



?
2

? 2 cos 0 ? 3sin
0 0

3? ? 10 cos ? = 2
0 0


0

(2) sin 360 ? 2cos90 ? 3sin180 ? 4 tan180 ? 5cos360 = (3) cos



?
3

? tan

?

3 ? ? ? ? tan 2 ? sin ? cos 2 = 4 4 6 6 6



6 = (4) ? ? 1 ? tan ? tan 3 6
2、确定下列各三角函数的符号:

tan

?
3

? tan

?

(2 tan 2 300 ? 1) cos 2 300 ; (5) = 2sin 2 450 ? 1



7

(1) sin156 , (4) tan(?

0

; (2) cos

17? ), 8

16? , ; (3) cos(?800 ) , ; 5 4? 0 / ), ; (5) sin( ? ; (6) tan 556 12 , 3

. 可能是负值.

3、设 ? 是三角形的一个内角,在 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 中, 典型例题(点拨思路,归纳方法) 例题、设 sin ? <0 且 tan ? >0,确定 ? 是第几象限的角.

强化训练(强化重点,提高能力) 1、填空: (1)如果 sin ? >0,且 cos ? <0,则 ? 是第 (2)如果 tan ? >0,且 cos ? <0,则 ? 是第 (3)如果 sin ? <0,且 tan ? <0,则 ? 是第 (4)如果 cos ? >0,且 sin ? <0,则 ? 是第 2、根据下列条件,确定 ? 是第几象限的角: (1) cos ? 与 tan ? 异号, (3) sin ? 与 cos ? 异号, 3、 (1)若 sin ? >0,则 ? 的终边在 (2)若 cos ? <0,则 ? 的终边在 ; (2) cos ? 与 tan ? 同号, ; (4) sin ? 与 tan ? 同号, ; . ; . 象限的角; 象限的角; 象限的角; 象限的角.

1.2.2 单位圆与三角函数线
温故知新(复习旧知,导入新课) 1、三角函数在各象限的符号: (在坐标系中注明)

? 的终边 y
P MO N

y/

A x T/

2、如图,在直角坐标系 xoy 中,以原点为圆心,以 1 为 半径作圆,角 ? 的终边与圆交于点 P,过点 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M ,作 PN 垂直 y 轴于点 N ,则点 M 、

N 分别是点 P 在 x 轴、 y 轴上的(正)射影.则点 P 的坐标可用角 ? 的三角函数值表示为
8



此时向量 OM , ON 的数量 OM=

,ON=

.过点 A (1, 0) 作轴 y / 与 y 轴同向, y / 轴与 ? 的终 ,此

边或其反向延长线相交于点 T(T/) ,则点 T(T/)的坐标可用角 ? 的三角函数值表示为 时向量 AT / ( AT ) 的数量 AT ( AT/ ) = 的 、 、 .

.则我们把轴上向量 OM 、 ON 、 AT ( AT ' ) 叫做 ?

这就是今天我们要学习的 1.2.2 单位圆与三角函数线. 知识概述(自主学习,构建网络) 1、 单位圆: 半径为 的圆叫做单位圆. 若单位圆的圆心在坐标原点, 则角的 ? 余弦和正弦分别等于角 ? . 分别叫做 ? 的正弦线、余弦线、正切

终边与单位圆交点的

2、三角函数线:温故知新 3 中的轴上向量 线. 注意:正切线的作法. 基础训练(自我检测,明确重点) 1、分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1)

? 5? 2? 13? ; (2) ; (3) ? ; (4) ? . 6 3 3 6

1.2.3 同角三角函数的基本关系式
知识概述(自主学习,构建网络) 1、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? cos ? ?
2 2



?

sin ? . cos ?


2、应用 1: 基础训练(自我检测,明确重点) 1、 (1)已知 sin ? ?

3 ? ,且 ? ? (0, ) ,求 cos ? , tan ? . 5 2 4 ? (2)已知 cos ? ? ,且 ? ? ( ? , 0) ,求 sin ? , tan ? . 5 2 3? ) ,求 sin ? ,cos ? . (3)已知 tan ? ? 2 ,且 ? ? (? , 2

9

2、 (1)已知 sin ? ?

1 ,且 ? 是第一象限角,求 cos ? , tan ? . 2 4 (2)已知 cos ? ? ? ,且 ? 是第三象限角,求 sin ? , tan ? . 5 3 (3)已知 tan ? ? ? ,且 ? 是第四象限角,求 sin ? ,cos ? . 4

典型例题(点拨思路,归纳方法) 例题、已知 tan ? ? ? 5 ,且 ? 是第二象限角,求 sin ? ,cos ? .

强化训练(强化重点,提高能力) 1、已知 cos ? ?

3 ,求 ? 的其它各三角函数值. 5

2、已知 sin ? ? cos ? ? ?

5 0 0 , 180 ? ? ? 270 ,求 tan ? 的值. 5

知识概述(自主学习,构建网络) 1、同角三角函数的基本关系式: 2、应用 1:知道一个角的某一个三角函数值求这个角的其它三角函数值; 应用 2:
10





基础训练(自我检测,明确重点) 1、化简: (1) cos ? ? tan ? ; (2) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ; (3) (1 ? tan 2 ? )cos2 ? .

2、证明: (1) sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ;
4 4 2 2

(2) sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? 1.
4 2 2 2

典型例题(点拨思路,归纳方法) 例 1、化简

sin ? ? cos ? . tan ? ? 1

例 2、求证: (1) tan ? ? sin ? ? tan ? sin ? ; (2)
2 2 2 2

cos ? 1 ? sin ? ? . 1 ? sin ? cos ?

强化训练(强化重点,提高能力) 1、化简: (1)

2 cos 2 ? ? 1 ; (2) sin ? cos ? (tan ? ? cot ? ) . 1 ? 2sin 2 ?

2、证明: (1) (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin
2

2

(2) ? cot ? ;

1 ? sin ? tan ? ? sec ? ? 1 ? . cos ? tan ? ? sec ? ? 1

11

知识概述(自主学习,构建网络) 1、同角三角函数的基本关系式: 2、应用 1:知道一个角的某一个三角函数值求这个角的其它三角函数值; 应用 2:化简三角函数式和证明三角恒等式. 基础训练(自我检测,明确重点) 1、证明: (1) (cos ? ?1)2 ? sin 2 ? ? 2 ? 2cos ? ; (2) (cos ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? sin ? )2 ? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) . .

2、 (1)若

?
2

? ? ? ? ,化简:

1 ? sin ? 1 ? sin ? ; ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(2)若

3? 1 ? cos ? 1 ? co s ? ? ? ? 2? ,化简: . ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?

典型例题(点拨思路,归纳方法)
2 2 例题、已知 tan ? ? ?4 ,求 cos ? ? sin ? .

强化训练(强化重点,提高能力) 1、已知 sin ? cos ? ?

1 ? ? , ? ? ? ,求 cos ? ? sin ? . 8 4 2

12

2 2 2、化简: (1) 1 ? sin 2 ? ? tan ? ; (2) sin ? (1 ? cot ? ) ? cos ? (1 ? tan ? ) .

3、已知 tan ? ? ?4 ,求下列各式的值: (1)

4 sin ? ? 2 cos ? 2 ; (2) sin ? ; (3) 3sin ? cos ? . 5 cos ? ? 3sin ?

1.2.4 诱导公式
第 1 课时 知识概述(自主学习,构建网络) 口诀: 。

典型例题(点拨思路,归纳方法) 例题、求 sin( ?

7? ) 的值. 3 55? 19? 14? ); ); ) (2) cos(? (3) tan(? 6 4 3

例题、求值: (1) sin(?

13

例题、已知 sin( 3? ? ? ) ? 且0 ?? ??,

2 cos(

?
2

3? ? ? ), 2

3 cos(?? ) ? ? 2 cos(? ? ? ) ,

? ? ? ? ,求 cos ? ,cos ? 的值.

基础训练(自我检测,明确重点) 1、求下列各三角函数值: (1) sin18? ; (2) cos 25? ; (3) sin

13? 19? 0 ; (4) cos ; (5) tan 405 . 2 3

2、求下列各三角函数值: (1) sin( ?

?

); (2) sin( ? ) ; (3) cos( ? ) ; (4) cos(?? ) ; (5) tan( ? ) . 6 2 4 3
; cos(? ? ? ) = ; cos( ; tan(? ? ? ) = .

?

?

?

3、 sin(? ? ? ) =

sin(

?
2

??) =

?
2

??) =

; tan(

?
2

??) =

. ; tan(? .

4、求值: sin

5? = 4
0

; sin

16? = 3
0

; cos

31? = 6
0

17? )= 6



5、求值: sin120 =
0

; cos135 =
0

; tan150 =

6、将下列三角函数化为 0 ~ 45 之间的三角函数:

sin1150 =
7、求值:

; cos105 =

0

; tan110 =

0



2? 13? 14? 8? )= = ; cos = ; tan = ; cos( ? 3 6 3 3 43? 79? 41? sin(? )= )= )= ; cos( ? ; tan(? . 6 6 3 sin
8、化简:



14

(1)

sin(2? ? ? ) tan(? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; cos(? ? ? ) tan(3? ? ? )

(2) 1 ? sin(? ? 2? )sin(? ? ? ) ? 2cos2 (?? ) ;

sin(1800 ? ? )sin(2700 ? ? ) tan(900 ? ? ) (3) ; sin(900 ? ? ) tan(2700 ? ? ) tan(3600 ? ? )
(4) tan10 tan 20 tan 30 tan 45 tan 60 tan 70 tan80 .
0 0 0 0 0 0 0

15

课时作业
1、求下列各三角函数值: (1) sin

13? 17? 37? 103? ; (2) tan ; (3) tan ; (4) cos . 3 4 6 4

2、求下列各三角函数值: (1) sin( ?

11? 17? 31? ); ); ). (2) cos(? (3) tan(? 6 3 4

3、计算: (1) sin

35? 11? ? cos( ? ); (2) 1 ? sin 2 4200 . 6 3

4、已知 sin(2? ? ? ) ?

3 ,且 ? 是第三象限角,求 tan ? 的值. 5

5、将下列三角函数化为 0 ~ 45 (或 0 ~

0

0

?

4 ? 5? sin 850 = ; cos = ; tan = 3 12 27? 83? )= )= 6、求值: sin(? ; cos(? 4 6

)之间的三角函数: ; cos185 = ; tan(? ; tan
0

. ;

sin(?19200 ) =
7、化简: (1)

; cos(?15600 ) =

14? = 3

35? )= 3


cos(? ? ? ) tan(? ? 2? ) tan(2? ? ? ) ; sin(? ? ? )
2 0 0 0 0

(2) sin (?? ) ? tan(360 ? ? ) tan(?? ) ? sin(180 ? ? )cos(360 ? ? ) tan(180 ? ? ) ; (3) tan1 tan 2 tan 3 8、已知 sin(? ? ? ) ?
0 0 0

tan 440 tan 450 tan 460

tan870 tan880 tan 890 .

1 ? 3? , ?? ? ,求 tan ? 的值. 2 2 2

16

9、求

tan(?1500 ) cos(?2100 ) cos(?4200 ) 的值. cot(?6000 )sin(?10500 )

10、已知 sin(? ? ? ) ? log 8

1 ? ,且 ? ? ( ? , 0) ,求 cot(2? ? ? ) 的值. 4 2

11、化简: (1)

cos(? ? ? ) cot(5? ? ? ) 1 ? 2sin1000 cos 2800 ; (2) . tan(2? ? ? )sin(?2? ? ? ) cos3700 ? 1 ? cos 2 1700

12、设 cos 460 ? t ,用 t 表示 tan 260 .
0 0

课 后 作 业

1、课时作业

17


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