基本初等函数指数对数与幂函数晚练专题练习(二)含答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《基本初等函数指数函数对数函数与幂函数》单 元过关检测
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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

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评卷人 得分

一、选择题

1.函 数 f( x)= ex ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (



(A)(-2,-1) (B) (-1,0) 天津文 4)

(C) (0,1)

2.设 2a ? 5b ? m ,且 1 ? 1 ? 2 ,则 m ? ( ) ab

(D) (1,2)(2020

A. 10

B.10

C.20

D.100(2020 辽宁文 10)

3.设

a

?(3)52 ,b

?(

2

3
)5,c

?(

2

2
)5





a,b,c

的大小关系是(



5

5

5

A.a>c>b 安徽文 7)

B.a>b>c

C.c>a>b

D.b>c>a(2020

4.已知全集U ?R,函数 y ?

1 的定义域为集合 x ?1

A,函数

y ? log2 ? x ?

2? 的

? ? 定义域为 集合 B ,则集 合 ?U A B ?

A. ??2, ?1?

B. ??2,?1?

C. ???, ?2?

D. ??1, ???

5.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动(向右为 顺时针,向左为逆时针)。设顶点 p(x,y)的轨迹方程是
y ? f (x) , 则 关 于 f (x) 的 最 小 正 周 期 T 及 y ? f (x) 在 其 两 个
相邻零点间的图像与 x 轴

所围区域的面积 S 的正确结论是





A. T ? 4, S ?? ?1

B. T ? 2? , S ? 2? ?1

C. T ? 4, S ? 2? ?1

D. T ? 2? , S ? ? ?1

6.定义在

R

上的函数

f(x)满足

f(x)=

???lfo(gx2

(1 ? ? 1)

x), ?f

x (

?0 x ? 2),

x

?

0





f(2020)的

值为( )

A .- 1

B. 0

C.1

D. 2

(2020 山 东 卷 理 ) 【 解 析 】 : 由 已 知 得
f (?1) ? log2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1, f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ?1, f (5) ? f (4) ? f (3) ?1, f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2020)= f(5)=1,故选 C.

7 .若 loga 7 b ? c ,则 a,b, c 之间满 足

()

A. b7 ? ac

B. b ? a7c

C. b ? 7ac

D. b ? c7a

8 . 已知函 数 f (x) ? ?x ? x3,x1、x2、x3 ? R,且 x1 ? x2 ? 0,x2 ? x3 ? 0,

x3 ? x1 > 0 , 则 f (x1 ) ? f (x2 ) ? f (x3 ) 的 值

A、一定大于零 B、一定小于零 C、等于零 D、正负都有可能

9.设函数 f(x)=1-x2+log1(x-1),则下列说法正确的是 2

()

(A)f(x)是增函数,没有最大值,有最小值

(B)f(x)是增函数,没有最大值、最小值

(C)f(x)是减函数,有最大值,没有最小值

(D)f(x)是减函数,没有最大值、最小值

10.设 a>1, 且 m ? loga (a2 ?1)n ? loga (a ?1), p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大 小关系


A. n>m>p

B. m>p>n

C. m>n>p

D. p>m>n(07安徽)

B.
第II卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

1 1 .方程 lo g3 x ? x ? 3的解在区 间 (n, n ? 1) 内, n ? N * ,则 n = .
1 2 . 定 义 : 区 间 [x1, x2 ] (x1 ? x2 ) 的 长 度 为 x2 ? x1 , 已 知 函 数 y ?| log0.5 (x ? 2) | 定 义 域为 [a ,b ],值域为[ 0 ,3 ], 则区间 [a, b]的长度 的最大 值 为 ▲ .

1 3 .若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2 ,则 m ?



1 4 . 函 数 y ? a x 在 [0,1] 上的最 大值 与最小值 的和 为 3 , 求 a 值 .

1 5 . y ? log 1 (x2 ? 3x ? 2) 的定义 域 是__ ____ _



2

16.设方程

2x

?

x

?

4的 根 为x0,若x0

? (k

?

1 2

,k

?

1 ),则 整 数k 2

?

___



评卷人 得分

三、解答题

17. 2020 年青奥会水上运动项目将在 J 地举行,截止 2020 年底,投资集团 B 在 J 地共投资 100 万元用于地产和水上运动项目的开发。经调研,从 2020 年初到 2020 年底的四年间,B 集团预期可从三个方面获得利润:一是房地产项目,四年 获得的利润的值为该项目投资额(单位:百万元)的 20%;二是水上运动项目, 四年获得的利润的值为该项目投资额(单位:百万元)的算术平方根;三是旅游

业,四年可获得利润 10 百万元。
(1)B 集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大?
(2)假设 2020 年起,J 地政府每年都要向 B 集团征收资源占用费,2020 年征收 2 百万元后,以后每年征收的金额比上一年增加 10%,若 B 集团投资成功的标准 是:从 2020 年初到 2020 年底,这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小 利润的平均数)不低于投资额的 18%,问 B 集团投资是否成功?

18.已知函数

f (x) ?| loga

x | (a ? 1) ,比较

f (2),

f (1), 3

f (1)的大小. 4

1

19.已知函数

f (x) ? x ? log2

x (x ? (0,3)) 3? x

(1)求 f ( x)? f (3? x );并判 断函数 y ? f (x) 的 图象是否 为一 中心对 称 图形;

? (2)记 S(n) ?

1

2n ?1
f (1?

i

)(n ? N *) ,求 S(n) ;

2n i ?1

2n

(3 ) 若 函 数 f (x) 的 图 象 与 直 线 x ? 1, x ? 2 以 及 x 轴 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 S ,试探究 S(n) 与 S 的大小关 系 。

2 0 .请先阅读 :在等 式 cos 2x ? 2cos2 x ?1( x ?R )的两 边求 导,得 :

( cos 2x)? ? (2 cos2 x ?1)? ,

由 求 导 法 则 , 得 ( ? sin 2x) 2 ? 4cos x ( ? sin x) , 化 简 得 等 式 : sin 2x ? 2cos x sin x .
(1 ) 利 用 上 题 的 想 法 ( 或 其 他 方 法 ) , 试 由 等 式 ( 1 + x ) n =
C0n ? C1n x ? Cn2 x2 ? ? Cnn xn ( x ? R , 正 整 数 n≥ 2 ) , 证 明 : n[(1? x)n?1 ?1] =
n
? kCkn xk?1 .
k ?1
(2)对于正整数 n≥3,求证:
n
? ( i) (?1)k kCkn =0 ; k ?1

n

? ( i i )

(?1)k

k

2C

k n



0



k ?1

? ( i i i )

n k ?1

k

1 ?

1

Ckn

?

2n?1 ?1 n ?1



【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.C

2.A

解析:

1 a

?

1 b

?

logm

2

?

logm

5

?

logm 10

?

2,?m2

? 10,



m ? 0,?m ? 10.

3.A

y

?

2
x5



x

?

0时是增函数,所以

a

?

c



y

?

(2)x



x

?

0时是减函数,所以

5

c?b。

4.B

5. A

6.C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

7.

8.

9.

10.

第 II 卷(非选择题)

请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11.2
12. 63 8
13. 14.
15. ?x x ? 2或x ? 1?

16.1 评卷人 得分

三、解答题

17.

18.

19



(1



f

(x) ?

f

(3 ?

x)

?

(x ? log2

3 3?

) ?[(3 ? x

x) ? log2

3? x

x]

?

3

?

log

2

(

3

x ?

x

?

3? x

x)

?

3

(2 ) ①

? 1 2n ?1

i1

1

2

S(n) ?

f (1? ) ? [ f (1? ) ? f (1? ) ?

2n i?1

2n 2n

2n

2n

2n ?1 ? f (1? 2n )]

1

2n ?1

2n ? 2

S(n) ? 2n [ f (1? 2n ) ? f (1? 2n ) ?



1 ? f (1? 2n )]

由(1) 知, f (1? 1 ) ? f (1? 2n ?1) ? 3 , f (1? 2 ) ? f (1? 2n ? 2) ? 3 ……

2n

2n

2n

2n

①+②得:

2S (n)

?

1 2n

[3? (2n

?1)]

?

3? (1?

1 2n

)



S (n)

?

3 2

(1 ?

1 2n

)

(3)

f (x) ?

x

?

log2

(

3

3 ?

x

?1) 为增函数 , ? x ?[1, 2] 时,

f ( x) ?

f (1)?

0

由(1) 知函数 y ? f (x) 的图象 关于点 ( 3 , 3) 对称, 记点 A(1, 0), B(2,3),C(2, 0) , 22

所 求 封 闭 图 形 的 面 积 等 于 ?ABC 的 面 积 , 即 S ? 3 , 2

S (n)

?

3 2

(1 ?

1 2n

)

?

3 2

,? S (n)

?

S

20.【解析】:本小题考查充要条件、指数函数于绝对值函数、不等式的综合运 用。

( 1 ) f (x) ? f1 (x) 恒 成 立 ? f1(x) ? f2 (x) ? 3 x? p1 ? 2 ? 3 x? p2 ? 3 x? p1 ? x? p2 ? 2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2 ( *)

若 p1 ? p2 , 则 ( * ) ? 0 ? log3 2 , 显 然 成 立 ; 若 p1 ? p2 , 记 g(x) ? x ? p1 ? x ? p2



p1

?

p2 时 ,

g( x) ?

? ???

2

p1 ? p2 x? p1 ?

p2

, x? p2 , p2 ? x?

p1

?? p2 ? p1 , x? p1

所以

g(x)max ?

p 1?

p

,故只需
2

p1

?

p2

? log3

2。



p1

?

p2 时 ,

g

(

x)

?

? ? ?

2

p1 x?

? p1

p2 ?

p2

, x? p1 , p1? x?

p2

?? p2 ? p1 , x? p2

所 以 g(x)max ? p 2? p 1, 故 只 需 p2 ? p1 ? lo g3 2。

综上所述 , f (x) ? f1(x) 对所有实 数 x 成立的充 要条 件是 | p1 ? p2 |? log3 2

( 2 ) 1 0 如 果 | p1 ? p2 |? log3 2, 则 f (x) ? f1 (x) 的图像 关于直线 x ? p1 对称 。(如 图
1)

因 为 f ( a) ? f (b),所以区间 [a,b ]关 于直线 x ? p1 对称。

因为减区间为

[a,

p1] , 增 区 间 为

[

p1, b]

,所以单调增区间的长度和为

b

? 2

a



2 0 如 果 | p1 ? p2 |? lo g3 2, 不 妨 设 p1 ? p2 , 则 p2 ? p1 ? lo g3 2,

于 是 当 x ? p1 时 , f1(x) ? 3p1?x ? 3p2 ?x ? f2 (x) , 从 而 f (x) ? f1 (x)

当 x ? p2 时 , f1(x) ? 3x? p1 ? 3 ? 3 p 2? p 1 x? p 2 ? 3l o g3 2? 3x? p 2? f2 (x) , 从 而 f ( x) ? f2 ( x)

当 p1 ? x ? p2 时 , f1(x ) ? 3x? p1 及 f2 (x) ? 2 ? 3p2 ?x ,

由 方 程 3x0 ? p1

?

2? 3p2?

x0得

x0

?

p1 ? p2 2

?

1 2

log3

2





1



显然

p1

?

x0

?

p2

?1 [( 2

p2

?

p1)

?log3

2 ]?

p,2 表 明

x0 在

p1 与

p2 之间。

所以

f

(

x)

?

? ? ?

f1 f2

(x) (x)

, p1 ? x ? x0 , x0 ? x ? p2

综上可知 ,在 区间 [a,b] 上,

f

(

x)

?

? ? ?

f1 f2

(x) (x)

, a ? x ? x0 (如图 2 ) , x0 ? x ? b

故由 函数 f1(x) 及函 数 f2 (x) 的单调 性可 知, f (x) 在区 间 [a,b] 上的单 调增 区间 的长

度 之 和 为 (x0 ? p1) ? (b ? p2 ) , 由 f ( a?) f ( ,b) 即 3p1?a ? 2 ?3b? p2 , 得

p1 ? p2 ? a ? l bo? g3( 22)

故由(1)(2)得

( x0

?

p1)?

(b

?

p

2

)?

b

?

1 2

[p 1? p 2?

l o g3

2?] b ? a 2

综合 1 02 0 可知 , f (x) 在区间 [a,b ]上的单调 增区 间的长 度 和为 b ? a 。 2

y (a,f(a))

(b,f(b))

y

(a,f(a)) (x0,y0)

(b,f(b))

(p2,2)

(p1,1)

O

图1

x

O

图2

x


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