www319msccom:2012高考总复习《走向清华北大》精品课件14导数的概念及其运算_图文

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第三模块导数及其应用 第十四讲导数的概念及其运算

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1.导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim , ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,

即f′(x0)

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ?x ?0 ?x

(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =

f ( x ? ?x) ? f ( x) lim . ?x ?0 ?x

注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.

?y 若 lim 存在 ?x ?0 ?x
则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.

2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-

y0=f′(x0)(x-x0).

3.几种常用函数的导数 (1)c′=0(c为常数); (2)(xn)′=nxn-1(n∈N); (3)(sinx)′=cosx; (4)(cosx)′=-sinx; (5)(ex)′=ex;

(6)(ax)′=axlna;
? 7 ? (lnx)? ?
1 ; x 1 . xlna

? 8 ? (logax)? ?

4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);

? f ( x ) ? f ' ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ' ( x) (3) ? (g(x) ? 0). ? ? 2 [ g ( x)] ? g ( x) ?

'

注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如 [f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.

5.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对 应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有 导数,且y′x=y′u·u′x或写作fx(φ(x))=f′(u)·φ′(x).

考点陪练

1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足() A.Δx>0 C.Δx≠0 B.Δx<0 D.Δx=0

解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是 “附近”的意义. 答案:C

评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.

2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平 均速度为( A.0.41B.3 C.4 D.4.1 )

?s 3 ? 2.12 ? (3 ? 22 ) 解析 : ? ? 4.1. ?t 2.1 ? 2
答案:D

f (1 ? ?x) ? f (1) 3.设函数f(x)可导,则 lim ?x ?0 ?x
等于( ) A.f′(1) C.?f′(1) 答案:A B.3f′(1) D.f′(3)

4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为( A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,

)

f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.
答案:A

5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程 为( )

A.y=x-1B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2

解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,
所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A. 答案:A

类型一

利用导数定义求导数

解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方 法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.

4 【典例1】用定义法求函数y ? 2 的导数. x

4 4 4?x(2 x ? ?x) [解]?y ? ? 2 ?? 2 , 2 2 ( x ? ?x) x x ( x ? ?x) ?y 2 x ? ?x ? ?4? 2 , 2 ?x x ( x ? ?x)

? ?y 2 x ? ?x ? 8 ? lim ? lim ? ?4? 2 ?? 3. 2? ?x ?0 ?x ?x ?0 x x ? x ? ?x ? ? ? ? ?

[反思感悟]利用定义法求导数,要先求出 ?y , ?x 然后分离出与Δx无关的量,再求解.

类型二

利用求导公式求导数

解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: (1)分析函数y=f(x)的结构和特征;

(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;
(3)整理得结果.

2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数 真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理 式或整式求解更为方便.

【典例2】求下列函数的导数 : ?1? y ? x 2sinx; 2 ? y ? 3x e x ? 2 x ? e; ? lnx (3) y ? 2 ; x ?1 4 ? y ? sin 3 2x. ?

[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx; (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3?ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)?(3e)x-2xln2;

(lnx)?( x 2 ? 1) ? lnxo( x 2 ? 1)? ? 3? y? ? ( x 2 ? 1) 2 1 2 ?( x ? 1) ? lnx ?2 x ? x ( x 2 ? 1) 2 x2 ? 1 ? 2 x2 ? lnx ? ; 2 2 x( x ? 1)

? 4 ? y? ? 3 ? sin2x ? ? sin2x? ? ?
2

6sin2 2xcos2x.

[反思感悟]理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进 行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正 确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判 断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和 掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准 确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在解

决新问题时才能举一反三,触类旁通,得心应手.

类型三

导数的几何意义及应用

解题准备:求曲线切线方程的步骤是: ①求导数f′(x); ②求斜率k=f′(x0); ③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x) 在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,

同时还必须明确P(x0,y0)为切点.

1 3 4 【典例3】已知曲线y ? x ? . 3 3 ?1? 求曲线在点P ? 2, 4 ? 处的切线方程;

? 2 ? 求曲线过点P ? 2, 4 ?的切线方程; ? 3? 求斜率为4的曲线的切线方程.

[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.

1 4 [解] ?1? ? P ? 2, 4 ? 在曲线y ? x3 ? 上, 3 3 且y? ? x 2 ,? 在点P ? 2, 4 ? 处的切线的斜率k ? y? |x ? 2 ? 4. ?曲线在点P ? 2, 4 ? 处的切线方程为y ? 4 ? 4 ? x ? 2 ? , 即4x ? y ? 4 ? 0. 1 3 4 ? 2 ? 设曲线y ? x ? 3 3 与过点P ? 2, 4 ?的切线相切于点 ? 1 3 4? A ? x0 , x0 ? ? , 3? ? 3 2 则切线的斜率k ? y? |x ? x 0 ? x 0 .

? 切线方程 ?1 3 4? 2 y ? ? x0 ? ? ? x 0 ? x ? x 0 ? , 3? ?3 2 3 4 即y ? x 2 0 ?x ? x0 ? . 3 3 2 ? 点P ? 2, 4 ? 在切线上,? 4 ? 2x 0 2 3 4 2 ? x0 ? , 即x 3 ? 3x 0 ? 4 ? 0, 0 3 3 2 2 ? x 3 ? x 0 ? 4x 0 ? 4 ? 0, 0
2 ? x 0 ? x 0 ? 1? ? 4 ? x 0 ? 1?? x 0 ? 1? ? 0,

? ? x 0 ? 1?? x 0 ? 2 ? ? 0, 解得x 0 ? ?1或x 0 ? 2,
2

故所求的切线方程为4x ? y ? 4 ? 0或x ? y ? 2 ? 0.

2 3? 设切点为 ? x 0 , y 0 ? , 则切线的斜率k ? x 0 ? 4, x 0 ? ?2. ?

4? ? 切点为 ? 2, 4 ? 或 ? ?2, ? ? , 3? ? 4 ? 切线方程为y ? 4 ? 4 ? x ? 2 ? 或y ? ? 4( x ? 2), 3 即4x ? y ? 4 ? 0或12x ? 3y ? 20 ? 0.

[反思感悟]利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以 下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐

标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他 的公共点.

错源一

因忽视解题顺序而致错
1 1 ? 在x ? 4处的导数. 1? x 1? x

【典例1】求函数f ? x ? ?

1 2 [错解]因为f ? 4 ? ? ? 1 ? ? , 所以f ? ? 4 ? ? 0. 3 3

[剖析]f(x)在点x0处的导数f′(x0),实际上是导函数f′(x)在x=x0 处的函数值,即f′(x0)=f′(x)|x=x0.故求f(x)在x0处的导数f′(x0), 应先求f(x)的导函数f′(x),再将x=x0代入f′(x)求值,顺序不能 颠倒.

1? x 1? x 2 [正解]因为f ( x) ? ? ? , 1? x 1? x 1? x 2 2 所以f ? ? x ? ? , f ? ? 4? ? . 2 (1 ? x) 9

错源二

忽视复合函数的求导

【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,c∈R且为常数, 若b2>4(c-1),求证:方程f′(x)=0有两个不等的实数根.

[错解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-x[x2+(b+2)x+b+c].

由f′(x)=0
即e-x[x2+(b+2)x+b+c]=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. Δ=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),所以Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.

[剖析]本错解“歪打正着”,虽然未注意到复合函数的求导,但 结论居然也被“证”出来了,显然是一种巧合,也说明了这 种错误的隐蔽性很好.

[正解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x =e-x[-x2+(-b+2)x+b-c].

由f′(x)=0,即
e-x[-x2+(-b+2)x+b-c]=0, 得x2+(b-2)x-b+c=0. Δ=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),所以Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.

技法一

活用导数定义

【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)???(x-2006),则 f′(0)=________.

[解析]

f ?(0) ? lim
x ?0 x ?0

f ? x ? ? f ?0?

x ?0 x?0 x ? lim ? x ? 1?? x ? 2 ?? ? x ? 2006 ?

? lim

f ? x?

=1×2×3×?×2006. [答案]1×2×3×?×2006

技法二

先化简再求导,优化解题过程

【典例2】求函数y=cotx的导数. [解题切入点]对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公 式,一些同学不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx

来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解.

cosx [解]因为y ? cotx ? , sinx (cosx)?sinx ? cosx( sinx)? 所以y? ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 1 ? ?? 2 . 2 sin x sin x

[方法与技巧]一些常用求导的策略: (1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用公 式求导.

(2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再利用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,可以先化为有求导公 式的函数表示再求导.


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