解析几何专题汇编4与椭圆有关的垂直平分问题

第四部分、与椭圆有关的垂直平分问题
1.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,离心率为 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知点 A(0 ,1) 和直线 l : y ? x ? m ,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直平 分弦 AB ,求实数 m 的值.

3 . 2

x2 ? y2 ? 1 ; 4 (2)由条件可得直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 .于是,有
解: (1)

? y ? ?x ?1 8 3 ? 2 ? 5 x 2 ? 8 x ? 0 ? xB ? , yB ? ? xB ? 1 ? ? . ?x 2 5 5 ? ? y ?1 ?4
设弦 AB 的中点为 M ,则由中点坐标公式得 xM ?

4 1 , yM ? ,由此及点 M 在直线 l 得 5 5

1 4 3 ? ?m?m?? . 5 5 5

x2 y2 6 2.椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,离心率 e ? 。 3 a b
(1)求椭圆的方程; ( 2 ) 直 线 l : y ? kx ? 2 (k ? 0) 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N 满 足

MP ? PN , AP ? MN ? 0 ,求 k 。
?b ? 2 ? 解: (1)设 c ? a ? b ,依题意得 ? c ?e ? ? a ?
2 2

a2 ? b2 6 ? a 3

?b ? 2 即? 2 2 2 ?6a ? 9a ? 9b

x2 y2 ? ? 1。 ∴ a ? 3b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2

(2) ? MP ? PN , AP ? MN ? 0 ∴ AP ? MN ,且点 P 线段 MN 的中点,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 2) ? 12 y2 ? ? 1 ? ?12 4
即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0 (*)
2 2 2 2 由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) ? 144k ? 0 ,显然方程(*)有两个不相等的实数根。

1

设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

∴ y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) , ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? 1 ? 3k ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 MN ? AP ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3

3. 椭圆的对称中心在坐标原点, 一个顶点为 A ( 0 , 2 ) , 右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离为 2 。 (1)求椭圆的方程; (2)是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 ,使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。 【解】 (1)依题意,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 a2 b2

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2



2 2 由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 。

x2 y2 ? ? 1。 又 ∵ b ? 2 ,∴ a ? c ? b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2 2

(2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 2) ? 12 y2 ?1 ? ? ?12 4
即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0
2 2

(*)
2

由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) 2 ? 144 k 2 ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。

设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( ? y 0 ? kx0 ? 2 ? 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3 k , ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3 ,即 tan? ? ? , 3 3
5? , 6

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6

,或 ? ?

∴ 存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ? 【问题链接】

?

6

,或 ? ?

5? 。 6

(2009 辽宁)已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程;

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

(2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

x2 y2 ? ? 1。 1 ? b 2 4b 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去) 。 2 1? b 4b 4
. . . . . .4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

3

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

. . . . . . .8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ? kxF ? ? k 。 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

所以直线 EF 的斜率 kEF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
. . . . . . .12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

4


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