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圆与方程

高考要求
内容 圆的标准方程 与一般方程 圆的方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 C 要求层次 重难点 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程 与一般方程. 2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用 待定系数法求出圆方程,结合圆的几何性 B 质解决与圆有关的问题.

C

知识框架
圆的标准方程与一般方程

直线与圆的位置关系 圆方程

圆与圆的位置关系

知识内容
1. 圆的标准方程
(1)以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (2)圆心在原点的圆的标准方程: x 2 ? y 2 ? r 2
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2. 圆的一般方程
( x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )① 说明: (1) x 2 和 y 2 项的系数相等且都不为零; (2)没有 xy 这样的二次项. (3)表示以 (?
D E 1 , ? ) 为圆心, D2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆. 2 2 2

3. 直线与圆的位置关系
将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程 求出其 ? 的值,然后比较判别式 ? 与 0 的大小关系, 若 ? ? 0 ,则直线与圆相离 若 ? ? 0 ,则直线与圆相切 若 ? ? 0 ,则直线与圆相交

4. 圆的弦长的求法
?l? 几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r ,则 ? ? ? d 2 ? r 2 ?2?
y B y 代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆的交点分别为 A ? xA , A ? , ? xB , B ?
2

则弦长 AB ? 1 ? k 2 ? x A ? xB ; AB ? 1 ?

1 ? y A ? yB . k2

5. 圆系方程
经过两个定点 A , 的圆有无数多个,那么表示这无数多个圆的方程称为圆系方程. B (1)经过直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程为
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0 ,其中 ? ? R .

(2)经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程为
C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? ? 0 ,其中 ? ? R 且 ? ? ?1 同时不包括圆 C2

当 ? ? ?1 时,方程变为 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? F1 ? F2 ? 0 ,若两圆相交,则其表示两圆公共弦 所在直线方程.

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例题精讲
1. 圆的方程 【例1】 方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? a ? 1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是( A . a ? ?2 或 a ? C. ?2 ? a ? 0
2 3
2 B. ? ? a ? 0 3



D. ?2 ? a ?

2 3

【例2】 (07 上海文 13)圆 x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(
2 2



A. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
2 2

1 2

B. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2

【例3】 与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方 是 .

2. 直线和圆的位置关系 【例4】 (2010 年丰台一模)过点 P ? 2 , 0 ? 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长 时的直线方程是_________.

【例5】 (2008 年山东)已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3 , 的最长弦和最短弦分别 5) 为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( A. 10 6 B. 20 6 ) D. 40 6

C. 30 6

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【例6】 圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个



D.4 个

【例7】 (2006 年湖南)圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距 的差是_________.



【例8】 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA 、 PB 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,
A , B 是切点,那么四边形 PACB 面积的最小值为_______,此时 P 点的坐标为_____.

【例9】 (2010 年江西)直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ≥ 2 3 ,
2 2

则 k 的取值范围是(
? 3 ? A. ? ? ,0 ? ? 4 ?
? 3 3? , ? C. ? ? 3 ? ? 3


3? ? B. ? ?? ,? ?∪? 0 ,? ? ? 4? ? ? 2 ? D. ? ? ,0 ? 5 ? ?

【例10】 (2010 年海淀一模)直线 2ax ? by ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , B 两点(其中 a , b 是实数) ,且 ,则点 P ? a , b ? 与点 ? 0 , 1? 之间距离的最大值为( ?AOB 是直角三角形( O 是坐标原点) A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 D. 2 ? 1 )

【例11】 (2011 年东城区期末 6)直线 ax ? by ? a ? b ? 0 与圆 x ? y ? 2 的位置关系为(
2 2



A.相交

B.相切

C.相离

D.相交或相切

? x ? 2 ? cos ? 【例12】 (2011 年东城一模理)已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,则曲线上 C 的点到 ? y ? sin ?

直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离的最大值为



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【例13】 (2010 年全国理 11)已知圆 O 的半径为 1, PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 ??? ??? ? ? ) PA ? PB 的最小值为( A. ?4 ? 2 B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2

? x ? 2 ? 3cos ? 【例14】 (2010 年安徽理 7)设曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数),直线 l 的方程为 ? y ? ?1 ? 3sin ?
x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为

7 10 的点的个数为( 10



A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【例15】 (2010 年湖北 9)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是
1 A. ? ?1 , ? 2 2 ? ? ? 3? C. ?1 ? 2 2 , ? ? 1 B. ?1 ? 2 2 , ? 2 2 ? ? ? 3? D. ?1 ? 2 ,? ?

【例16】 (2010 年江西 8)直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,
2 2

则 k 的取值范围是(
? 3 ? 0 A. ? ? , ? ? 4 ?


3? ? ? ? B. ? ?? , ? ? ? 0 , ?? 4? ?
? 3 3? , ? C. ? ? 3 ? ? 3

0 D. ? ? ,? ? 3 ?

? 2 ?

2 2 【例17】 (2009 年全国 II 16)已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1 , 2 ,

?

?

则四边形 ABCD 的面积的最大值为



【例18】 (06 湖南卷)若圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为

2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (
A.[
, ] 12 4

) C.[

? ?

B.[

, ] 12 12

? 5?

? ?

,] 6 3

? D. [0 , ] 2

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3. 数形结合
? ? x ? 3cos ? ? ? (0 ? ? ? π) ? ,集合 N ? ?( x ,y) | y ? x ? b? 且 M ? N ≠ ? ,则 b 的 【例19】 若集合 M ? ?( x ,y ) ? ? y ? 3sin ? ? ? ?

取值范围为______________.

【例20】 已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , P( x , y) 为圆上任一点,求 最小值.

y?2 的最大、最小值,求 x ? 2 y 的最大、 x ?1

【例21】 求函数 y ?

sin x ? 1 的值域. 2cos x ? 4

4. 圆的综合 【例22】 (2011 年海淀一模 8)若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于 2,则 l 与下列曲线一定有公 共点的是( ) B. .

A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1

x2 ? y2 ? 1 2

C. y ? x 2

D. x 2 ? y 2 ? 1

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【例23】 (2011 年海淀一模 13)若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于 2,则在下列曲线中: ① y ? x ?2
2

② ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1



x2 ? y2 ? 1 2

④ x2 ? y2 ? 1

与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是

. (写出你认为正确的所有序号)

【例24】 (2011 年海淀一模 8)已知抛物线 M : y 2 = 4 x ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? r (其中 r 为常数,
2 2 2

. (1, 的直线 l 交圆 N 于 C 、 两点, D 交抛物线 M 于 A 、 两点, 且满足 AC ? BD r ? 0 ) 过点 0) B 的直线 l 只有三条的必要条件是( A. r ? (0,1] B. r ? (1, 2] ) C. r ? ( , 4)

3 2

D. r ? [ , ??)

3 2

【例25】 (2009 年上海 18) 过圆 C: ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1的圆心, 作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、 ?AOB B, (x 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S| | | , 则直线 AB 有( A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 )

B III C IV II O A I

【例26】 (07 湖北理 10)已知直线

x y ? ? 1 ( a,b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共 a b
) D.78 条 C.72 条

点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条

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【例27】 (07 上海 11)如图, A , 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 B
A , 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范 B





C

l A B

【例28】 (07 江西理 16)设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 . D.所有的圆均不经过原点 . 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号)

C 【例29】 已知菱形 ABCD 的顶点 A , 在椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.
(Ⅰ)当直线 BD 过点 (0 , 时,求直线 AC 的方程; 1) (Ⅱ)当 ?ABC ? 60? 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

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【例30】 (2011 年海淀期末 19)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,点 P 为直线 l : x ? 4 上的动点. (I)若从 P 到圆 O 的切线长为 2 3 ,求 P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长; (II)若点 A(?2 , , (2 , ,直线 PA , 与圆 O 的另一个交点分别为 M , ,求证:直线 MN 经 0) B 0) PB N 过定点 (1, . 0)

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课后检测
【习题1】(08 湖北卷 9)过点 A(11, 作圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有( 2) A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条 )

【习题2】(08 天津卷 15)已知圆 C 的圆心与点 P(?2 , 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 1) C 相交于 A , 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为__________________. B

【习题3】(08 四川卷 14)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的
2 2

最小值为_______.

【习题4】(06 湖南卷)圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差 是( A.36 ) B. 18 C. 6 2 D. 5 2

【习题5】(2009 年天津 14)若圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0 ? a ? 0 ? 的公共弦的长为 2 3 ,则

a ? ___________

【习题6】(2011 年丰台区期末 18)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M (?2, 的直线 l 与 0) 圆 x2 ? y 2 ? 1 交于 P , Q 两点.
???? 1 ???? ? (Ⅰ)若 PQ ? 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若 MP ? MQ ,求直线 l 与圆的交点坐标. 2

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