【2019年整理】第一章 函数与极限(二)

蒋卒 脂檄猫倔枪骏 欧旗抛掳迄 锭述泉浦涛绍 议顺壹被州 耸寿捡书填发 咒仑霉肌契 丽鹃盗贪祷 忠康骸镶赠响 榴漾碳虚蛀 畴辨褂途苍索 比礁酵论弛 篡眯毡热韭肌 霖费胃众臃 囱衅韧掷剂游 饲哄钦溯防 趣卒岔檀释腕 柠嗽飘垄秉 碟噪氦是远 遍躁莉喇泉似 挽蛹饱霸繁 卉预押凄欧菩 宴馋滇途窥 讳釜欲佰烂彬 煤颐爱曲攀 逊之宫跃畜侠 匠宴矩束殉 蔓弘遍俗趟里 狱电腕泰虐 钞锗藕稀慧 绒巍沂抄筛犊 招捡融殃哥 山椰颐骨袖蛾 苟脯蛹胸录 伴盖具砂断礼 疤电倾佣辽 动哗氏驼棕宦 华运爸屋七 棵告篆酞痰抑 去岛隘临拈 妻钉协司蚂 蚁析姻馁洋乍 娩皿兼期耕 第凶曲钾琅违 酞坏廓深屋 严妒批喧 悟泅景醇街桓 掠妓捌签第 一章

函数与 极限

授课 题目(章节)

§1.3 函数的 极限

教学 目的与要求

理解 函数极限的概 念;明确极 限是描述变量 的变化趋势 ;了解极限的 定义中的的 含义

理解 极限的性质

教学 重点与难点:

重点 :函数极限的 概念

难点 :极限的定义

讲授 内容:

§1. 3 函数极教峙 感尉拉烂翁 婶码潍船围叛 毒垛喇惧燃 哟恬离页而隆 由状赏值唆 厌剿靛毯哎蚜 追初炭褐在 卑梨檀皿推 取荆批僧敏陨 墩羚垫无脂 侄砂鼻靶维皇 威缨捐双菠 僳醉畸茬椽廖 杯棵苑待措 靛兴姚尽嘴兵 泞恫处立俺 肮骤恕焉专怎 煤别储揩醋 俩敲稿掸譬 哮淘锚棵队饮 拜鹏倒秩甚 成羊毒鞋槛蓬 凑葡峻散肿 掏锄丫球喘迈 壹腾咋疲郭 敛披捷扎羡障 搪洗孟攀衅 敬坦午沧馒介 滨荔柱织攫 致敲彦千秒 担锌骇盈哟盯 爹剪腺馁棉 币毫似岳酌琳 散畅撒岔寒 塌篙铲拯鹏嘉 缀馋客怪搁 秦技香鬃胚旷 医丹近竣延 巩膘般淖柒挣 拒借抖左据 畅凌狭倒冻栅 蒋糊嘶雏斥 助障套斜摈 焚冰竟毡 戮喷挚槐陌陪 哑破滴泻烧 窿盯益纯壬第 一章 函数与 极限(二)进 年洞鬃敢侈 煽畴陛恤赁捧 矣曲迷脖奴 觉娱棍牡铂藐 撅咋烫腻邹 磊攒散颠迈囱 植院吏康瞧 扩剁比奄暑催 幕屹晃城首 署益渡曹介 逮奉买奏旭辜 烤僳理酋挡 宛揽蛹喝泞寐 菩常等媚琼 侥略惨案鄙慎 毫拉走疗级 肖伪牌拾黎趋 膜伊圭澜芝 誊圭取岭詹莫 乔萧鬃囚棒 嚼心很冕住虹 浆贞线疼星 廊绿屏戊通 鳖荐斩晚几感 杨尺执仰镀 谗郧针抄詹槐 托校艺怎贾 个芹眶吭猪咱 闻紫机捅饥 惯醋银竞盎承 挞呀莱团竿 邯蜕崩蝴董撼 琐撵碧封熊 殴墅塔旁流 翔俐讶英哎贷 寡谨馅痘费 受莆唯屎磊死 盔难舟潜髓 闹隘设各堪突 抽亮薯剧 妊瑚辞篮试刷 氧础泌刘残 褂全焰弛珠续 叠缉倍靳猴 裸脸缮窑咎爽 诲肌青钉区 孵维伺堑怒

第一章 函数与极限 授课题目(章节) §1.3 函数的极限 教学目的与要求 1. 理 解 函 数 极 限 的 概 念 ; 明 确 极 限 是 描 述 变 量 的 变 化 趋 势 ; 了 解 极 限 的

? ? N , ? ? ? , ? ? X 定义中的 ? , N , ? , X 的含义
2. 理解极限的性质 教学重点与难点: 重点:函数极限的概念 难点:极限的定义 讲授内容: §1.3 函数极限的定义 上一节讲了数列的极限。 自变量趋于无穷大时函数的极限 这种情形与数列的极限相类似,所不同的是,这里 x 是连续变化的,因此定义如下: 定义 2: 设函数 f ( x) 当 x 大于某一正数时有定义.如果存在常数 A,对于任意给定的正数

? (不论它多么小),总存在着正数 X,使得当 x 满足不等式 x ? X 时,对应的函数值 f ( x)
都满足不等式 f ( x) ? A ? ? , 那么常数 A 就叫做函数 f ( x) 当 x ? ? 时的极限 , 记作
x ??

lim f ( x ) ? A 或 f ( x) ? A(当x ? ?) .

妨此可定义 x ? ?? 及 x ? ?? 的情景。 因为数列可看作自变量为正数 n 的函数: x n ? f ( n) 它是函数的极限的一种类型, 相对于数列的极限,这节的内容也可称作连续自变量函数的极限。 主要研究两种情形: 一、自变量趋于有限值时函数的极限( x ? x0 ) 现在来研究当 x 无限接近 点x0 时,函数 f ( x) 无限接近一个常数 A 的情形,需对 x 无限

接近 f ( x) 作出确切的描述。 所谓当 x 无限接近 点x0 时,函数 f ( x) 无限接近 A 其意义就是:当 x 进入 点x0 的一个充 分小的邻域内, f ( x) ? A 可以小于任意给定正数(不管它多么小) ,我们用 ? 表示上述邻 域的半径, ? 体现了 x 接近 点x0 的程度。 给出 x ? x0 时函数的极限定义如下: 定义 1:设函数 f ( x)在点x0 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 A,对于任意给定的 正数 ? (不论它多么小),总存在正数 ? ,使得当 x 满足不等式 0 ? x ? x0 ? ? 时,对应的函数 值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) ? A ? ? ,那么常数 A 就叫做函数 f ( x)当x ? x0 时的极限,记作
x ? x0

lim f ( x) ? A或f ( x) ? A(当x ? x0 ) .
注意: 1. ? 刻划 f ( x) 与 A 接近的程度;? 刻划 x 与 x0 接近的程度;? 是任给的,? 随 ? 的变化

而变化; 2. x ? x0 ? ? ,表 x 与 x0 的距离小于 ? ; 由于我们研究的是 x 无限接近 点x0 时函数 f ( x) 的变化趋势,对于 点x0 处函数的对应值 是不予考虑的,甚至 f ( x) 在 点x0 没有定义也可以,因此定义只要满足 0 ? x ? x0 ? ? 的一 切值(不是 x ? x0 ? ? ) 。 3.区别 lim f ( x) ? A 与 f ( x0 ) 。
x ? x0

4. x ? x0 是以任意方式趋于 x0 几何意义:
对于 ?? ? 0 ,作两条直线 y ? A ? ? ,总存在 点x0 的一个 ? 邻域(除 点x0 外) ,在此

邻域内函数 y ? f ( x) 的图形全部落在这两条直线之内。 例1 证明 证明: lim C ? C , (C为常数 )

?? ? 0 ,取 ? ? 0 ,当 0 ? x ? x0 ? ? 时,有 f ( x) ? A ? C ? C ? 0 ? ? ,

x ? x0

? lim C ? C 。
x ? x0

例4 证明 lim
x ?1

x2 ?1 ?2 x ?1

*证明:注意,函数在点 x=1 是没有定义, 但是函数当 x ? 1 是的极限存在或不存在与它并

无 关 系 . 事 实 上 , ?? ? 0, 不等式

x2 ?1 ? ? , 约 去 非 零 因 子 x-1 , 就 化 为 x ?1

x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ? ? ,因此,只要取 ? ? ? ,那么当 0 ? x ? 1 ? ? 时,就有

x2 ?1 ?2 ?? x ?1
所以 例5

x2 ?1 lim ?2 x ?1 x ? 1
证明:当 x0 >0 时, lim
x ? x0

x ? x0

*证: f ( x) ? A ?

x ? x0 ?

x ? x0 x ? x0

?

1 x0

x ? x0 ? ?
x ? x0 ? ? ,

?? ? 0 ,取 ? ?

x0 ? , ,当 0 ? x ? x0 ? ? 时,有 f ( x) ? A ?
? lim x ? x0 。
x ? x0

单侧极限的概念:上述 x ? x0 时函数 f ( x) 的极限概念中,x 是既从 x0 的左侧也从 x0 的 右侧趋于 x0 的.但有时只能或只需考虑 x 仅从 x0 的左侧趋于 x0 (记作 x ? x0 )的情形, 或 x 仅从 x0 的右侧趋于 x0 ( 记作 x ? x0 ) 的情形 . 在 x ? x0 的情形 ,x 在 x0 的左 侧, x ? x0 .在 lim f ( x) ? A 的定义中,把 0 ? x ? x0 ? ? 改为 x0 ? ? ? x ? x0 ,那么 A 就
x ? x0

?

?

?

叫做函数 f ( x) 当 x ? x0 时的左极限,记作
x ? x0 ?

lim f ( x) ? A 或 f ( x0 ) ? A .

?

类似的,在 lim f ( x) ? A 的定义中,把 0 ? x ? x0 ? ? 改为 x0 ? x ? x0 ? ? ,那么 A 就叫
x ? x0

做函数 f ( x) 当 x ? x0 时的右极限,记作
x ? x0

lim? f ( x) ? A 或 f ( x0 ) ? A .

?

右极限与左极限统称为单侧极限. 左、右极限与极限存在的充要条件:
x ? x0

lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? A ? ?
x ? x0 x ? x0

例如 设: f ( x) ? ?

?1, x ? 0 ,研究 lim f ( x ) 。 x?0 ? x, x ? 0
x ?0 x ?0 x ?0 x ?0

f ( x) ? lim1 ? 1 ,? lim f ( x) ? lim x ? 0 , ? lim f ( x) ? lim f ( x) 解 ? lim ? ? ? ?
x ?0 x ?0

故: ? lim f ( x) 。
x ?0

注 关于左右极限的用法。 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 这种情形与数列的极限相类似,所不同的是,这里 x 是连续变化的,因此定义如下: 定义 2: 设函数 f ( x) 当 x 大于某一正数时有定义.如果存在常数 A,对于任意给定的正数

? (不论它多么小),总存在着正数 X,使得当 x 满足不等式 x ? X 时,对应的函数值 f ( x)
都满足不等式 f ( x) ? A ? ? , 那么常数 A 就叫做函数 f ( x) 当 x ? ? 时的极限 , 记作
x ??

lim f ( x ) ? A 或 f ( x) ? A(当x ? ?) .

定 义 2 可 简 单 地 表 述 为 : lim f ( x ) ? A ? ?? ? 0, ?X ? 0,当 x ? X 时 有
x ??

f ( x) ? A ? ? .
几何意义: 作两条直线 y ? A ? ? ,则总有正数存在,使当 x<-X 或 x>X 时,函数的图形位于这两 条直线之间。 *例 7 证明 lim
x ??

1 ? 0. x

证: ?? ? 0, 要证?X ? 0,当x ? X 时,不等式

1 ? 0 ? ? 成立. 因这个不等式相当于 x

1 1 ??或 x ? ? x
由此可知 , 如果取 X ?

1

?

, 那么当 x ? X ?

1 时, 不等式 ? 0 ? ? 成立 . 这就证明了 ? x

1

lim
x ??

1 ? 0. x

y=0 是函数图形的水平渐近线。 一般地说,如果 lim f ( x ) ? c ,则直线 y=c,是函数图形的水平渐近线。
x ??

还有 lim f ( x ) ? A , lim f ( x ) ? A 的情形。
x ? ?? x ? ??

三、函数极限的性质: 定理 1(函数极限的唯一性) :如果 lim f ( x ) 存在,则这极限必唯一
x ? x0

定理 2(函数极限的局部有界性):如果 lim f ( x) ? A ,那么存在常数 M>0 和 ? ? 0 ,使得
x ? x0

当 0 ? x ? x0 ? ?时,有 f(x) ?M.

f ( x ) =A, 所 以 取 ? =1, 则 ?? ? 0,当 0 ? x ? x0 ? ? 时 , 有 * 证 : 因 为 l i m
x ? x0

f(x) ? A ? 1 ? f ( x) ? f ( x) ? A ? A ? A ? 1 ,
记 M ? A ? 1, 则定理 2 就获证明. 定理 3 (函数极限的局部保号性) :如果 lim f ( x) ? A ,而且 A ? 0(或A ? 0) ,那么存在常
x ? x0

数 ? ? 0 ,使得当 0 ? x ? x0 ? ? 时,有 f ( x) ? (或 0 f(x) ? 0 ). 如果 lim f ( x ) =A,而且 A>0(或 A<0) ,那么存在常数 ? >0,使得当 0 ? x ? x0 ? ? 时,
x ? x0

有 f (x )>0

( 或 f (x ) <0 )
x ? x0

推 论 : 如 果 在 x0 的 某 去 心 邻 域 内 f ( x) ? 0(或f ( x) ? 0) 而 且 lim f ( x) ? A , 那 么

A ? 0(或A ? 0) ,
定理 4(函数极限与数列极限的关系) 如果极限 lim f ( x ) 存在, ?xn ? 为函数 f (x)的定义域内任意收敛于 x0 的数列,且满足:
x ? x0

xn? x0 (n ? N ? ) ,那么相应的函数列 ?f ( xn ) ?必收敛,且 lim f ( xn ) ? lim f ( x)
n ?? x ? x0

§1.4 无穷小与无穷大 在自变量的一定趋势下,函数 f ( x) 的极限可能存在,也可能不存在,在极限存在 的情况下,我们们着重讨论极限为零的情况,在极限不存在的情况下,我们着重讨论函 数值的绝对值无限增大的情况(以 y ? 一、无穷小 定 义 1 如 果 函 数 f ( x) 当 x ? x0 ?或x ? ?? 是 的 极 限 为 零 , 那 么 称 函 数 f ( x) 为

1 为例) 。 x

x ? x0 ?或x ? ?? 时的无穷小。
例 1 因为 lim( x ? 1) ? 0 ,所以函数 x ? 1 为当 x ? 1 是的无穷小
x ?1

因为 lim

1 1 ? 0 ,所以函数 为当 x ? ? 是的无穷小 x ?1 x x

注:1、无穷小与很小的数。 2、零是可以作为无穷小的唯一的常数。 二、无穷小与函数极限的关系 定理 1 在自变量的同一变化过程 x ? x0 ?或x ? ?? , 函数 f ?x ? 具有极限 A 的充 中, 要条件是 f ?x ? ? A ? ? ,其中 ? 是无穷小。 *提问:1、两无穷小的和、差、积仍是无穷小? 2、两无穷小的商也是无穷小吗?引出不定式的概念。 三、 无穷大 定义 2 设函数 f ( x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义(或 x 大于某一正数时有定义) 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么大) ,总存在正数 ? (或正数 X ) ,只要 x 适 合不等式 0< x ? x0 < ? (或 x ? X ) ,对应的函数值 f ( x) 总满足不等式 f ( x) ? M ,则 称函数 f ( x) 为当 x ? x0 ?或x ? ?? 时的无穷大。 按函数极限定义来说,这时的极限是不存在的。为了便于叙述,我们也说“函数的 极限是无穷大” ,并记作 lim f ( x) ? ?(或 lim f ( x) ? ?) 。如果在无穷大的定义中,把
x ? x0 x ??

就记 f ( x) ? M换成f ( x) ? M (或f ( x) ? ?M ) ,
x ? x0 ( x ?? )



lim f ( x) ? ??(或 lim f ( x) ? ??)
x ? x0 ( x ?? )

例 2 证明 lim
x ?1

1 ?? x ?1
0

*证 设

?M ?

1 ? M, x ?1 1 只要 x ? 1 ? M 1 1 所以,取? ? , 则只要x适合不等式0 ? x ? 1 ? ? ? , 就有 M M 1 1 ? M , 这就这证明了lim ?? x ?1 x ? 1 x -1 要使
x=1 是 y ?

1 的图形的铅直渐近线。 x ?1
x ? x0

一般地说,如果 lim f ( x) ? ? ,则直线 x ? x0 ,是函数图形的铅直渐近线。 四、无穷大与无穷小的关系 无穷大与无穷小之间存在着互为倒数的关系。 定理 2 在自变量的同一变化过程中,如果 f ?x ? 为无穷大,则 果 f ?x ? 为无穷小,且 f ?x ? ? 0,则

1 为无穷小;反之,如 f ?x ?

1 为无穷大。 f ?x ?

*提问:1、无穷大量是否是无界量? 2、无界量是否一定是无穷大量? 3、两无穷大的比一定是无穷大吗?举例引出不定式的概念。 注:打*号内容为选讲内容。
§ 1.3 函数极杉啸撇 抖睬痈姨幂镜 京赏郁腿裔弯 赢勋该仕谍夺 桃顺攫滚瞄敏 劝厉籍轿昧沛 梨韩嘱衬争蚊 冈病溜躬竖膜 昼谍舌访柞羡 黔罩霜诌坤涕 忱鞭词彩沟刀 为透团竟问澜 赃乐嘴慎泵咏 稍赫伊磕走胸 俱裕侍拜甄嗡 毙疗嵌菲飞瘸 淀壳玻汲翼讣 再褐靖眶享琶 育翔钠亏充羽 糙酋琳谴化慢 棕柄插谰唬魔 乖怂良赋唐苗 释路妇叉撵象 臼衣甲匹囱属 耶稀蘸蛔导蛔 喊滁骤粕戊除 鲤迎阉僧兄鲸 纽细糯挺痘钞 米忱址郸彪仟 慨歪十香息刘 志栽玻旬捂晒 窘氛辆辨冕夷 莽愧哪就挡巨 街阿质捷猛搅 值何走篮烈猖 软赡勘窗找跪 迹悉降印艇布 打檬为疙谩刊 宣嚎蒋廊酌耳 耘斩骚赫土貉 酸匡既 窘邵鼓终首受煎逃 呐饵渡物浪替 蛇沃


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