11336655:【优教通,备课参考】2014年高中数学同步课件:第2章 圆锥曲线 抛物线习题课件(北师大版选修1-1)_图文

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抛物线习题课

【知识回顾】
★ 抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线 L 你还记得吗? 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

★ 抛物线的标准方程和几何性质

标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0)
y y
F

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y o x
F

图 形

.

o

x

F

.

o x

F

o

x





线

p F ( ,0) 2 p x?? 2

F (?

p ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2

F (0,?

p ) 2 p y? 2

【训练一】
1.抛物线 y ?
m 1 1 m ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ? ) ( 0 , ? ) (A) (B) (C) (D) 4 4m 4m 4

1 2 x (m ? 0) m

的焦点坐标是( A )。

2.坐标系中,方程 a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? 1与 ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线是 ( D )
(A)
y o x

(B)

y o x

(C)

y o x

(D )

y o x

3.动点P到直线x+4=0的距离减它到M(2,0)的距离
之差等于2,则P的轨迹是 抛物线 ,其方程为 y2=8x 。

4.过抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于

A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )两点,如果 x1+x2=6 那么 AB 为 8 。

【例题1】
如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等,?AMN 为 锐角三角形,AM ? 17, AN ? 3, BN ? 6,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。 分析:1.如何选择适当的坐标系。 l1 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 B 3.如何用方程表示曲线的一部分。
A

l2

M

N

如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, ?AMN为 锐角三角形,AM ? 17, AN ? 3, BN ? 6 ,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。

解法一:建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0)
Rt?ACM , MC ? AD ? AN ? 3
l1
D M y A B

AC ? 2 2, Rt ?ACN中, NC ? 1

MN ? 4, 则N为(2,0)
N x 由图得, 即抛物线方程: y

l2

O

C

? 8x A为(1, 2 2)
B为(4, 4 2)

p ? 2得p ? 4 2 2

曲线段C的方程为:

y 2 ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0)

如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, ?AMN为 锐角三角形, AM ? 17, AN ? 3, BN ? 6,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。

解法二: 建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0)
l1 y D M A B

设抛物线方程: y 2 ? 2 px( p ? 0)
p A(3 ? ,2 2 ) 2
8 ? 2 p (3 ?

l2

O

C

N

x

p p 所以3 ? ? 得p ? 3; 2 2 即p ? 4
2

?AMN为锐角三角形, xA ? xN

得, p ? 2或4

p ) 2

曲线段C的方程为:y ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0)

解法三:
y D M A B

Rt ?ACM中, MC ? AD ? AN ? 3
N x

建立如图所示的直角坐标系, 原点为 M (0,0)

Q

C

AC ? 2 2, Rt ?ACN中, NC ? 1
MN ? 4, 则N为(4,0)顶点Q为(2, 0)
抛物线方程为: y 2 ? 8( x ? 2) 易得 : xA ? 3, xB ? 6

曲线段C的方程为: y 2 ? 8( x ? 2)(3 ? x ? 6, y ? 0)

【例题2】 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标 的最小值。 解: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
y
M A D F B

2 MN ? AD ? BC ,

MN ?

p 1 ? y ? ? y, 2 4

o
N C

x

1 AD ? BC ? 2( ? y ) 4

AD ? AF , BC ? BF
AF ? BF ? 2( 1 ? y) 4

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2
2( y ? 1 3 ) ? 2, 即y ? 4 4

【训练二】
1.已知M为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,F为抛物线的焦点, 定点P(3,1),则 MP ? MF 的最小值为(B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
N M M

.
P

.

2.过点(0,2)与抛物线 y 2 ? 8 x 只有一个公共点的直线 C ) 有( (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条

.
F (1,0)

.
P

x?3

2 3.过抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 1 1 两点,若PF与FQ的长分别是 p,q则 ? 等于 ( C ) p q

(A)2a
F

1 (B) y 2a

(C)4a

2 (D) a A y
F

P

Q

x

O

x

4.已知A、B是抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上两点,O为坐标原点,若

OA ? OB , 且?AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方
程是:(

.
B

D) (A) x ? p

5 3 (B) x ? 3 p (C) x ? p(D) x ? p 2 2

【总结】
1.灵活应用抛物线的定义解决相关题目 2.建立适当的坐标系 3.不同标准方程的几何性质是易混点, 性质的应用是难点

【思考题】
在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L: 4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离。

分析: 抛物线上到直线L距离最短的点,是和 此直线平行的切线的切点。 y 2=64x y 解:∵ 无实根 4x+3y+46=0 x ∴直线与抛物线相离 P · 2 设与4x+3y+46=0平行且与y =64x 相切的直线方程为y=-4/3 x+b
L

则由

y=-4/3 x+b
y2=64x

消x化简得

y2+48y-48b=0

△=482-4×(-48b)=0
∴b=-12 ∴切线方程为:y=-4/3 x-12 解方程组 y=-4/3 x-12 y2=64x 得 x=9 y=-24

∴切点为P(9,-24)

切点P到L的距离d=

| 4 ? 9 ? 3 ? (?24) ? 46 | 42 ? 32

?2

∴抛物线y2=64x到直线L:4x+3y+46=0有最短距离的点 为P(9,-24),最短距离为2。


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