www8mscbiz:2015届高一数学必修四第二章平面向量单元测试题

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2015 届高一数学必修四第二章平面向量单元测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题正确的是 A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若 a,b 满足|a|>|b|且 a 与 b 同向,则 a>b D.对于任意向量 a、b,必有|a+b|≤|a|+|b| → → 2.如图,四边形 ABCD 中,AB=DC,则相等的向量是( → → A. AD与CB → → C. AC与BD 3.下列命题中,正确的是 A.若|a|=|b|,则 a=b C.若|a|>|b|,则 a>b → → B. OB与OD → → D. AO与OC ( B.若 a=b,则 a 与 b 是平行向量 D.若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 是不共线向量 ( C.B、C、D 三点共线 ( D.相等 ) D.A、C、D 三点共线 ) ) ) ( )

→ → → 4.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b) ,则 A.A、B、D 三点共线 B.A、B、C 三点共线 5.当|a|=|b|≠0 且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直

→ → → → → → → → → → → 6.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,在向量OB,OC,OD,OE,OF,AB,BC,CD,EF,DE,FA中与 → OA共线的向量有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( ) ( )

→ 7.若 M 是△ ABC 的重心,则下列向量中与AB共线的是 → → → A. AB+BC+AC → → → C. AM+BM+CM → → → B. AM+MB+BC → → D.3AM+AC ) D.2 2

→ → → 8.已知正方形的边长为 1,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|等于( A.0 B.3 C. 2

→ → → → 9.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD 为平行四边形,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 10.已知 D、E、F 分别是△ ABC 的边 BC、CA、AB 的中点, 1 → → → → 1 且BC=a,CA=b,AB=c,则下列各式:①EF= c- b 2 2 1 1 → ③CF=- a+ b 2 2 → → → ④AD+BE+CF=0 ( D.4 ) 1 → ②BE=a+ b 2





其中正确的等式的个数为 A.1 B.2 C.3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.如图,M、N 是△ ABC 的一边 BC 上的两个三等分点, → → → 若AB=a,AC=b,则MN=__ _____.

12.已知向量 a、b 不共线,实数 x、y 满足向量等式 3xa+(10-y)b=2xb+(4y+4)a,则 x=_____,y=_____. 13.设 a 表示“向东走 4 km”,b 表示“向北走 4 km”, 则 a+b 表示_____________.
?2x-y=a 14.a、b 是给定的不共线的向量,且? ,则向量 x=_________,y=________. ?x+2 y=b

→ → → 15.已知 ABCDEF 为正六边形,且AC=a,AD=b,则用 a,b 表示AB为___________.
1

三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 14 分)已知向量 e1、 2 不共线, e (1)若 AB ? e1 ? 2 e 2 , BC ? ? 2 e1 ? 8 e 2 , CD ? 5 e1 ? 2 e 2 ,求证:A、B、D 三点共线; (2)若向量 ? e1 ? e 2 与 e1 ? ? e 2 共线,求实数 ? 的值;

→ 17.(本小题满分 14 分)如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知AB → → → =a,AD=b,试用 a、b 表示BC和MN.

18. (本小题满分 14 分)设 P1 ( 4 , ? 3 ), P2 ( ? 2 , 6 ), 且 P 在 P1 P2 的延长线上,使 P1 P ? 2 PP 2 ,则求点 P 的坐标。

2

19. (本小题满分 15 分)已知向量 m ? (cos (1)若 m ? n ? ?
1 2

x 2

, sin

x 2

), n ? (cos

x 2

, ? sin

x 2

), x ? ?0 , ?

?

,求 x 的值;

(2)若 m // n ,求 x 的值; (3)若 m ? n ,求 x 的值;

20.

→ 1 → (本小题满分 18 分)在△ ABC 中,AD= AB,DE∥BC,与边 AC 相交于点 E,△ ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 4 → → → N,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示DN.

3

21. (12 分)设 a,b 是不共线的两个向量,已知 AB ? 2 a ? kb , BC ? a ? b , CD ? a ? 2 b , 若 A、B、C 三点共线,求 k 的值.

22. (14 分)已知|a|= 2 ,|b|=3,a 与 b 夹角为 45 ,求使向量 a+ ? b 与 ? a+b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围
?

4

高一平面向量单元测试题(一)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 11. (b-a) 3 12.4 2 13.向东北方向走 4√2 km. 1 15.a- b 2

2 1 1 2 14. a+ b,- a+ b 5 5 5 5

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) → 17. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知AB= → a,AD=b, → → 试用 a、b 表示BC和MN. 【解法一】 连结 CN,则 AN = DC ∴四边形 ANCD 是平行四边形. → → → → → CN=-AD=-b,又∵CN+NB+BC=0 1 → → → ∴BC=-CN-NB=b- a 2 1 1 → → → → 1 → ∴MN=CN-CM=CN+ AN=-b+ a= a-b 2 4 4 → → → → 【解法二】 ∵AB+BC+CD+DA=0 1 1 → → 即:a+BC+(- a)+(-b)=0,∴BC=b- a 2 2 → → → → 又∵在四边形 ADMN 中,有AD+DM+MN+NA=0, 1 1 → → 1 即:b+ a+MN+(- a)=0,∴MN= a-b. 4 2 4 【评注】 比较两种解法,显然解法二更简捷. → → → → 18. (本小题满分 14 分) 已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E, 是任意一点, O 求证OA+OB+OC+OD → =4OE. → → → → → → 【证明】 ∵E 是对角线 AC 与 BD 的交点,∴AE=EC=-CE,BE=ED=-DE. → → → 在△ OAC 中,OA+AE=OE, → → → → → → → → → 同理有OB+BE=OE,OC+CE=OE,OD+DE=OE. → → → → → 四式相加可得:OA+OB+OC+OD=4OE. 19. (本小题满分 14 分)四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, → 1 → → 求证:EF= (AB+DC) 2 【证法一】 ∵E、F 分别为 DA、BC 的中点. → → → → ∴DE=EA,FC=BF → → → → 又∵EF+FC+CD+DE=0 → → → → EF+FB+BA+AE=0 ① ②


→ → → → → → → ①+②,得 2EF+(FC+FB)+(CD+BA)+(DE+AE)=0

5

→ → → → → ∴2EF=-CD+(-BA)=DC+AB → 1 → → ∴EF= (AB+DC) 2 【证法二】 连结 EC,EB → → → ∵EF+FC=EC → → → EF+FB=EB → → → ①+②,得 2EF+0=EC+EB → 1 → → ∴EF= (EC+EB) 2 → → → 又∵EC=ED+DC → → → EB=EA+AB ③ ④ ① ②

→ 1 → → → → → → ③+④,得EF= (ED+DC+EA+AB) ,又∵ED+EA=0, 2 → 1 → → ∴EF= (AB+DC). 2 → 1 → 20. (本小题满分 15 分)在△ ABC 中,AD= AB,DE∥BC,与边 AC 相交于点 E,△ ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 4 → → → N,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示DN. 【解】 因为 M 为 BC 的中点,所以有 1 → 1 → 1 → → BM= BC= (AC-AB)= (b-a) 2 2 2 → → → 1 → → → → AM=AB+BM= (a+b) ,因为DN∥BM,AN∥AM. 2 根据向量共线的充要条件,存在实数 λ 和 μ,使得 → → 1 → → 1 DN=λBM= λ(b-a) ,AN=μAM= μ(a+b) 2 2 1 1 λ λ → → → 1 因为AN=AD+DN= a+ λ(b-a)=( - )a+ b 4 2 4 2 2

?4 -2 =2 根据基本定理有? λ μ ?2 =2
1

λ

μ

1 → 1 ,解方程得 λ=μ= ,可得DN= (b-a). 4 8

21. (本小题满分 15 分)对于两个向量 a,b,求证:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 (1)若 a、b 中有一个为 0 时,不等式显然成立. → → (2)若 a,b 都不等于 0 时,作OA=a,AB=b, → 则OB=a+b. ①当 a、b 不共线时,如图(1)有 → → → → → ||OA|-|AB||<|OB|<|OA|+|AB| 即:||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. ②当 a、b 共线时 1° a、b 同向,如图(2)有 若 → → → |OB|=|OA|+|AB| 即:|a+b|=|a|+|b|. 2° a,b 反向时,如图(3)有 若 → → → ||OA|-|AB||=|OB| 即:||a|-|b||=|a+b| 综上可知:
6

(1)

(2)

(3)

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 15. 【解】由 A、B、C 三点共线,存在实数 ? ,使得 AB ? ? BD ∵ BC ? a ? b , CD ? a ? 2 b 故 2a+kb= ? ( 2 a ? b ) ∴ BD ? BC ? CD ? 2 a ? b ∴ ? =1,k=-1
?

又 a,b 不共线

17. 【解】∵ |a|= 2 ,|b|=3 ,a 与 b 夹角为 45
?

∴ a ? b ? | a || b | cos 45 ? 3 2 ?

2 2

? 3

而(a+ ? b)( ? a+b)= ? a ? ab ? ? ba ? ? b ? 2 ? ? 3 ? 3 ? ? 9 ? ? 3 ? ? 11 ? ? 3 ·
2 2 2 2 2

要使向量 a+ ? b 与 ? a+b 的夹角是锐角,则(a+ ? b)( ? a+b)>0 · 即 3 ? ? 11 ? ? 3 ? 0
2

从而得

? ?

? 11 ? 6

85

或? ?

? 11 ? 6

85

7


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