【2019年整理】第一章 函数极限连续_图文

第一章 函数、极限与连续
§1 函数

一. 函数: 自变量, 因变量, 定义域, 值域 若变量x在允许范围D内的每一个确定的值, 变量y按照某个确定的规则总有相应的值与之对 应,则称y为x的函数,记为y=f(x).
x——自变量; y——函数; D——定义域; 二要素——定义域、对应规则。
?

二、 函数的表示法: 列表法, 图示法, 解析法
三、解析法表示的几个例子与运算
1、例
(1) 取整函数 y=[x] (x∈R), 其中[x]表示不超过x的最大整数.
?1 x ? 0 ? (2) 符号函数 sgn x = ?0 x ? 0 ? ??1 x ? 0
Dirichlet [德] (1805~1859)

?1 x?Q (3) 狄利克莱函数D(x) = ? ?0 x?Q

?

2、 四则运算
设函数f, g的定义域分别为D(f ), D(g),

则可以定义f与g的和, 差, 积, 商:
(f±g)(x)=f(x)±g(x) D(f±g)=D(f )∩D(g), (fg)(x)=f(x) g(x) (f /g)(x)=f(x)/g(x) D(f /g)=D (f )∩D(g)\{x | g(x)=0}.
?

D(f g)=D(f )∩D(g),

四. 函数的几种特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性

(1) 有界性
设有函数y = f(x), 区间I?D(f ), 若f(I)为有界集, i.e., ?M>0 s.t., ?x∈I, |f(x)| ? M,

则称f在区间I上有界.
例如y=x2在任意有限区间[a, b]上有界,

但在(?∞, +∞)上无界.
?

(2) 单调性 设有函数y = f(x), 区间I?D(f ), 若?x1, x2∈I, x1< x2?f(x1) ? f(x2),

则称f在区间I上单调增;
若?x1, x2∈I, x1<x2? f(x1) ? f(x2), 则称f在区间I上单调减; 若?x1, x2∈I, x1<x2?f(x1)< f(x2), 则称f在区间I上严格单调增. 若?x1, x2∈I, x1<x2? f(x1)>f(x2), 则称f在区间I上严格单调减.
?

例如y = sin x在 [? , ] 上严格单调增, 2 2 在 [ , ] 上严格单调减. 2 2

? ?

? 3?

因此, 在说明一个函数的单调性时, 要指明 单调区间, 不能笼统地说一个函数是单调 增的还是单调减的.
?

(3) 奇偶性 设函数 f 的定义域关于原点对称, 若?x∈D(f ), f(?x) = ?f(x), 则称f为一个奇函数. 若?x∈D(f ), f(?x) = f(x), 则称f为一个偶函数. 易见在平面直角坐标系中, 奇(偶)函数的图象 关于原点(y轴)对称.

?

(4) 周期性 设有函数y=f(x)与常数t >0,

若?x∈D(f ), 有x+t∈D(f ), 且f(x+t)=f(x),
则称f为一个周期函数, 并称t为f的一个周期, 若?常数T = min{t | t是 f 的周期}, 则称T为f的最小正周期. 例如2?是y = sin x的最小正周期.
?

五、初等函数
1. 反函数 设函数y=f(x) 是 D→W=R(f )与 x=g(y) 是 W→D的函数,则称g为f 的反函数, 记为g = f -1.

?

2. 基本初等函数
(1) 幂函数 y = x? (??R) 幂的定义与性质 ①设a?R, n?N+, 我们把n个a的连乘积称 为a的n次方或n次幂. 记为an. 即 an =

a ?a ? a ? ? ?
n个a
?

② 设a, b都是实数, m, n都是正整数, 则有: am· an = am+n, am/an = am?n (a ? 0), (ab)n = anbn, (a/b)n = an/bn (b ? 0), (am)n = (an)m = amn, a m / n ? n a m ? ( n a )m (a ? 0). ? a ( a ? 0) ? 2 a ?| a |? ? 0 (a ? 0). ? ? ? a ( a ? 0) 二项展开式
1 n?1 2 n?2 2 n?1 (a ? b)n ? a n ? Cn a b ? Cn a b ??? Cn abn?1 ? bn

? ?C a
k ?0 k n

n

n?k

b .
?

k

(2)几个具体的例子

这些图象 有那些共 同点?
?

幂函数 y = x? (??R)的图象 都经过点(1,1), 当? >0时, y = x? 在第一象限内单调递增 当? <0时, y = x? 在第一象限内单调递减
?

(2)指数函数: y = ax (a >0, 且a?1)
(1) 当0 < a < 1时, y = ax单调递减, (2) 当a > 1时, y = ax单调递增. 共同点: 图象都经过点(0,1), 都位于x轴上方.

?

(3)对数函数: y = logax (a >0, 且a?1)
定义

设a >0, 且a?1, 若ay = x, 则称y为 以a为底x的对数. 记为
y = logax 常用对数(a=10) y = lg x 自然对数(a=e) y = ln x
?

运算性质(0 < a ?1, 0 < b ?1, u > 0, v > 0)

① loga a ? 1, loga 1? 0, loga (a ) ? x (?x?R),
x

② loga (uv) ? loga u? loga v, u loga ? loga u ? loga v , v ③ loga (uv ) ? v ?loga u,

a

log a x

? a (?x> 0),

logb u 1 , loga b ? . ④ loga u ? logb a logb a
?

当0 < a < 1时, y = log ax单调递减; 当a > 1时, y = log ax单调递增.

共同点: 图象都经过点(1,0), 都位于y轴右边.
?

(4)三角函数 表达式及图象

?

?

相互关系
①平方关系: sin2x + cos2x = 1, tan2x + 1 = sec2x, cot2x + 1 = csc2x. ②倒数关系:

sinx· cscx = 1, cosx· secx = 1, tanx· cotx = 1,
③弦切关系: sinx/cosx = tanx, cosx/sinx = cotx.
?

三角公式: ① 诱导公式(“奇变偶不变, 符号看象限”):
n ?? f (? ) n ? 0, ? 2, ? 4,? f ( ? ?? ) ? ? 2 ?? cof (? ) n ? 0, ? 1, ? 3,? n ( ? ? ? ) 所处的象限确定. 其中“?”号由角 2

? ? ) ? cos? , cos( ? ? ) ? ? sin ?, 如 sin( 2 2
sin(?+?)=?sin?, cos(?+?)=?cos?,
3? 3? sin ( ? ? ) ? ? cos? , cos( ? ? ) ? sin? . 2 2

?

?

?

② 和角公式: sin(???)= sin?cos? ? cos?sin?, cos(???)= cos?cos? ? sin?sin?,
tan? ? tan? tan( ? ? ? )? . 1? tan? tan?

③ 积化和差公式: sin?cos? = [sin(?+?) + sin(???)],
1 2

cos?cos? = [cos(?+?) + cos(???)],
1 2

sin?sin? = ? [cos(?+?) ? cos(???)],
1 2

?

④ 和差化积公式:

sin ? ? sin? ? 2sin

? ??
2 2

cos

? ??
2 2

, , , .
?

sin ? ? sin? ? 2cos

? ??
? ??
2 2

sin

? ??
? ??
2

cos? ? cos? ? 2cos

cos

cos? ? cos? ? ?2sin

? ??

sin

? ??
2

⑤ 降幂公式:
1? cos2? sin ? ? , 2
2

1? cos2? cos ? ? . 2
2

(5)反三角函数

?

3. 复合函数 函数y=xx是由y=ux与u=x复合而成的吗? y=xx=exlnx是由一元函数y=eu与u=xlnx 复合而成的. y=arctanex是由一元函数y=arctanu与 一元函数u=ex复合而成的.

?

4. 初等函数
设函数 f 可以用一个数学式子表示, 且这个 式子是由基本初等函数经过有限次四则运 算与有限次复合运算而成的, 则称f 为一个 初等函数. 例如上述取整函数, 符号函数, 及狄利 克莱函数都不是初等函数.
?

但不要以为分段函数都不是初等函数.
?t 0 ? t ? ? 2 ? ? ? (t ? ? )2 , 事实上, f(t)= ? ? ? t ?? ? ? t 2 2 2 ?

? x2 x ?1 g(x)= ? x ?e x ? 1 1 x ?1 1 x ?1 2 x ? (1? ) x ? (1? )e , 2 2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

都是初等函数.
? x2 但h(x)= ? x ?e x ?1 就不是初等函数. x ?1
?

一.数列极限

§2 极限

1.引例--割圆术
用半径为1的圆内接正6×2n-1边形的面积Sn来 近似求圆周率的近似值。

?

2.引例--追及悖论 t时刻AB之间的距离L:

t(s)

1

1.1

1.11

1.111



L(m) 0.1 0.01 0.001 0.0001 …
?

3.数列的概念 一列有次序的数xn排成一列 x1,x2, …,xn, …, 称为数列,记为{xn}. 其中x1称为首项, xn称为一般项或通项. 有限数列,无限数列. 4.例子 5.数列与函数 若xn =f(n),n=1,2, …,则无限数列{xn}是定 义在正整数集上的函数.

4.实例观察 1) 追及悖论 t时刻AB之间的距离L:

t(s) 1 1.1 1.11 1.111 … → 10/9 L(m) 0.1 0.01 0.001 0.0001 … → 0
2)圆周率
?

(3) 考察n→+∞, 1/n的变化趋势:

?

5.定义: 设{an}为一个数列, a∈R, 若 N无限变大时a 与a之间的距离趋于0 ,
n

则称数列{an}以a为极限, 或称a为数列{an}的

极限.
记为 lim a n ? a 或 an→a (n→∞). n ??

例 数列1, ?1, 1, ?1, …, (?1)n?1, … 发散.

?

6、 性质

(一) 就某个给定的数列而言
唯一性 保号性 有界性
(二) 某个给定的数列与其子数列 数列收敛,则其子数列也收敛;反之不然.

?

二、 函数的极限
前面我们学习了数列的极限,知道了数列极 限的定义与意义。请看下例 引例:研究数列 {arctann} 的极限。 作数列{arctann} 的散点图

?

y=π/2

从散点图可以看到 {arctann} 的极限为π/2 。 思考:把上述散点图用比较好的曲线连起来,这 条曲线是什么? y=arctanx图像的一部分。

结果:x→+∞时, arctanx→ ?( π/2 )
?

1、自变量趋向无穷大时函数的极限 (1) x→+∞时,y=f(x) 的极限
设x0是某一确定的正数,y=f(x)在 (x0, +∞)内有定义, A为一个确定的数. 如果在x→+∞的过程中,对应的函数值f(x) 无限接 近于一个确定的数A,那么A叫做函数y=f(x)当x→+∞ 时 的极限。 记为
x ? ??

lim f ( x ) ? A

?

几何意义
y
y ? f ( x)
A??

A
A??

O

X

x
?

例1 例2

lim arctan x ? x ? ?? 2 1 lim ?0 x ? ?? x

?

例3

1 lim ? 0 x??? x

问题:能否考虑x→-∞时,y=f(x) 的极限。 研究x→-∞时, y=arctanx的极限。

(2)x→-∞时f(x)的极限 定义 设函数 f (x)当x< -? (?为某个非负实数)时 有定义, A为一个确定的数.
如果在x→-∞的过程中,对应的函数值f(x)一个无限接 近于确定的数A,则称A为函数 f 当x→-∞时的极限,

记为
lim f ( x ) ? A 或 f(x)→A (x→-∞), x ? ??

并称当x→-∞时函数 f 存在极限.

几何意义?
?

例4 例5 例6

x ? ??
x ? ??

lim arctan x ? ?
1 ?0 ?x

?
2

lim

1 lim ? 0 x ? ?? x

问题:能否既考虑

即考虑

x ? ?? 时又考虑 x ? ?? 时 y ? f ( x) 的极限?研究 x ? ? 时,
1 lim x ?? x


1 lim x ?? x

lim arctan x
x ??

(3) x→∞时f(x)的极限 定义 设函数 f (x)当|x|≥? (?为某个非负实数)时 有定义, A为一个确定的数.
如果在x→∞的过程中,对应的函数值f(x) 一个无限接近于确定的数A,

则称A为函数 f(x) 当x→∞时的极限, 记为 lim f ( x ) ? A 或 f(x)→A (x→∞), x?? 并称当x→∞时函数 f (x)存在极限. 几何意义?
?

例7 例8

1 lim ?0 x ?? x 1 lim ? 0 x ?? x

例9

lim arctan x ? 不存在
x ??

lim f ( x) 存在与否, 问题:对于函数 y ? f ( x) ,
x ??



lim f ( x ) 和 lim f ( x) 存在与否,有何关系? x ? ?? x ? ??

可以证明,
lim f ( x ) ? A ? lim f ( x ) ? A ? lim f ( x )
x??
x?? ?

x?? ?

思考

振幅随x的增大越来越大. 对于函数y=xsin1/x ,其在x=0无定义。 自然地会问函数y=xsin1/x在x=0附近的函数值 如何?相应地,x→0时,函数y=xsin1/x在 x=0附近的函数值如何变化?

1 lim x sin x ?? x

不存在! 因为函数y=xsin1/x的

请看函数y=xsin1/x在x=0附近的图像。

区间[-1,1]上的图像

区间[-0.1,0.1] 上的图像

区间[-0.01,0.01] 上的图像

区间[-0.001,0.001] 上的图像

结论: x→0时,xsin1/x→0 。 由此可见,有必要研究有限点处函数的极限。

2. 自变量趋向有限值时函数的极限 (1) x→x0时f(x)的极限 例10
x→0,

例11 设 y ? f ( x) ? x ? 1 ,观察 x ?1 x→1 时, y=f(x)的函数值变化趋势。

1 x sin ? 0 x 2

?

例12 设y=f(x)=x+1 观察x→1时y=f(x)

的函数值变化趋势。

[定义] 设函数f (x)在(x0-r, x0+r) 内有定义, A为一个确定的数. 若x→x0时, f (x)的函数值 与A越来越接近,则称A为函数f (x)当x→x0时 的极限, 记为
lim f ( x ) ? A 或 f(x)→A (x→x0), 并称函数 x? x
0

f (x)当x→x0时存在极限.

?

几何意义 ?? >0, ?? > 0, s.t. 当x落在 N ( x0 ,? ) 内时, 对应的点(x, f(x))都落在两条直线y = A+? 与y = A??之间.
?

?

例13
例14

x?2 1 l im 2 ? . x?2 x ? 4 4

x ?1 lim ?2 x ?1 x ? 1
2

例15

lim x ? 1
x ?1

例16

1 lim x sin ? 0 x ?0 x
?

问题:对于函数y=f(x)= 1 ? x
及函数y=g(x)= 考虑x→1时的极限.

x ?1

由于函数y=f(x)= 1 ? x 只在x<1时有定义,故x→1时的极限只能是 x<1并且x→1的极限. 同样地,函数y=g(x)= x ? 1 只在x>1时有定义,故x→1时的极限只能是 x>1并且x→1的极限. 这样就产生了单侧极限的问题.

(2)单侧极限 定义设函数f (x)在(x0-r, x0)内 有定义, A为一个确定的数. 若x→x0时, f (x)的函数值与A越来越接近, 则称A为函数 f 在点x0处的左极限, 记为 lim f ( x ) ? A 或 f(x0 ?0)=A,
? x? x 0

并称函数 f 在点x0处的左极限存在.
?

类似地可以定义函数 f 在点x0处的右极限 f(x0+0) = lim f ( x ).
可以证明,
x? x 0
? x? x 0

f ( x ) ? A ? lim f ( x ). lim f ( x ) ? A ? lim ? ?
x? x 0
x

x? x 0

例16 (1) 证明

lime ? 1.
x?0?

x ?0

x lim e ? 1. ?

?

?1 x ? 0 ? (2) sgn x = ?0 x ? 0 当x→0时, 极限不存在. ? ??1 x ? 0

事实上, lim sgn x ? 1, 而 lim sgn x ? ?1.
x ?0 ? x?0 ?

?

3、 性质

(1) 唯一性: 若lim f(x)存在, 则极限必唯一. (2) 局部有界性:
lim f ( x ) ? A, 则?M > 0以及? > 0 s.t. 设x ?x
0

?x? N ( x0 ,? ), 恒有| f(x)| < M.

?

?

(3)局部保序性: 设 lim f ( x ) ? A, lim g( x ) ? B .
x? x0 x? x 0

你还有什么结论?

若A<B, 则?? >0 s.t. ?x? N ( x0 ,? ), 恒有f(x)<g(x); 若?? >0 s.t. ?x? N ( x0 ,? ), 都有f(x)?g(x), 则A?B. (问:此处“?”能否改成“<”?) (4) 局部保号性:
设f(x)在点x0的某一去心 邻域内非负(正),若f(x)在 x0有极限A,则A非负(正).
?

?

设 lim f ( x ) ? A ? 0,
x? x 0

则?? > 0 s.t. ?x? N ( x0 ,? ), f(x)与A同号.

?

?

三 无穷小量与无穷大量
1. 无穷小量概念与性质 定义1. 若在自变量x的某一变化过程中, 因变量的 极限limf(x)= 0, 则称f(x)是这一极限过程中的

无穷小量, 简称为无穷小.
注①: 无穷小量是变量. 注②: 说某一个变量是无穷小量时, 必须指明 自变量的变化过程. 笼统地说某一个变量 是无穷小量是无意义的.
?

例1. 证明: 当x→0?0时, e 是无穷小量.

1 x

定理1. 相对于自变量的某个特定的变化过程来说, limX = A?lim(X?A) = 0?X = A+?, 其中?是无穷小量.

?

2. 无穷大量概念与性质 定义2. 设函数f(x)在(x0-r,x0+r) 有定义.
?



若?M > 0, ?0<? < r, s.t. 当x∈N ( x0 ,? ) 时, 恒有| f(x)| > M, 则称函数f(x)是当x→x0时的无穷大量,
或称函数f(x)当x→x0时的极限为∞,

记为 lim f ( x ) =∞或 f(x)→∞(x→x0). x? x
0

其他类型的无穷大量可以类似地定义.
?

lim f ( x ) ? ? , 则 lim f ( x ) 注③: 由定义可见, 若 x ?x x? x
0
0

不存在. 但是反之未必. 例如
1 l i msi n 不存在. 但也不是∞. x ?0 x

注④: 由定义可见, 若f(x)→∞(x→x0), 则函数
f(x)在(x0-r,x0+r) 但是反之未必. 例如
1/ x , x ? R \ Q lim f ( x ), 其中 f ( x ) ? ? ?0, x ?0 x?Q ?
?

内无界.

注⑤: 两个无穷大量的代数和以及无穷大量与 有界量的乘积都未必是无穷大量. 例如
12 ? 1 ? 1 ? 3 ?? , lim( x ? a ? x ) ? 0, lim ? x?2 x ? 2 x??? x ?8 ? 2 ? 1 ? ? 2 lim ? ? ? ? ?. x?2 x ? 2 x?2 ? ?
2 2

1 注⑥: 易证: 若limX =∞, 则 l i m ? 0. X
1 反之, 若X ≠0, 且limX = 0, 则 lim ? ?. X
?

例2. 当x→0+时, 当x→0-时,

e 是无穷大量; e 是无穷小量。
1 x

1 x

表明

lime 不存在. x?0

1 x

?

例3. 证明: 当n→+∞时,

n

n! 是无穷大量.

3、无穷小量的性质与四则运算法则
定理1.两个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
推广 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
说明:无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量。

定理2.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。 推论1 常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
说明:无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量。
?

四 极限四则运算法则
定理3( 四则运算法则) lim f ( x ) ? A, lim g( x ) ? B . 则 设x ?x x? x
0 0

lim [ f ( x ) ? g( x ) ? lim f ( x ) ? lim g( x ) = A±B; (1) x ?x x? x x? x
0 0 0

(2) lim [ f ( x ) g( x )] ? [ lim f ( x )][ lim g( x )] = AB;
x? x 0 x? x 0 x? x 0

(3)

lim f ( x ) f ( x) x A ? x0 lim ? ? ( B ≠0). lim g ( x ) x? x 0 g ( x ) B x? x 0
?

说明1:定理对自变量的其它变化过程

(x→x0-0, x→x0+0, x→+∞, x→-∞, x→∞)也 成立。
说明2:设Limf(x)=存在,Limg(x)= 不存在,则 (1)Lim[f(x)± g(x)]= 不存在; (2)Limf(x)g(x)可能存在也可能不存在, Limf(x)/g(x)亦然。 说明3:设Limf(x)和Limg(x) 不存在,则

Lim[f(x) ± g(x)],Limf(x)g(x),Limf(x)/g(x)
可能存在也可能不存在。

推论1 若c为常数,Limf(x)存在,则

Limcf(x)= c Limf(x) 推论2 若n为正整数,Limf(x)存在,则 Lim[f(x)]n=[ Limf(x)] n
关于数列,也有类似的极限四则运算法则。 定理4 设有数列{xn}、{yn},若 Lim xn ? a Lim y n ? b n??? 那么 n??? (1) Lim ( xn ? y n ) ? a ? b ; (2) Lim xn ? yn ? a ? b ; (3) 当yn≠0(n=1,2, · · · · · · )并且 B ≠ 0时, xn a Lim ? b n??? y n
n???

n???

极限计算方法
1. 多项式函数在有限点x0处的极限——代入 例1 设Pn= a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an是n次多项式, 求 lim Pn ( x ).
x? x 0

解: lim Pn ( x ) ? lim (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)
x? x 0
x? x 0

= a0x0n+a1x0n-1+…+an-1x0+an

=Pn(x0).
?

2. 有理函数在有限点x0处的极限, 含有零因子
——约去零因子
x ? x?2 例2. 求 lim 2 . x?1 x ? 3 x ? 2
2

x2 ? x ?2 ( x ?1)( x ? 2) ? lim 解: lim 2 x?1 x ? 3 x ? 2 x?1 ( x ? 1)( x ? 2)
x?2 ? lim x ?1 x ? 2

= ?3.
?

3. 有理函数在∞处的极限, 含有“∞因子”
——约去“∞因子
1 2 ? 2 x?2 x x = 0; ? lim 例3. (1) lim x?? 4 x 2 ? 1 x?? 1 4? 2 x
3 2? 2 2x2 ? 3 2 x ? lim (2) lim ? . x?? 3 x 2 ? 2 x ? 1 x ?? 2 1 3? ? 2 3 x x
?

4. 通分或有理化→上述第2,3种类型
x ? 2x?8 12 ? ? 1 ? 3 ? ? lim ? 例4. (1) lim 3 x ? 2 x?2 x ? 2 x ?8 x ?8 ? ?
2

x?4 1 ? lim 2 ? . x ?2 x ? 2 x ? 4 2

(2) lim[ x( x 2 ? 3 ? x )]
x???

3 3 ? . ? lim ? lim x??? x 2 ? 3 ? x x??? 1 ? 3 ? 1 2 2 x

3x

?

4? 2 x ? 4? x (3) lim x?0 x ? 1 ? 1? x

[(4 ? 2 x ) ? (4 ? x )]( x ? 1 ? 1? x ) ? lim x?0 [( x ? 1) ? (1? x )]( 4 ? 2 x ? 4 ? x ) ? 3( x ?1 ? 1? x ) ? lim x?0 2( 4 ? 2 x ? 4 ? x )
3 ?? . 4
?

5.利用无穷小量的性质
arctan x 例5.计算 lim x x??

解:由于1/x→0,当x→∞时;并且

|arctanx|<π/2,
故由无穷小量与有界量的乘积仍然为无穷小 量可知
arctan x lim ?0 x x??

6. 左右极限分别讨论
x lim e ? 1. 例6. (1)证明: x ?0 x lim e 证明: 前面已经证明了 ? ? 1. x ?0

1 1 1 ? lim ? lim ? 1. lim e ? lim 又因为 x ?x ?x t ? ? ? ? x?0 e ? x ?0 e t ?0 e ?0
x

x lim e ? 1. 所以 x ?0
x lim a 注④: 类似地, x?0 ? 1 (其中a > 0), 进而可得

l ima x ? lim(a x0 a x? x0 ) ? a x0 lima x? x0 ? a x0 . x? x
0

x? x 0

x? x 0

?

(2)证明 lim 证明:
lim

x??

x 2 ? 2x ? 3 不存在。 3x
x 2 ? 2x ? 3 1 2 3 1 ? lim 1 ? ? ? 2 3x 3 x??? x x 3

x???

x???

lim

x 2 ? 2x ? 3 1 2 3 1 ? ? lim 1 ? ? ?? 2 3x 3 x??? x x 3
x 2 ? 2x ? 3 3x

所以
x??

lim

不存在。



极限存在准则

两个重要极限

1、极限存在准则 (1) 数列情形的夹逼原理 若?N0∈N+ s.t.当n>N0时, 恒有an≤cn≤bn,且

lim a n ? a , lim bn ? a n???
n???

cn ? a. 则数列{cn}也收敛, 且有 lim n??

证明思路:由数列极限的几何意义,可知数 列{an}和数列{bn}除前面有限项外,其它项都 落在a的某一邻域内,从而数列{cn}亦然。
?

cosn ? 0. 例1. 证明 lim 2 n?? ( n ?1)
1 cosn 1 ? . 证明: 注意到当n≥1时, 恒有 ? ? 2 n (n ?1) n
1 ?1 而 lim lim . = 0 = n?? n n?? n

cosn ? 0. 所以由夹逼原理得 lim 2 n?? ( n ?1)
注1 使用夹逼原理的关键:寻找适当的参考数列.

注2 怎样寻找适当的参考极限(或参考数列)?
?

例2. 为下列数列寻找适当的参考数列{an}与{bn}.

1 4 n (1) cn = 3 ? 3 ??? 3 , n ?1 n ? 2 n ?n
解: [统一分母] 2 1 4 n n(n ?1)(2n ?1) ? , 取an= 3 ? 3 ??? 3 3 n ?n n ?n n ?n 6(n ? n)

2

1 4 n n(n ?1)(2n ?1) ? , bn= 3 ? 3 ??? 3 3 n ?1 n ?1 n ?1 6(n ?1) 1 1 则an ? cn ? bn , 且lim an ? , limbn ? . n?? 3 n?? 3
2
?

(2) cn =

n, 解: [构造新数列]当n>1时,

n

n ?1. 设 n n =1+xn, 则xn >0, 而且 1 n 2 n n ? (1? xn ) ?1? nxn ? n(n ?1) xn ??? xn 2 1 2 ? n(n ?1) xn , 2
n

2 2 n 于是 xn ? , 从而 1? n ?1? , n ?1 n ?1 2 取an≡1, bn=1+ 即可. n ?1

?

! (3) cn = ( 2n ?1)! . (2n)! !
解: [裂项/插项]
2 ( 2 k ? 1 )( 2 k ? 1 ) 4 k ?1 由于 ? ?1, k=1, 2, 3, … 2 2 ( 2k ) 4k

n ?1) 1 所以c ? 1?23 3?25 5?27?(2n ?1)?(2 2 2 4 6 ( 2 n) 2n ?1 1 ? . 2n ?1 1 从而0< cn< →0 (n→∞). 2n ? 1
2 n

?

注3 上述性质不能推广到无限次. 见例2(1).
又如:

1 1 1 1 1? ? ??? , 其中 lim ? 0. n ?? n n n n ??? ? ?? ?
n项
n n 其中lim n 3 ?1. 3? n 3 ? 3 ? 3 , ????? n项

n??

?

(2) 函数情形的夹逼原理 若在x0的去心邻域 N ( x0 ) 内有f(x)?h(x)?g(x),
lim f ( x ) ? lim g( x ) ? A, 则 lim h( x ) ? A. 且x ?x x? x x? x
0

?

0

0

lim f ( x ) ? lim g( x ) ? A, 故对于N ( x0 ) 证明: 由于 x ?x
0

?

x? x 0

中任意的以x0为极限的数列{xn}, 都有
lim f ( x n ) ? A ? lim g ( x n ).
n?? n??

又因为?xn, 有f(xn)?h(xn)?g(xn).
h( x n ) ? A. 由数列极限的夹逼原理可得 lim n??

所以 lim h( x ) ? A.
x? x 0

?

3. 数列情形的单调有界准则 单调递增有上界的数列必收敛. 单调递减有下界的数列必收敛. 注4 此处的单调性不必从第一项开始.

1 n (1? ) 存在,并且为e. 例4. 证明极限 lim n?? n
?

1 n 证明: 记xn = (1? ) n 1 1 1 1 2 n ?1 ?1?1? (1? ) ??? (1? )(1? )?(1? ), 2! n n! n n n
1 1 则xn+1 ?1?1? 2 ( 1 ? ! n?1 ) ??

? (1?
1 n!

1 n?1

)(1?

2 n?1

)?(1?

n?1 n?1

)

n 1 1 2 ? (n? ( 1 ? )( 1 ? ) ? ( 1 ? 1)! n?1 n?1 n?1 ),

比较xn与xn+1的展开式, 易见xn < xn+1.

即{xn}是单调递增的.
?

另一方面, 由xn的展开式可知,
1 1 1 1 2 n ?1 xn ?1?1? (1? ) ??? (1? )(1? )?(1? ), 2! n n! n n n 1 1 1 ?1?1? ? ??? 2! 3! n! 1 1 1 ? 2? ? ??? 1? 2 2?3 (n ?1)n 1 ? 3 ? ? 3. n

1 n 所以由单调有界准则可知极限 lim(1? ) 存在. n?? n ?

2、两个重要极限
si nx m ? 1. 例5. 证明 lxi? 0 x

证明: 由右图可知, ? 当0 < x < 时, sinx<x<tanx,

2 x 1 sinx 从而 1 ? ? , cosx ? ? 1. sinx cos x x sinx 于是 0 ? 1? ? 1? cosx x 2 x x x ? 2sin2 ( ) ? 2( ) 2 ? . 2 2 2

?

si nx 又因为 与x2都是偶函数, x
2 sin x x 所以当 ? < x < 0时, 0 ? 1? ? 仍成立 . 2 x 2

?

sinx ? ? 由夹逼原理立得 lim ? 1? ? ? 0, x?0 x ? ? si nx 因而 l i m ? 1. x ?0 x

[副产品]
lim(1 ? cos x ) ? 0,
x ?0

lim cos x ? 1,
x ?0

lim sin x ? 0.
x ?0

?

? 1? ? 1? ? ? e . 例6. 证明 lim x?? ? x?
? 1? ? 1? ? ? e . 证明: 首先证明 xlim ??? ? x?
x

x

设n = [x], 则n ? x < n+1.
从而
1 ? ? 1? ? 1? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? n ?1 ? ? x ? ? n ?
n x n?1

?

1 ? 1 ? ? ? ? 1? ? ? lim ? 1? ? 而 lim n?? n?? ? n?1 ? ? n?1 ? n?1 ?1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? lim?? 1? ? ? 1? ? ? ? e. n?? ? ?? n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? ? ? 1? lim ? 1? ? n?? ? n?
n?1

n

( n?1)?1

?? 1 ? n ? 1 ?? ? lim?? 1? ? ? 1? ?? ? e . n?? ? ?? n ? ? n ?? ?

且x→+∞与n→∞是等价的,
? 1? 故由夹逼原理可得 lim? 1? ? ? e. x??? ? x?
?
x

再令x = ?t, 则当x→?∞时, t→+∞,
? t ? ? 1? ? 1? ? ? 于是 lim? 1? ? ? lim? 1? ? ? tlim ??? t ? 1 x??? t ??? ? ? ? x? ? t? 1 ? ? ? lim? 1? ? t ??? ? t ?1 ? ? 1? 所以 lim? 1? ? ? e. x?? ? x?
1 1 注⑤: 令 ? t 可得 lim?1? t ? t ? e . t ?0 x

x

?t

t

( t ?1)?1

? e.

x

为什么?

?

x 2sin ( ) 1 ? cos x 2 l i m ? lim 例7. (1) x?0 x 2 x?0 x2
2

1 ? sin(x / 2) ? 1 ? lim ? ? ? . x?0 2 2 ? x/2 ?
sin2 x ?2 si n2 x 2 2 x ? . ? lim (2) lxim ?0 si n 3 x x?0 sin3 x 3 ?3 3x
?

2

tanx ? sinx 1 ? (3) li m ? lim ? ? 1. ? ? x?0 x?0 x ? x cosx ?

(4) lim?( x ? 1)cot ?x ? .
x?1

? ( x ? 1)cot ?x ? 解: 令x?1=t, 则 lim x?1
? lim?t cot( ? t ? ? )?
t ?0

? lim t cot( ? t )
t ?0

? t ? 1 ? lim? cos( ? t )? ? . t ?0 sin( ? t) ? ? ?

?

1? cosx cos2 x (5) lim 2 x?0 x
? 1? cosx cosx (1? cos2 x ) ? ? lim? ? ? 2 2 x?0 x x ? ?
? 1 ? cos x 2sin 2 x ? ? lim ? 2 ? cos x ? 2 x?0 x (1 ? cos x ) x ? ?
2? ?? sinx ? 2 1 ? sinx ? 2 ? ? ? lim?? ? 2 cos x ? ? ? 2(1? cosx ) x x?0 ? x ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 9 ? ? 2? . 4 4

?

? x ? 1 1 (6) lim? ? ? lim ? . x 1 x?? x ? 1 e ? ? x?? (1? x ) ? 3? (7) lim ? 1? ? . x?? ? x?
x

x

解: 令x = ?3t, 则
? 1? ? 3? lim? 1? ? ? lim ? 1? ? t ?? x?? ? t? ? x?
mx (8) li x?1
2 1? x x?1

x

?3 t

?? 1 ? ? lim?? 1? ? t ?? ? ?? t ?
?e .
?2

t

? ?3 ? e . ? ? ?

?3

? lim [1? ( x ? 1)]

2 1? x

?

3

(9) lim(se cx ) .
x?0

x2

3

解: li m(se cx )
x ?0

x2

1 x2 ? lim ( ) x?0 cosx
3(1?cos x ) x 2 cos x

3

cos x ? 1? cosx 1?cos x ? ? lim?(1? ) ? x?0 cosx ? ?

? sin 3(1? cosx ) ? ? lim 而 lim 2 x x?0 x?0 cos x ? x cosx ? 2
3 2

x 2

? 3 ? ? ? 2. ?
?

2

故原式 ? e .
3

小结 利用重要极限的关键:
(1) 分析所求极限的特点
(2) 利用“模板”:

sin? lim ? 1, ??0 ? 1 ? lim (1? ) ? e , ??? ?

lim?1? ?? ? e .
1 ?

??0

?

六 无穷小量的比较
1、定义 设?与?是在同一自变量的同一变化过程
中的两个无穷小量, 且?≠0.
? (1) 若 lim ? 0, 则称?是?的高阶无穷小 ?

(或称?是?的低阶无穷小), 记为: ? =o(?). 特别地, 一个无穷小量?可记为o(1). ? (2) 若 lim ? C ? 0, 则称?与?是同阶无穷小. ?
?

? (3) 若 lim ? 1, 则称?与?是等价无穷小, ? 记为: ?~?. 易见?~? ? ? =? + o(?). ? (4) 若 lim k ? C ? 0, (k∈N+), ? 则称?是?的k阶无穷小.

例8x→0时,x3是比x2高阶的无穷小; x3是x的3 阶的无穷小;2xsinx与1-cosx是同阶无穷小; sinx与x是等价无穷小。
例9x→0时,f(x)=xsin1/x和g(x)=x2是无穷小,则( D ). A f(x)是比g(x)低阶的无穷小 B f(x)与g(x)是等阶无穷小 C f(x)与g(x)是同阶但不等阶无穷小 D不可比较
?

2、 等价无穷小代换
?? l' im (1) 原理: 设?~?', ? ~ ? 且 存在, 则 ??
? ? ? ?? ? ? ? ? ? lim ? lim ? ? ? ? ? lim . ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?
sin (sin x) sin (sin x) ? lim 例10. lim =1. x ? 0 x?0 sinx x

?

(2) 常用的等价无穷小: (1) sinx~tanx~arcsinx~arctanx~x (x→0);
1 2 (1? cos x)~ x (x→0) 2

(2) (ex ?1)~x (x→0)
(3) ln(1+x)~x (x→0)
x (x→0); (4) ( 1? x ?1) ~ n
n

(1+x)? ?1~?x (x→0).
?

1? x ? cosx 例11. lim x?0 x
3

1? x ? 1? 1? cosx ? lim x?0 x
3

1? cosx 1? x ? 1 ? lim ? lim x ?0 x?0 x x
3

1 ? . 3
?

(3) 注意事项: (1) 要正确理解无穷小代换的原理. 例如:
tanx ? sinx tanx(1? cosx ) lim ? lim 3 3 x ?0 x ? 0 x x
2 x? 1 x 1 2 ? lim 3 ? . x ?0 x 2

如果同时把sinx, tanx用x代换掉就 出错了!

?

1 1 ? 2 x 又如: lim x 1? x ? lim =1. x?? 1 2 x?0 x ( x ? 1) ( ) x 1 1 虽然x→∞时, x ~ 1? x ,
1 1 但不能把分子中的 换成 . 1? x x

尽管等式
lim

1 1 lim = x?0 (1+x) x?0 (1+sinx)
?

成立, 但这不叫“等价无穷小代换”!!!

(2) 并非任意两个无穷小量都可以比较阶的高低.
1 例如 f(x)= x sin , g(x)= x2 x

当x→0时都是无穷小量, 但
2 x si n1 1 1 x x x ? si n 和 ? 2 1 x x x x sinx sin1 x

在x→0时都不是有界量, 因此这两个无穷小量无法进行比较.
?

§3
一. 连续的概念

连续函数

如何变化?

1. 引例:
(1)天气温度, 音量旋钮, …

短时间内变化微小!

?

(2) 观察下列函数的图象
? x 2 ( x ? 0) ; ① f(x)= ? 1 ?sinx ( x ? 0)
? x ? 1 ( x ? 0) ; ③ h(x)= ? ? x ( x ? 0)

各函数在x=0 这一 点如何变化?

x 2 ?1 ; ② g(x)= x ?1
1 ④ ?(x)= . x

?

2. 定义: (1)设函数y = f(x)定义在x0的某一邻域内,

当自变量从x0变到x时, 对应的函数值从
f(x0)变到f(x), 称

Dx = x ? x0
为自变量的增量(或自变量的改变量),


Dy = f(x)?f(x0)= f(x0+Dx)?f(x0) 为函数值的增量(或函数值的改变量).
?



lim x? x
0

lim Dy = 0, f(x)=f(x0), i.e., D x ?0

则称函数y = f(x)在点x0处连续,

并称x0为y = f(x)的连续点.
类似地可以定义y = f(x)在点x0处左(右)连续.

(2)若函数y = f(x)在开区间(a, b)内每一点处连续,
则称它在开区间(a, b)内连续, 记为f∈C(a, b). 若y = f(x)在开区间(a, b)内连续, 且在点a处右 连续, 在点b处左连续, 则称它在[a, b]上连续, 记为f∈C[a, b]. 例1 y=sinx是处处连续的函数。
?

注意:函数y=f(x)在点x0连续的必要充分条件是 y = f(x)在点x0处既左连续又右连续.即
lim f ( x) ? f ( x0 ) ?? xlim f ( x) ? xlim f ( x) ? f ( x0 ) x?x ?x ? ?x ?
0 0 0

例2 确定常数a,使函数
? x ? 2, x ? 0, ? ax f ( x) ? ? e ? 1 ,x ? 0 ? ? x

连续。

二、间断点 若函数y = f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 如果x0不是y = f(x)的连续点, 则称x0为y = f(x)

的间断点.
对于间断点x0, 若y = f(x)在x0处的左右极限 都存在, 则称之为第一类间断点, 否则称之为 第二类间断点.

?

三 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理1. 设函数f(x), g(x)在点x0处连续, 则f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (g(x0)≠0) 在点x0处连续. 定理2. 设函数y = f [g(x)]是由y = f(u)与u = g(x) 复合而成的, g在点x0处连续, f在对应的 点u0=g(x0)处连续, 则复合函数y = f [g(x)]在点x0处连续, i.e., lim f [ g( x )] ? f [ g( x0 )] ? f [ lim g( x )].
x? x 0 x? x 0

?

注① 与函数极限的复合法则的区别与联系! 注② 由定理2可知, 在计算连续函数的极限时, 极限符号与函数符号可以交换次序. 注③定理1、2可以推广到区间!
1 loga (1? x ) x 例3 lim ? lim log ( 1 ? x ) a x?0 x ?0 x
1 ? ? ? log a ?lim(1? x ) x ? x?0 ? ?

1 . ? loga e ? l na
?

[副产品]
x

令ax ?1= t

ln( 1? x ) a ?1 t lim ? 1, lim ? lim ? ln a , x?0 x?0 t ?0 log (1? t ) x x a x e ?1 lim ? 1, x?0 x

(1? x )? ? 1 e ? ln( 1? x ) ? 1 lim ? lim x?0 x ?0 x x

e? ln( 1? x ) ?1 ? ln( 1? x ) ?? , ? lim ? x?0 ? ln( 1? x ) x

(1? x )? ? 1 lim ? 1. x?0 ?x
?

例4设f(x)= u(x)v(x)且 lim u( x ) ? A ? 0, lim v ( x ) ? B.
x? x 0 x? x 0

证明: limu( x )v ( x ) ? AB .
x? x 0
v( x) v ( x )lnu ( x ) BlnA =AB. lim u ( x ) ? lim e 证明: x? x = e x? x
0 0

注③ 这里的x0可以是有限数也可以是±∞.
定理3. 设函数y = f(x)是定义在区间上的严格单调 增(减)的连续函数, 则其反函数在区间[f(a), f(b)] ( [f(b), f(a)] )

上也是严格单调增减的连续函数.
?

常值函数——显然连续. 指数函数——已经证明了ex的连续性, ax 类似. 对数函数——是指数函数的反函数,用定理3.
三角函数——正弦: 例1; 余弦: 与正弦类似; 其他: 用定理1. 反三角函数——用定理3. 幂函数—— y = x? (x > 0, ? ?R) ? y = e? lnx, 用定理2. 定理4. 初等函数在其定义区间上都是连续的.
?

四 闭区间上连续函数的性质
定理1. 设函数f∈C[a, b], 则 f 在[a, b]上有界且

可取到最大值和最小值.
注意定理的条件,考察下列函数: ① y = arcsin x; ② y = x, x∈(0, 1);
1 ③ y = arctan x; ④ y ? , x∈(0, 1); x

⑤ y = x?[x], x∈[?1, 1]; ⑥ y = sin x, x∈(?5, 5); ⑦ y = [x], x∈[0, 3].
?

定理2. 设函数f∈C[a, b], 若f(a)f(b) < 0,

则至少存在一点?? (a, b), 使得f(? ) = 0. 应用: 判断方程的根的存在性.
例 5判断方程x?ln(2+x) = 0在[?1, 2]上是否有根. 解: 令f(x) = x?ln(2+x),在[?1, 2]上连续, 则f(?1)= ?1?ln(2?1) < 0, f(2)=2 ? ln4=2(1?ln2) > 0. 所以方程x ?ln(2+x) = 0在[? 1, 2]上有根.
?

定理3(介值定理) 设函数f∈C[a, b]. 若f(a)≠f(b), ?为介于f(a)与f(b)之间的 任意实数, 则至少存在一点?? (a, b), 使得f(?)=?. 推论: 设函数f∈C[a, b], 且在[a, b]上的最小值

与最大值分别为m和M, 则R(f)=[m, M].

?


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