高中数学思想与方法

不识数学真面目 一、 数学能力与数学学习方法 只缘身在题海中 ——高中数学学科学习方法 很多学生觉得学习数学就是做题, 常常陷在题海中, 一遍又一遍地 “刷题” 。 久而久之,有些聪明的学生会悟出些道道来,更多的是“云深不知处” 。 因此, 很多高中生觉得高中的数学很难学。究其原因是其不知道如何学习数 学,不知道什么是数学能力。 下面仅通过一个例子,谈一谈个人对学习数学和数学能力的“愚见” ,也希 望同学们明白,学习数学不是要游过“题海” ,而是要领略“游泳”的酣畅淋漓, 更要时常站在海边,看一看风景。 问题 1: 在 ?ABC 中, D 为 BC 边的中点, DM 平分 ?ADB 交 AB 于 M 点, DN 平分 ?ADC 交 AC 于 N 点,则 BM ? CN 与 MN 的大小关系是( ) (A) BM ? CN ? MN (B) BM ? CN ? MN (C) BM ? CN ? MN (D)无法确定 B M A N D C 这是一道初二平面几何问题,也是一道2013年北京大学自主招生的试题。命 题的教授说,他做了半天才解出来,觉得很有必要考考高中学生,这道试题可以 反映学生的数学能力。 我们先来看一下初中学生的解法(如下) 。 A 分析及解: 延长 ND 到点 P , 使得 ND ? DP , 如图, 在 ?DCN 与 ?DBP 中, 因为 ND ? DP , BD ? DC , ?BDP ? ?CDN , 所以 ?DCN ? ?DBP 。 则有 BP ? CN 。 因为 DM 平分 ?ADB , DN 平分 ?ADC , 第 1 页 共 18 页 M N B P D C 所以 ?MDN ? 90? , 又因为 ND ? DP , 所以 ?MNP 为等腰三角形, 所以 MP ? MN , 因为在 ?MBP 中, BM ? BP ? MP , 所以 BM ? CN ? MN 。 故选(A) 。 很多高三的学生拿到题,一时半会不知从哪下手,会犯嘀咕,这是考什么? 没有用到高中的数学知识呀?那些三四年前在初中时学的方法和会做的题, 他们 早已忘却。 在有些同学的脑中,拿到一道数学题,一定要知道它是刚学的什么知识,是 他做过的什么题型,否则他是不会做的。 这样学习数学是有问题的。 把数学题分成各种各样的题型,是学习数学的一 个最简单方法, 在学习数学的最初是有点作用的。在遇到稍微复杂的综合性的数 学问题时,简单分类是没有多大作用的。 要想学好数学不是做很多数学题就一定管用的, 毕竟我们不能把所有做过的 题都记住。当然,学好数学是离不开做题的,关键的是在做数学题时想什么,试 图得到什么。我想,做数学题最重要的是要关注其中的思维方式,以及渗透了什 么样的数学思想和方法吧! 有一个高中学生说,我有一个简便的方法(记作解法二) 。他说,拿到这道 题时, 我首先想到的是选一个特殊三角形, 比如等腰直角三角形 ( ?BAC ? 90? ) , 这样就很容易地排除了选项(B) (C) 。他觉得选项(A)是正确的,于是又画了 几个特殊的图形验证了一下,所以就选(A)了。 有的同学可能会说,他是蒙对的!个人觉得,这就是一种数学能力。 什么是数学能力?一位特级教师说,就是过了很多年,忘了数学解题的条条 框框,剩下的那些就是数学能力。 实际上,这个学生是从特殊的情况入手,归纳得到了结论。这是一种思考问 题的方式,是从学习数学概念、定理和公式的过程中得到的,是比数学概念、定 第 2 页 共 18 页 理和公式更重要的东西——数学思维能力。 正如数学家华罗庚所说: “要善于退,足够地退,退到原始而又不失去重要 性的地方,是学好数学的一个重要的诀窍。 ”这里的“退”就有一种从特殊的情 况入手,由特殊到一般,以退为进的意思。 见到解法二,有个学生不服气地说,他有一 个更简便的方法,那就是拿尺子去量(记作解法 三) 。 见到解法三,很多没有解出来还在想知识与 题型的同学开始抓狂、彻底无语了。 命题者说,他命自主招生试题的时候就想到 了这种解法,这种解法很好,观察、实验、操作 是数学研究的基本方法, 而且有数形结合的意思, 这是一种能力。 什么是数学能力?这很难定义。如何学好数学、掌握数学能力更是一个复杂 的、仁者见仁的话题。不过从以上的三种解法中,我们还是可以看出些端倪来。 不难发现数学定理(含公式和结论) 、思维方式和数学研究方法对于解决数学问 题的作用是不尽相同的, 什么是数学能力、 学习时要关注什么也可由此窥见一斑。 不同人的学习方法也不尽相同, 很难统一。 但是不管怎么说, 强调数学概念、 定理和公式的形成过程,注重这些过程中的数学思想与方法,通过观察、实验、 操作、猜想和证明等形成由特殊到一般的思考方式一定是学好数学的根本。 抓住这个根本,是学好数学关键,也是一切数学学习方法的实质,宛如在坐 标平面内,你只有找到原点,才明白你的位置,以及前进的方向。 数学家华罗庚 (1910-1985) 二、 数学思想与方法 数学概念、定理和公式的形成过程,会涉及到很多的数学方法,而它是数学 学习的基石。很多时候,同学们仅仅注意到概念、定理和结论的本身及其应用, 而忘了其中蕴含的数学方法,以至于学不得法,本末倒置。 关注到数学方法, 有助于提高数学成绩。 然而, 数学方法具有一定的模式化, 它是死的,仅在一定范围内适应,同学们要想真正学好数学,仅有方法是远远不 第 3 页 共 18 页 够的,还应该明白方法中所蕴含的数学思想、数学思维,唯有此才能活学活用, 才能让你的数学学习更上一层楼。 以上两点,希望同学们在高中数学的学习时,务必注意,铭记在心。 为此,我们来了解一下常见的数学思想与方法。 高中数学与初中数学相比, 不仅仅是知识内容的增加,更多的是不同数学知 识块之间的融合、数学思想与方法的渗透也更加深入。 中学数学的基本思想与方法有分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合 思想、化归与

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