全国一等奖用二分法求方程的近似解教学设计

用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修本(A 版) 》的第三 章 3.1.2 用二分法求方程的近似解.本节课要求学生根据具体的函数图象能够借 助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解, 了解这种方法是 求方程近似解的常用方法, 从中体会函数与方程之间的联系;它既是本册书中的 重点内容,又是对函数知识的拓展,既体现了函数在解方程中的重要应用,同时 又为高中数学中函数与方程思想、 数形结合思想、 二分法的算法思想打下了基础, 因此决定了它的重要地位. 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程 的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点, 对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难. 另外算法程序的模式化 和求近似解对他们是一个全新的问题. 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式;注重提高学 生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识;与时俱进地认识“双基”,强调数 学的内在本质,注意适度形式化;在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值; 注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方 法, 从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助 计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想; 体会数学逼近 过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结 论或规律,体会从具体到一般的认知过程. 五、教学重点和难点 1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点 与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识. 2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具, 利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 六、教学过程设计 (一)创设情境,提出问题 问题 1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发 生了故障.这是一条 10km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆 子.10km 长,大约有 200 多根电线杆子呢. 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 以实际问题为背景,以学生感觉较简单的问题入手,激活学生的思维,形成 学生再创造的欲望.注意学生解题过程中出现的问题,及时引导学生思考,从二 分查找的角度解决问题. [学情预设] 学生独立思考,可能出现的以下解决方法: 思路 1:直接一个个电线杆去寻找. 思路 2:通过先找中点,缩小范围,再找剩下来一半的中点. 老师从思路 2 入手,引导学生解决问题: 如图,维修工人首先从中点 C.查用随身带的话机向两个端点测试时,发现 AC 段正常,断定故障在 BC 段,再到 BC 段中点 D,这次发现 BD 段正常,可见故 障在 CD 段,再到 CD 中点 E 来查.每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半, 如此查下去,不用几次,就能把故障点锁定在一两根电线杆附近. 师:我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件) . 在一条线段上找某个特定点, 可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的 范围(即二分法思想) . [设计意图] 从实际问题入手, 利用计算机演示用二分法思想查找故障发生 点, 通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现 实生活,并在现实生活中广泛应用. (二)师生探究,构建新知 问题 2:假设电话线故障点大概在函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点位置,请同 学们先猜想它的零点大概是什么?我们如何找出这个零点? 1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,通过具体的函数图 象帮助学生理解闭区间上的连续函数,如果两个端点的函数值是异号的,那么函 数图象就一定与 x 轴相交,即方程 f ( x) ? 0 在区间内至少有一个解(即上节课的 函数零点存在性定理,为下面的学习提供理论基础) .引导学生从“数”和“形”两个 角度去体会函数零点的意义, 掌握常见函数零点的求法, 明确二分法的适用范围. 2. 我们已经知道, 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2, 3)内有零点,且 f (2) <0, f (3) >0.进一步的问题是,如何找出这个零点? 合作探究:学生先按四人小组探究.(倡导学生积极交流、勇于探索的学习 方式,有助于发挥学生学习的主动性) 生:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我 们可以得到零点的近似值. 师:如何有效缩小根所在的区间? 生 1:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 生 2:是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的 范围? 师:很好,一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么 在一定精确度的要求下,可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或 四等分点”都能实现缩小零点所在的范围 . 但是在同样可以实现缩小零点所在范 围的前提下, “取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便 .因此,为 了方便,下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间 ( a, b) 的中点的方法 x ? a?b . 2 合作探究: (学生 2 人一组互相配合,一人按计算器,一人记录过程.四人 小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果.) 步骤一:取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f (2.5) ? ?0.084 ? 0 . 由 f (3) >0,得知 f (2.5) ? f (3) ? 0 ,所以零点在区间(2.5,3)内。 步骤二:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f (2.75) ? 0.512 ? 0 .因为

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