新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.5等比数列(两课时)_图文

2.4 等比数列(1) 一.复习回顾: 1.前n项和的最大值和最小值问题 (1) 利用 S n (2)利用 an : 利用二次函数配方法求得最值。(注意:n为正整数) 当 d 2 d 由 S n ? n ? (a1 ? )n 2 2 ?a n ? 0 ,求得n的值。 ? ?a n ? 1 ? 0 当 a1 <0,d>0,前n项和有最大值。可由 ?a n ? 0 ,求得n的值。 ? ?a n ? 1 ? 0 a1 >0,d<0,前n项和有最大值。可由 2.等差数列前n项和的性质 性质1.等差数列的依次每k项之和Sk,S2k-Sk, S3k-S2k…组成一个公差为k2d的等差数列; 性质2. A 若{an}共有2n项,则S2n=k(an+an+1) ( an,an+1为中间项), 并且S偶 -S奇=nd,S奇/S偶=an/an+1 B 若{an}共有2n-1时,则S2n-1=(2n-1)an (an为中间项) S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n/n-1 性质3. (1)若{an}为等差数列,则 S 2n?1? (2n ?1)an (2)若{an}{bn}为等差数列,它们的前n项和为Sn,Tn则 S 2 n?1 a n ? T2 n?1 b n 二、讲解新课: Ⅰ.课题导入 (1)细胞分裂问题 课本P48页的4个例子: , ①1 ,2,4,8,16,… 1 1 , , 8 16 (2)“一尺之棰,日取其半,万世不竭” 从第 (3)计算机病毒感染问题 (4)银行复利计算问题 1 ② 1, 2 , 1 4 ,… ③1,20,20 2 , 203 ,20 4 ,… 10000 ?1.0198 ④ 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 , 4 5 ,…… , 10000 ?1.0198 10000 ?1.0198 2 二项起,每 一项与它前一项 之比 等于同一常 数. 3 请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征? 等差数列定义 如果一个数列从第 二项起,每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差 1.等比数列定义: 如果一个数列从第 二 __项起,每一项与它 的前一项的比 _等于同 _ 一个常数,那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示 公差通常用字母d表示 q≠0 等差数列 由于等差数列是 作差 故a 1 d 没 有要求 判断数列是等差数列的方法 等比数列 由于等比数列的每一 项都有可能作分母, 故a 1 ≠0 且 q ≠0 判断数列是等比数列的方法 an –an-1=d(n≥2) an ? q(n ? 2) a n?1 a n ?1 或 ? q(n ? 1) an 或 an+1-an=d(n≥1) 想一想 2.等比数列的每一项都不为0,即an≠0。 判断下列数列是否为等比数列。若是,则公比是多少, 若不是,请说明理由 1)、 16,8,4,2, 1, … ; 公比是0.5 公比是-5 2)、 5,-25,125,- 625,…; 3) 、1,0,1,0,1,…; 4)、 2,2,2,2,2,…; 5)、 0,0,0,0,0,…; 不是 公比是1 不是 6)、 -2,-4,-8,-16,…; 公比是2 7)、 3,9,27,81,243,…; 公比是3 公比q是每一项(第2项起)与它的前一项的比; 防止把被除数与除数弄颠倒;公比可以是正数,负 数,可以是1,但不可以为0 等比数列中: ?a1 ? 0 ?a1 ? 0 (1) ? 或? ? ?an ? 递增 ?q ? 1 ?0 ? q ? 1 ?a1 ? 0 ?a1 ? 0 (2) ? 或? ? ?an ? 递减 ?0 ? q ? 1 ?q ? 1 (3)q= 1 ? ?an ?为常数列 (4)q ? 1 ? ?an ?为摆动数列 非零的常数数列既是等差数列又是等比数列 等差数列通项公式推导: 设公差为 d 的 等差数列{ a n },则有: a 2 -a 1 = d a 3 -a 2 = d a 4 -a 3 = d 等比数列通项公式推导: 设公比为 q的等比数列{ a n} ,则有: 叠加法 n-1个 ×) =d (n≥2) q a2 ? ___ a1 a3 q ? ___ a2 q an ? ___ a n ?1 … 叠乘法 n-1个 …… + ) a n -a n -1 a n - a 1 = ( n- 1 ) d 等差数列 { a n } 的首项为 a 1, 公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N + ________________ an ? q n ?1 (n≥2) a1 首项为 a 1,公比为 q 的等比数 列的通项公式: a n= a 1 q n-1 (a 1 ≠0 且 q ≠0 n ∈ N +) 等比数列的通项公式 问题:用 a1 和 q 表示第 n 项 an. ②不完全归纳法 a 2 ? a1 q, a3 ? a 2 q ? a1 q , a 4 ? a3 q 2 ? a1 q ,?, a n ? a1 q 3 n ?1 等差数列 等差数列通项公式: 首项为 a 1,公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N + 等比数列 等比数列通项公式: 首项为 a 1,公比为 q 的 的通项公式: a n= a 1 q n- 1 (a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +) ________________ 变形公式: a n = a m + ( n - m ) d, n ∈ N + 变形公式: an ? am ? q (am ? q ? 0) 但常数列却不一定 是等比数列,

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