【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第六节直接证明与间接证明 理

第六节

合情推理与演绎推理

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解 合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们 进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

知识梳理 一、 推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断, 这种思维方式叫做推理. 从结构上说, 推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做前提,另一部分是由已知推出 的判断,叫做结论. 二、合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联 想,再进行归纳、类比,然后提出猜想 的推理称为合情推理. 合 情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类. 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象 具有这 些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由__________ 到______ __、________到________的推理,归纳推理简称归纳. 2.类比推 理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另 一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由______到________的推理,类比推 理简称类比. 答案 :1.部分 整体 个别 一般 2.特殊 特殊 三、演绎推理 从____________出发,推出____________下的结论.简言之,演绎推理是由__________ 的推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 它包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提—— 所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断 . 答案:一般性 的原理 某个特殊情况 一般到特殊 基础自测 1.定义 A*B,B* C,C*D,D*A 的运算结果分别对应下图中的(1),(2),(3),(4),那 么下图中的(M),(N)所对应的运算结果可能是( )

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A.B*D,A*D C.B*C,A*D

B.B*D,A*C D.C*D,A*D

解析:根据图(1),(2),(3),(4)和定义的运算知,A 对应竖线,B 对应正方形,C 对 应横线,D 对应圆,∴(M)对应 B*D,(N)对应 A*C.故选 B. 答案:B 2.给出下列类比推理的命题: ①把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay ②把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sin x+sin y x+y x+y x y ③把 a(b+c)与 a 类比,则有 a =a +a . ④把 a(b+c)与 a·(b+c)类比,则有 a·(b+c)=a·b+a·c. 其中,类比结论正确的命题的个数是__________. 解析:任意判断前 3 个类比的结论都是错误的,只有第 4 个类比的结论是正确的. 答案:1 3.观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为__________________ . 1 1 1 1 1 11 解析:依据前 3 个式子的变化规律,可得第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 4.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________. 解析:由图形间的关系可以看出,第一个图中有 8 根火柴棒,第二个图中有 8+6 根火 柴棒,第三个图中有 8+2×6 根火柴棒,以此类推第 n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是 8+ 6(n-1),即 6n+2. 答案:6n+2

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1.(2013·陕西卷)观察下列等式: 2 1 =1 2 2 1 -2 =-3 2 2 2 1 -2 +3 =6 2 2 2 2 1 -2 +3 -4 =-10 ???? 照此规律,第 n 个等式可为____________________. 解析:分 n 为奇数、偶数两种情况,第 n 个等式的左边为 1 -2 +3 -?+(-1) 当 n 为偶数时,分组求和: n n+ 2 2 2 2 2 2 (1 -2 )+(3 -4 )+?+[(n-1) -n ]=- ; 2 n n- n n+ 2 当 n 为奇数时,第 n 个等式右边=- +n = , 2 2 综上,第 n 个等式: n+1 - 2 2 2 n-1 2 1 -2 +3 -?+(-1) n = n(n+1). 2 n+1 - 2 2 2 n-1 2 答案:1 -2 +3 -?+(-1) n = n(n+1) 2
2 2 2

n -1 2

n,

2.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ,则它们的面积比为 1∶4,类似地, 在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 解析:两个正四面体的体积比应等 于它们的棱长比的立方,故应为 1∶8. 答案:1∶8

1 . (2013· 茂 名 一 模 )2 ×1 = 2,2 ×1×3 = 3×4,2 ×1×3×5 = 4 4×5×6,2 ×1×3× 5×7=5×6×7×8, ?, 依此类推, 第 n 个等式为__________________. 解析:观察已知中的等式: 1 2 ×1=2, 2 2 ×1× 3=3×4, 3 2 ×1×3×5=4×5×6, 4 2 ×1×3×5×7=5×6×7×8, ??? 由此推断,第 n 个等式为: n 2 ×1×3×?(2n-1)=(n+1)·?(2n-1)·2n. n 答案:2 ×1×3×?(2n-1)=(n+1)·?(2n-1)·2n

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2

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S△AEC AC = (如图 1), S△BEC BC 将这个结论类比到空间,在三棱锥 ABCD 中,平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交于 E(如图
2.在平面中△ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比 2),则类比的结论为________________.

3

解析: 将平面几何中的面积类比为立体几何中的体积, 平面几何中的线段类比为立体几 何中的面积, 可得类比结果为 答案:

VACDE S△ACD = . VBCDE S△BDC

VACDE S△ACD = VBCDE S△BDC

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