www.82xxoo.com:(课堂设计)2014-2015高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法学案 新人教A版必修5

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§2.1

数列的概念与简单表示法

材拓展 1.从函数的观点看数列 一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函 数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.例如,类比单调函数的定义 * 得出单调数列的判断方法.即:数列{an}单调递增?an+1>an 对任意 n (n∈N )都成立;数列 * {an}单调递减?an+1<an 对任意 n (n∈N )都成立. * 另一方面, 还要注意数列的特殊性(离散型), 由于它的定义域是 N 或它的子集{1,2, ?, n}, 因而它的图象是一系列孤立的点, 而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的 曲线. n- 98 例如:已知 an= ,则这个数列的前 30 项中最大项和最小项分别是( ) n- 99 A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30 n- 99+? 99- 98? 解析 ∵an= n- 99 = 99- 98 +1 n- 99 99- 98

∴点(n,an)在函数 y=

x- 99

+1 的图象上. +1 的图象.

在直角坐标系中作出函数 y=

99- 98

x- 99

由图象易知 当 x∈(0, 99)时,函数单调递减. ∴a9<a8<a7<?<a1<1, 当 x∈( 99,+∞)时,函数单调递减. ∴a10>a11>?>a30>1. 所以,数列{an}的前 30 项中最大的项是 a10,最小的项是 a9. 答案 C 2.了解一点周期数列的知识 类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义:对于数列{an},若存在一个大于 1 的自 * 然数 T(T 为常数),使 an+T=an,对一切 n∈N 恒成立,则称数列{an}为周期数列,T 就是它 * 的一个周期.易知,若 T 是{an}的一个周期,则 kT (k∈N )也是它的周期,周期最小的那个 值叫最小正周期. -1 例如:已知数列{an}中,a1=a (a 为正常数),an+1= (n=1,2,3,?),则下列能 an+1 使 an=a 的 n 的数值是( ) A.15 B.16
1

C.17 解析 a1=a,a2= -1 -1 -1

D.18

a+1



a3= = = a2+1 -1 +1 a+1
-1 -1

-a-1 ,

a

a4= = =a, a3+1 -a-1 +1 a a5= = ,??. a4+1 a+1 ∴a4=a1,a5=a2,?依次类推可得:an+3=an, ∴{an}为周期数列,周期为 3. ∵a1=a,∴a3k+1=a1=a.
答案 B 3.数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系 对所有数列都有:Sn=a1+a2+?+an-1+an,Sn-1=a1+a2+?+an-1 (n≥2).因此,当 n≥2 时 , 有 : an = Sn - Sn - 1. 当 n = 1 时 , 有 : a1 = S1. 所 以 an 与 Sn 的 关系 为 : an = ? n=1 ?S1, ? .注意这一关系适用于所有数列. ?Sn-Sn-1, n≥2 ? n 例如:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=(n-1)·2 +1,则 an=________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 n n-1 =[(n-1)·2 +1]-[(n-2)·2 +1] n n-1 =(n-1)·2 -(n-2)·2 n-1 =n·2 . n-1 所以通项公式可以统一为 an=n·2 . n-1 答案 n·2 4.由简单的递推公式求通项公式 (1)形如 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+?+f(n)可求和,采用累加法求 an. 即:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) =a1+f(1)+f(2)+?+f(n-1)
n-1

-1

-1

=a1+∑ f(i) i=1 (2)形如 an+1=f(n)·an,且 f(1)·f(2)?f(n)可化简,采用累乘法求 an. 即 an=a1· · ·?·

a2 a3 a1 a2

n-1 an =a1·f(1)·f(2)·?·f(n-1)=a1·i Π f(i) =1 an-1

(注:∑为连加求和符号,Π 为连乘求积符号) (3)形如 an+1=Aan+B (AB≠0 且 A≠1). 设 an+1-x=A(an-x),则: an+1=Aan+(1-A)x 由(1-A)x=B, ∴x= 1-A ∴an+1- =A?an- 1-A? 1-A ? ? ∴an-
2

B

B

?

B ? B ?

=A?an-1- ? 1-A? 1-A ?

B

?

=A ?an-2- 1-A? ? ?
2

?

B ?

?a1- B ? ? 1-A? ? ? B ? B n-1? ∴an= +A ?a1- ? 1-A? 1-A ?
=?=A
n-1

=(1-A

n-1

)· +A 1-A

B

n-1

a1.

法突破 一、观察法写数列的通项公式 方法链接:根据数列前几项,要写出它的一个通项公式,其关键在于观察、分析数列的 前几项的特征、特点,找到数列的一个构成规律.根据此规律便可写出一个相应的通项公 式.注意以下几点: (1)为了突出显现数列的构成规律,可把序号 1,2,3,?标在相应项上,这样便于突出 第 n 项 an 与项数 n 的关系,即 an 如何用 n 表示. (2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值,必然进行了化简,因此我们要观察出它的 构成规律,就必须要对它进行还原工作.如数列的前几项中均用分数表示,但其中有几项分 子或分母相同,不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试. n n (3)当一个数列出现“+”、 “-”相间时, 应先把符号分离出来, 即用(-1) 或(-1) -1 表示,然后再考虑各项绝对值的规律. (4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度),有利于我们写出它 的通项公式. 例 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: 4 1 4 2 1 9 25 (1) , , , ,?; (2) ,2, ,8, ,?; 5 2 11 7 2 2 2 (3)1,3,6,10,15,?; (4)7,77,777,?; 1 1 1 1 (5)0,3,8,15,24,?; (6)1, , , , ,?. 3 7 13 21 4 4 4 4 解 (1)注意前四项中有两项的分子为 4,不妨把分子统一为 4,即为 , , , ,?, 5 8 11 14 4 于是它们的分母相差 3,因而有 an= . 3n+2 (2)把分母统一为 2,则有: 1 4 9 16 25 n2 , , , , ,?,因而有 an= . 2 2 2 2 2 2 (3)注意 6=2×3,10=2×5,15=3×5, 规律还不明显, 再把各项的分子和分母都乘以 2, 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 n?n+1? 即 , , , , ,?,因而有 an= . 2 2 2 2 2 2 (4)把各项除以 7,得 1,11,111,?,再乘以 9,得 9,99,999,?. 7 n 因而有 an= (10 -1). 9 (5)观察数列递增速度较快,有点像成平方地递增,不妨用平方数列对照看一看,即 2, 2, 2, 2 2 1,2 3 4 5 ,?,则有 an=n -1. (6)显然各项的分子均为 1,其关键在于分母,而分母的规律不是很明显,注意到分母 组成的数列 1,3,7,13,21,?,递增速度也有点像平方数列,不妨从每一项对应减去平方数 列的项组成数列 0,1,2,3,4,?,其规律也就明显了. 1 故 an= 2 . n -n+1 二、数列的单调性及最值
3

方法链接: 数列是一种特殊的函数, 因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单 调性. ?10?n * 例 2 在数列{an}中,an=(n+1)? ? (n∈N ). ?11? 试问数列{an}的最大项是第几项? ?10?n * 解 方法一 ∵an=(n+1)? ? (n∈N ), ?11? ?10?n+1 ?10?n ∴an+1-an=(n+2)? ? -(n+1)? ? ?11? ?11? ?10?n ?9-n?. =? ? · 11 ?11? 当 n≤8 时,an<an+1,{an}递增, 即 a1<a2<?<a8<a9. 当 n=9 时,a9=a10. 当 n≥10 时,an>an+1,{an}递减,即 a10>a11>a12>?. 10 10 又 a9=a10= 9 . 11 ∴数列{an}的最大项是第 9 项和第 10 项. 方法二 令

an ≥1 (n≥2), an-1

?10?n ?n+1?? ? ?11? 即 ≥1. 10?n-1 ? n? ? ?11? n+1 11 整理得 ≥ .解得 n≤10. n 10


an ≥1, an+1

?10?n ?n+1?? ? ?11? 即 ≥1. ?10?n+1 ?n+2?? ? ?11? n+1 10 整理得 ≥ ,解得 n≥9. n+2 11 所以从第 1 项到第 9 项递增,从第 10 项起递减. 因此数列{an}先递增,后递减. ∴a1<a2<?<a9, 10 10 a10>a11>a12>?,且 a9=a10= 9 . 11 ∴数列{an}中的最大项是第 9 项和第 10 项. 三、数列的周期性及运用 方法链接:通俗地讲,数列中的项按一定规律重复出现,这样的数列就应考虑是否具有 周期性, 其周期性往往隐藏于数列的递推公式中, 解周期数列问题的关键在于利用递推公式 算出前若干项或由递推公式发现规律,得出周期而获解. 例 3 已知数列{an}, a1=1, a2=3, an=an-1-an-2 (n≥3), 那么 a2 010 与 S2 009 依次是( ) A.1,3 B.3,1 C.-2,2 D.2,-2 解析 ∵an=an-1-an-2, ∴an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2. 由 an+1=-an-2,
4

∴an+3=-an. ∴an+6=-an+3=-(-an)=an. ∴{an}为周期数列,且周期 T=6. ∴a2 010=a6=-a3=a1-a2=-2. ∴a1+a2+a3+a4+a5+a6 =(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6) =0+0+0=0,且 2 010 是 6 的倍数, ∴S2 010=0. ∴S2 009=S2 010-a2 010=0-a2 010=0-(-2)=2. 答案 C 四、已知前 n 项和 Sn,求通项 an 方法链接:已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求 an,先由 n=1 时,a1=S1,求出 a1,再由 an=Sn-Sn-1 (n≥2)求出 an,最后验证 a1 与 an 能否统一,若能统一要统一成一个代数式,否 则分段表示. 例 4 已知下列各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. n+1 (1)Sn=(-1) n; n (2)Sn=3 -2. 解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n·(-n)-(-1)n·(n-1) n =(-1) ·(-2n+1). 由于 a1 也适合此等式, n * 因此 an=(-1) ·(-2n+1) (n∈N ). (2)当 n=1 时,a1=S1=1; n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·3 .
?1 ?n=1?, ? 所以 an=? n-1 ?2·3 ?n≥2?. ?

五、由递推公式求通项 an 方法链接:由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征,合理选择方法.需要理解 一点,对 an-an-1=n (n≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的 n≥2 恒成立的无数个式子, 正是因为这一点, 在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为 an, 就是解 题的关键所在.另外递推公式具有递推性,故由 a1 再加上递推公式可以递推到 an. 例 5 由下列数列{an}的递推公式求数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an-an-1=n (n≥2); an n-1 (2)a1=1, = (n≥2).

an-1

n

解 (1)由题意得,当 n≥2 时, an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,?,a3-a2=3, a2-a1=2. 将上述各式累加得, an-a1=n+(n-1)+?+3+2, n?n+1? 即 an=n+(n-1)+?+3+2+1= , 2 由于 a1 也适合此等式. n?n+1? 故 an= . 2 (2)由题意得,当 n≥2 时, an n-1 an-1 n-2 a3 2 a2 1 = , = ,?, = , = , an-1 n an-2 n-1 a2 3 a1 2

5

an 1 1 将上述各式累乘得, = ,即 an= . a1 n n
1 由于 a1 也适合此等式,故 an= .

n

六、数列在日常生活中的初步应用 方法链接: 数列知识在日常生活中有着广泛的应用. 构建递推关系是其中重要的方法之 一,利用递推方法解决实际问题常分为三个环节:(1)求初始值;(2)建立递推关系;(3)利 用递推关系分析解决问题.其中构建递推关系是关键. 例 6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎 迎”,如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有 1 个、5 个、13 个、25 个.如果按照同样的方式接 着摆下去,记第 n 个图需用 f(n)个“福娃迎迎”,那么 f(n+1)-f(n)=________;f(6) =________.

解析 ∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,?, ∴f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8, f(4)-f(3)=12,? ∴f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(6)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+[f(4)-f(3)]+[f(5)-f(4)]+[f(6) -f(5)] =1+4+8+12+16+20=61. 答案 4n 61

区突破 1.对数列的概念理解不准而致错 * 2 例 1 已知数列{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N ,an=n +λ n 恒成立,则实数 λ 的取值范围是________. λ 2 [错解] 因为 an=n +λ n 是关于 n 的二次函数,且 n≥1,所以- ≤1,解得 λ ≥- 2 2. * [点拨] 数列是以正整数 N (或它的有限子集{1,2,?,n})为定义域的函数,因此它的 图象只是一些孤立的点. λ 2 [正解 1] 因为 an=n +λ n,其图象的对称轴为 n=- ,由数列{an}是单调递增数列 2 λ 有- ≤1,得 λ ≥-2; 2

6

? λ ? λ 如图所示,当 2-?- ?>- -1,即 λ >-3 时,数列{an}也是单调递增的. 2 ? 2? 故 λ 的取值范围为{λ |λ ≥-2}∪{λ |λ >-3}={λ |λ >-3}. 即 λ >-3 为所求的范围. [正解 2] 因为数列{an}是单调递增数列, * 所以 an+1-an>0 (n∈N )恒成立. 2 * 又 an=n +λ n (n∈N ), 2 2 所以(n+1) +λ (n+1)-(n +λ n)>0 恒成立, 即 2n+1+λ >0. * 所以 λ >-(2n+1) (n∈N )恒成立. * 而 n∈N 时,-(2n+1)的最大值为-3(n=1 时), 所以 λ >-3 即为所求的范围.

2.对公式使用条件考虑不周而致错 n 例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +2n+1,求 an. n n-1 n-1 [错解] an=Sn-Sn-1=(3 +2n+1)-[3 +2(n-1)+1]=2·3 +2. ? ?n=1? ?a1 [点拨] 公式 an=? 是分段的,因为 n=1 时,Sn-1 无意义.在上 ?Sn-Sn-1 ?n≥2? ? 述解答中,应加上限制条件 n≥2,然后验证 n=1 时的值是否适合 n≥2 时的表达式. [正解] a1=S1=6; n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2. ? ?n=1? ?6 由于 a1 不适合此式,所以 an=? n-1 ?2·3 +2 ?n≥2?. ?

题多解 例 设{an}是首项为 1 的正项数列且(n+1)an+1-nan+an+1·an=0 (n∈N ),求 an. 分析 先求出相邻两项 an+1 与 an 的关系,再选择适当的方法求 an. 解 方法一 (累乘法) 2 2 由(n+1)an+1-nan+an+1an=0. 得(an+1+an)(nan+1-nan+an+1)=0. 由于 an+1+an>0, ∴(n+1)an+1-nan=0. ∴
2 2 *

an+1 n = . an n+1

7

∴an=a1· · ·?·

a2 a3 a1 a2

an an-1

1 2 3 n-1 1 =1× × × ×?× = . 2 3 4 n n 方法二 (换元法) 由已知得(n+1)an+1-nan=0, 设 bn=nan,则 bn+1-bn=0. ∴{bn}是常数列. 1 ∴bn=b1=1×a1=1,即 nan=1.∴an= .

n

题赏析 1. (2009·北京)已知数列{an}满足: a4n-3=1, a4n-1=0, a2n=an, n∈N , 则 a2 009=______, a2 014=______. 解析 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a1 007=a252×4-1=0. 答案 1 0 赏析 题目小而灵活,考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力. 2.(2009·湖北八市调研)由 1,3,5,?,2n-1,?构成数列{an},数列{bn}满足 b1=2, 当 n≥2 时,bn=abn-1,则 b6 的值是( ) A.9 B.17 C.33 D.65 解析 ∵bn=abn-1, ∴b2=ab1=a2=3, b3=ab2=a3=5,b4=ab3=a5=9, b5=ab4=a9=17,b6=ab5=a17=33. 答案 C 赏析 题目新颖别致,考查了对新情境题目的审题能力.
*

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