2015人教版高中数学必修一教案 1.3.1单调性与最大(小)值 (靳方圆)

课题:1.3.1 单调性与最大(小)值
(共 2 课时)
授课人:
课标分析:
本节课是学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数单调性的 概念是研究具体函数函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要 应用;在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有利于培养学生的抽象思维能 力,及分析问题和解决问题的能力。
学情分析:
在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未 明确给出有关函数增减性的定义。同时,高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且 思维逐步地从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严 密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他 们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看,他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量 的增大函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性,发挥好多 媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中注意加强.
教学目标:
1.知识与技能 (1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征; (2)能利用函数图象划分函数的单调区间,并能利用定义进行证明; (3)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
2.过程与方法 由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从图象获得"上升""下降"的整体认识. 利用函数对应的表格,用自然语言描述图象特征"上升""下降"最后运用数学符号将自然语言 的描述提升到形式化的定义,从而构造函数单调性的概念.
3.情感、态度与价格观 让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动,在掌握知识的过程中体会成 功的喜悦,以此激发求知欲望。领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。通过渗透数 形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。能够用函数的性质解决日常生活 中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数 的紧迫感,激发学生学习的积极性。
教学重点:
1) 理解增函数、减函数的形式化定义的形成; 2) 判断某些函数单调性的方法。 3) 函数的最大(小)值及其几何意义。
1

教学难点:领会函数单调性的实质,利用函数的单调性求函数的最大(小)值。
教学方法:
启发诱导,讲练结合。
教学时间:
教学过程:
本课时的教学过程是由“创设情境、引入新课”、“研究问题,生成知识”、“ 设置 例题,难点突破”、“知识整合,随堂训练”、“课后小结”、“作业布置”六个环节来体 现和达到教学目标。
课时一
一.创设情境、引入新课:
1.观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些
变化规律:
问:随 x 的增大,y 的值有什么变化?

y

y

y

1

-1

1

x

-1

1

-1

1

x

-1

1

-1

1

x

-1

图1

2.画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x

① 从左至右图象上升还是下降 ______?

②在区间 ____________ 上,随着 x 的增大,f(x)的值随着 _______.

f ?x? ? x2
①在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ .

2

② 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ .

(通过几何直观,引导学生关注图像所反映出的特征,体验自变量从

小到大变化时,函数值大小变化在图像上的表现。)

3.问:

对于一般函数,如果在区间(0,+∞)上有“图像上升”“随着

x 的增大,相应的 f(x)值也增大”的特点,那么应该如何刻画呢?

学生讨论并引出新课题.
二、研究问题,生成知识 一)函数单调性定义
在前面的基础上,让师生共同归纳:如何使用数学语言来准确描

述函数的单调性?在学生回答的基础上,给出增函数的概念,同时要

求学生讨论概念中的关键词和注意点。
1.增函数
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的

某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 ,当 x1< x2 时,都有 f( x1)<f( x2 ),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。

y
f (x)

y
f (x)

f (x1) f (x2 )

x1

x2 x

图3

f (x1 ) f (x2 )

x1

x2

x

图4

思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

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例:用单调性定义证明: (1)f(x)=2x+1 在 R 上为增函数. (2)f(x)=x2在(-∞,0)上为减函数. 注意:① 函数的单调性也叫函数的增减性;函数的单调性是在 定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
② 注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性;
二).单调性与单调区间
如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函 数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的 单调区间。
例:据下列函数图象,指出函数的单调增区间和单调减区间.
图5 注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集;
4

(2)几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上 升,则为增函数,图象下降则为减函数.
结论 1:一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的单调性,单调区间:
____________.
结论 2:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调性,单调
区间:____________.
三、设置例题,难点突破
典例一:证明函数的单调性 (AB)利用单调性的定义证明函数 f(x)=x12在(-∞,0)上是增函 数。 (A)证明:函数 f(x)=x2-1x在区间(0,+∞)上是增函数. (B)证明:函数 f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数. 知识总结:利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的 一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 即“取值——作差——变形——定号——下结论”这五个步骤. 典例二:利用解析式作出函数图象求单调区间
: (AB)画出下列函数的图象,并指出它们的单调区间
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(1)y=|x|-1; (2)y=|x2-1|. (A)画出函数(1)y=-x2+2|x|+3,(2)y=|-x2+2x+3|的图象,并 指出函数的单调区间.
典例三:函数和、增减差的性 (AB)已知 y=f(x)与 y=g(x)在区间 A 上均为增函数,判断下 列函数在区间 A 上的增减性. (1)y=-2f(x) (2)y=f(x)+g(x) 知识总结:通过定义可以证明以下结论
增函数+增函数为增函数 减函数+减函数为减函数 增函数-减函数增增函数 减函数-增函数为减函数
典例四:利用单调性求参数的取值范围 (AB)已知 f(x)=x2+2(1-a)x+2 在(-∞,4]上是减函数,求实 数 a 的取值范围. 典例五:函数单调性的综合应用 AB)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x), 求 x 的取值范围. 知识总结: 1、判断函数单调性
1)、从图象上直观判断 2)、根据定义判定 2、熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y=kx+b (k≠0),当 k>0 时单调递增,当 k<0 时
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单调递减. (2)二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0),当 a>0 时,在???-∞,-2ba???
上单调递减,在???-2ba,+∞???上单调递增,a<0 时相反. (3)y=kx(k≠0),当 k>0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调
递减.当 k<0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增. (4)若 f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则①在定义
域的交集(非空)上,f(x)+g(x)单调递增,f(x)-h(x)单调递增.②
. -f(x)单调递减,③ 1 单调递减(f(x)≠0) f?x?
(5)对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x),证明单调性时, 也可以作商f?x1? 与 1 比较.
f?x2?
课时二 一.创设情境、引入新课: 画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题:

1(、1)说f出(xy)=f?(x)?的2单x ?调3区间,以及(2在)f各(单x)调?区?间x2上?的2单x调?性1 ;
2 、 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特

征?

y

二、研究问题,生成知识

一)、最大(o 小)值

x

y2

-1

o

x

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(最大值:)一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实 数 M 满足:
(1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M.
那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值 。 (最小值:)一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实 数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值 。 注意:1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈ I,使得 f(x0) = M;
2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M).
说明: (1)求函数最值应注意的问题 求函数的最大(小)值时,通常要先确定函数的单调性,同时要注 意函数的定义域. (2)函数的值域与最大(小)值的区别 ①函数的值域是一个集合,函数的最值属于这个集合.即 M 首先 是一个函数值,它是值域的一个元素. ②函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值.
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例:(课本 P31 例 3)
说明:对于实际问题,应注意变量的取值情况要联系实际,抓住
这一隐含条件,有时是解题的关键。
三、设置例题,难点突破
典例一:利用图象求函数的最值 (AB)如图为函数 y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的最大
值、最小值.

小值.

?x2, -1≤x≤1

(A)已知函数 f(x)=??1x, x>1.

求 f(x)的最大值、最

典例二:利用单调性求函数最值 (AB)求下列函数的最小值:
(1)f(x)=x2-2xx+2???0<x≤14???; (2)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1]. (A)已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
典例三:应用题中的最值问题
(AB)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每 生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:

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R(x)=???400x-12x2, 0≤x≤400, ??80 000, x>400.

其中 x 是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数 f(x);

(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总

收益=总成本+利润)

知识总结:利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法

1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ;

2.利用图象求函数的最大(小)值;

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)

在 x=a 处有最小值 f(a),在 x=b 处有最大值 f(b) ;

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,

c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

四、课堂练习
1、写出下列函数的单调区间. (1)y=|x|+1________________. (2)y=-x2+ax________________. (3)y=|2x-1|________________. (4)y=-x+1 2________________. 2、函数 y=ax+1(a>0)在区间[1,3]的最大值为 4,则 a= ________. 3、在已知函数 f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减,在[-2,+∞) 上递增,则 f(x)在[1,2]上的值域____________.

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7.若函数 y=-2x2+mx-3 在[-1,+∞)上为减函数,则 m 的 取值范围是________.
8.作出函数 f(x)=|x-3|+ x2+6x+9的图象,并指出其单调 区间.
9.写出函数 y=x+1 1的单调区间. 10. 已知函数 f(x)=xx+-21,x∈[3,5]. (1)判断函数 f(x)的单调性并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值.
五、课后小结:
1、函数的最大(小)值及其几何意义. 2、利用函数的单调性求函数的最大(小)值.
六、作业布置:
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