集合的概念_图文

一 集合
?集合
?子集、全集、补集 ?含绝对值的不等式解法

1.1 集合
定义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

例:“太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋”组成一
个集合。 集合表示方法:

大括号表示:{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
大写拉丁字母表示:A={太平洋,大西洋,

印度洋,北冰洋}

常用的数集及其记法
非负整数集(或自然数集):全体非负整数 的集合,记作N; ? 正整数集:非负整数集内排除0的集,记作N* 或N+; ? 整数集:全体整数的集合,记作Z;
? ?

有理数集:全体有理数的集合,记作Q; 实数集:全体实数的集合,记作R.

?

元素:集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 元素表示方法:小写拉丁字母
若a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作
a∈A

若a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作 a?A
集合中的元素必须是确定的。这就是说,给定一 个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也 就确定了。

集合的表示方法:
列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法。

例:由方程x2-1=0的所有的解组成的集合,可以
表示为

{-1,1}
注:集合的元素有2个。

含有有限个元素的集合叫做有限集。

例:由所有大于0且小于10的奇数组成的集合,可
以表示为{1,3,5,7,9}

描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法。



不等式x-3>2的解集可以表示为
{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

注:集合{x|x-3>2}的元素有无限个。 含有无限个元素的集合叫做无限集。

空集:不含任何元素的集合,记作?
为了形象,常常用一条封闭曲线 的内部表示一个集合 。 A

练习:
1.用符号∈或?填空:
(1)若A={x|x2=x},则-1____A ? ;

(2)若B={x|x2+x-6=0},则3____B ? ;

? ; (3)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C ? (4)若D={x∈Z|-2<x<3},则1.5____D.
2. 把下列集合有另一种方法表示出来: (1){1,5} (2){x∈N|3<x<7}

1.2 子集,全集,补集
1.子集
子集:对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个 元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集 合B,或集合B包含集合A,记作 A? B(或B?A)
B
A

当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时, 则记作 A?B(或B A)

?

空集是任何集合的子集。也就是说,对于任何一个 集合,有??A 真子集:对于两个集合A和B,如果A?B,并且A?B, 就说集合A是集合B的真子集,记作

A 刭B(或B A)

B

A

空集是任何非空集合的真子集。
对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么A?C 对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么A?C
C B A

集合相等:对于两个集合A和B,如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素,我们就说集合等于集合, 记作A=B

(1)对于任何一个集合A,因为它的任何一个 元素都属于集合A本身,所以 A ? A ,也就是 说,任何一个集合是它本身的子集。 (2)对于集合A,B,如果A? B,同时B?A , 那么 A=B 例:写出集合{a,b}的所有子集,并指出其中哪 些是它的真子集。 解: 集合{a,b}的所有的子集是? ,{a},{b}, {a,b},其中?,{a},{b}是{a,b}的真子集

练习:
用适当的符号(?,?,=,?,?)填空:

? (1)d____{a,b,c} ; ? (2){a}____{a,b,c} ;
(3){a,b}____{b,a} ; =

? (4){3,5}____{1,3,5,7}; ? (5){2,4,6,8}____{2,8} ;
(6)?____{1,2,3} ?

2 全集与补集
补集(或余集):一般地,设S 是一个集合,A是S的一个子集, 由S中所有不属于A的元素组成的 集合,叫做S中子集A的补集(或 余集),记作 ? ,即 S A

S

?S A ? {x | x ? S , 且x ? A}

由图中的阴影部分表示A 在S中的补集 ?S A

?S A

A

全集:如果集合含有所要研究的各个集合的全部元 素,这个集合就可以看作一个全集,全集用U表示

练习:
1.填空:
? U Q 痧 ( U
U

Q)

如果S={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3, 4,5,6},那么 =______ ?S A , =______. ?S B
2.填空: (1)如果全集U=Z,那么N的补集? =______; UN (2)如果全集U=R,那么? 的补集 痧 U UQ =______.

?

U

Q?

1.4 含绝对值的不等式解法
先看含绝对值的方程 |x|=2
-2 0 2

在数轴上表示如图:
方程的解是:

x=2或x=-2
再看相应不等式 |x|〈2与|x|〉2 在数轴上表示如图:
-2 0 2

不等式|x|〈2的解集是:

{x|-2<x<2}

不等式|x|〉2在数轴上表示如下:
-2 0 2

不等式|x|〉2的解集是:{x|x<-2}?{x|x>2} ={x|x<-2,或x>2} ? 不等式|x|<a(a>0)的解集是 {x|-a<x<a}

? 不等式|x|>a(a>0)的解集是
{x|x>a,或x<-a}

例 解不等式|x-500|≤5
解:由原不等式可得 -5≤x-500≤5

各加上500,得
495≤x≤505

495

500

505

所以,原不等式的解集是
{x|495
≤x ≤

505}

练习:
解下列不等式: (1)|x|<5; (2) 2|x|≤8;

(3)|3x|<12;
(5)|x-2/3|<1/3;

(4) |x+4|>9;
(6)|x/2+1|≥2.

Answer: (1){x|-5<x<5} (3){x|-4<x<4}

(5){x|1/3<x<1}

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