点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法

已知点 P(x0 , y0 ) 直线 l : Ax ? By ? C ? 0(A ? 0, B ? 0) 求点 P 到直线 l 的距离。(因为特殊直线很容易求距离,
这里只讨论一般直线)

一、 定义法

证:根据定义,点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长,如图 1,

设点 P 到直线 l 的垂线为 l' ,垂足为 Q,由 l' ? l 可知 l' 的斜率为 B A

?l'

的方程:

y

?

y0

?

B A

(x

?

x0 ) 与 l

联立方程组

解得交点

Q(

B2 x0

? ABy0 ? A2 ? B2

AC

,

A2

y0

? ABx0 ? A2 ? B2

BC

)

yP l Q l' x
图1

|

PQ

|2 ?

(

B2 x0

? ABy0 ? A2 ? B2

AC

?

x0 )2

?

(

A2 y0

? ABx0 ? A2 ? B2

BC

?

y0 )2

?

(

?

A2

x0 ? A2

ABy0 ? B2

?

AC

)2

?

(

?B2

y0 ? A2

ABx0 ? B2

?

BC

)2

? PQ |? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

?

A2 ( Ax0 ? By0 ? C)2 ( A2 ? B2 )2

?

B2 ( Ax0 ? By0 ? C)2 ( A2 ? B2 )2

?

( Ax0 ? By0 ? C)2 A2 ? B2

二、 函数法

证:点 P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点 P 到直线 l 的距离。在 l 上取任意点 Q(x, y) 用

两点的距离公式有,为了利用条件 Ax ? By ? C ? 0 上式变形一下,配凑系数处理得:

( A2 ? B2 )[(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ] ? A2 (x ? x0 )2 ? B2 ( y ? y0 )2 ? A2 ( y ? y0 )2 ? B2 (x ? x0 )2 ? [ A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 )]2 ? [ A( y ? y0 ) ? B(x ? x0 )]2 ? [ A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 )]2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 ( Ax ? By ? C ? 0)

(x ?

x0 )2

?(y

?

y0 )2

?

|

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

|

当且仅当 A( y ? y0 ) ? B(x ? x0)时取等号所以最小值就是 d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2
三、不等式法

证:点 P 到直线 l 上任意一点 Q (x, y) 的距离的最小值就是点 P 到直线 l 的距离。由柯西不等式:

( A2 ? B2 )[(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ] ? [ A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 )]2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2

Ax ? By ? C ? 0,?

(x ? x0 )2

? (y ?

y0 )2

?

|

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

|

当且仅当 A( y ? y0 ) ? B(x ? x0)时取等号所以最小值就是 d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

四、转化法

证:设直线 l 的倾斜角为 ? 过点 P 作 PM∥ y 轴交 l 于 M

(x1, y1)

显然

x1 ? x0

所以

y1

?

?

A

0 ?x b

yP CM

l Q
x

ly P
QM x

?|

P

M

?|

|

y0 ?

A

x0 ? B

C?|

| A0x? B0?y B

C|

图2

图3

易得∠MPQ= ? (图 2)或∠MPQ=1800 ?? (图 3)

在两种情况下都有 tan2 ?MPQ ? tan2 ? ? A2 所以 cos ?MPQ ? B2

1

?

1? tan2 ?

| PQ |?| PM | cos ?MPQ ?| Ax0 ? By0 ? C | B
五、三角形法

| B | ? | Ax0 ? By0 ? C |

A2 ? B2

A2 ? B2

证:P 作 PM∥ y 轴交 l 于 M,过点 P 作 PN∥ x 轴交 l 于 N(图 4)

由解法三知| PM |?| Ax0 ? By0 ? C | ;同理得 | PN |?| Ax0 ? By0 ? C |

B

A

在 Rt△MPN 中,PQ 是斜边上的高

?| PQ |? | PM | ? | PN | ? | Ax0 ? By0 ? C |

| PM |2 ? | PN |2

A2 ? B2

六、参数方程法

|B| A2 ? B2

yP
M
l

N
Q
x

图4

证:过点 P(x0 ,

y0 ) 作直线

l'

?x ?

:

? ?

y

?

x0 ? t cos? y0 ? t sin?

交直线 l 于点 Q。(如图

1)

由直线参数方程的几何意义知| t |?| PQ | ,将 l' 代入 l 得 Ax0 ? At cos? ? By0 ? Bt sin? ? C ? 0

整理后得 | t |?| Ax0 ? By0 ? C | ...........(1) ?Acos? ? B sin?

当 l' ? l 时,我们讨论 ? 与 l 的倾斜角? 的关系:

当 ? 为锐角时 ( tan? ? ? A ? 0,不妨令A>0,B<0 )有? ? 900 ?? (图 2) B

cos? ? ? sin? ? ? tan? ? ? B ? ? A

1? tan2 ?

A2 ? B2

A2 ? B2

sin? ? cos? ?

1

? ? | B | ? ?B

1? tan2 ?

A2 ? B2

A2 ? B2

当 ? 为钝角时 ( tan? ? ? A ? 0,不妨令A>0,B>0 )有? ? ? ? 900 (图 3) B
得到的结果和上述形式相同,将此结果代入①得

| t |? |

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

? | Ax0 ? By0 ? C |

|

A2 ? B2

A2 ? B2 A2 ? B2

七、向量法

yP

Q

n
x l

证 : 如 图 五 , 设 直 线 l : A x? B y? C?0 ( A? 0 , B? 0的) 一 个 法 向 量

图五

n

?

(1,

B) A

,Q

直线上任意一点,则

PQ

?

(x1

?

x0

,

y1

?

y0

)

。从而点

P

到直

线的距离为:

d

?

|

n?

PQ

|

?

|

x1

?

x0

?

B A

( y1

?

y0 )

|

?

|

A( x1

?

x0 )

?

B( y1

?

y0 )

|

|n|

1?

B2 A2

A2 ? B2

P点在直线l上,?

Ax1

?

By1

?C

?

0, 从而d

?

|

Ax1

?

By1 ? Ax0 A2 ? B2

?

By0

|

?

|

Ax0

? By0 ? C A2 ? B2

|

附:

方案一:

设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ

知,直线 PQ 的斜率为 B (A≠0),根据点斜式写出直 A
方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标;由此根据

公式求出|PQ|,得到点

P

到直线

l

的距离为

d 新疆 王新敞

学案

方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都

y

R

d

P( x0,y0)

Q

o

S

x l

⊥l 可 线 PQ 的
两点距离
相交,过

点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R(x1, y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S (x0 , y2 ) ,



? ? ?

A1 x1 Ax0

? By0 ? By2

?C ?C

?0 ?0



x1

?

?

By0 ? C A

, y2

?

?

Ax0 ? C B

.

所以,|PR|=| x0

? x1 |=

Ax0

? By0 A

?C

|PS|=| y0

?

y2 |=

Ax0

?

By0 B

?C

|RS|= PR2 ? PS 2 ?

A2 ? B2 AB

×| Ax0

? By0

?C

|由三角形面积公式可知: d

·|

RS|=|PR|·|PS| 新疆 王新敞 学案

所以 d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2
可证明,当 A=0 时仍适用新疆 王新敞 学案


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