一般形式的柯西不等式教案 人教课标版(精美教案)

课 题:§一般形式的柯西不等式

教学目标:认识一般形式的柯西不等式,会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式,并 应用其解决一些不等式的问题..
教学重点:会证明一般形式的柯西不等式,并能应用. 教学难点:理解证明中的函数思想. 教学过程: 一、复习引入:
. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义?

答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ; x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 思考:如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维?四维呢?

答案:(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ;(a2 ? b2 ? c2 )(d 2 ? e2 ? f 2 ) ? (ad ? be ? cf )2 。。。。。。

二、讲授新课:

. 一般形式的柯西不等式:

① 提问:由平面向量的柯西不等式| ? ? ? |?| ? || ? | ,如何得到空间向量的三维形式的柯西

不等式及代数形式?

② 猜想:维向量的坐标?维向量的柯西不等式及代数形式?

结论:设 a1, a2 , , an ,b1,b2 , ,bn ? R ,则 (a12 ? a22 ? ? an2 )(b12 ? b22 ? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ?
讨论:什么时候取等号?

? anbn )2

联 想 : 设 B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn , A ? a12 ? a22 ? an2 , C ? b12 ? b22 ?
B2 ? AC ? 0 ,可联想到一些什么? ③ 讨论:如何构造二次函数证明维形式的柯西不等式?(注意分类)

? bn2 , 则 有

要点:令 (f x)?(a12 ? a22 ? ??? ? an2 )x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn )x ?(b12 ? b22 ? ??? ? bn2 ) f (x) ?( a1x ? b1) 2 ?( a2 x ? b2) 2 ? ???+(an x ? b)n 2 0? .
又 a12 ? a22 ? ? ? ? ? an2 ? 0 ,从而结合二次函数的图像可知,
? ? ? ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ) 2 ? 4(a12 ? a22 ? an2 ) ? (b12 ? b22 ? ? bn2 ) ≤
即有要证明的结论成立. ④分析什么时候等号成立?

,则

二次函数 (f x)有唯一零点时,判别式 ? ? 0 ,这时不等式取等号;

? ? 0 ? ai x ? bi ? 0 ? bi ? 0 或 ai ? kbi ( i ? 1, 2, , n ) 定理:(一般形式的柯西不等式):设 n 为大于的自然数, ai , bi ( i ? ,,…, n )为任意

n

n

n

? ? ? 实数,则: ai 2 bi 2 ? ( aibi )2 ,当且仅当 bi ? 0 ( i ? ,,…, n )或存在一个数 k ,

i ?1

i ?1

i ?1

使得 ai ? kbi ( i ? 1, 2, , n )时等号成立。

⑤探究:一般形式的三角不等式是怎样的?(可以让学生课后去探究)

利用一般形式的柯西不等式,容易推导出一般形式的三角不等式:

x12 ? x22 ? ? xn2 ? y12 ? y22 ? ? yn2 ≥ (x1 ? y1)2 ? (x2 ? y2 )2 ? ? ?(xn ? yn )2 (xi , yi ? R,i ? 1, 2, , n)

具体证法为:展开 ( x12 ? x22 ? ? xn2 ? y12 ? y22 ? ? yn2 )2 ,然后由柯西不等式推出展开式
中的,进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程,以加强其对一般形式柯西不

等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。

⑤ 变式: a12 ? a22 ?

an2

?

1 n

(a1

?

a2

?

???

?

an )2

.

. 柯西不等式的应用:

(讨论如何证明)

? ? ①例、已知 a1 , a2 ,…, an 为实数,求证:

n i ?1

ai 2

?

1n (
n i?1

ai )2 。

分析:不等式的形式与一般的柯西不等式很接近,但必须经过适当变形才能看出两者是

完全一致的。因此,如何适当变形是解决本题的关键。

推论:在

n

个实数

a1



a

2

,…,

a

n

的和为定值为时,它们的平方和不小于

1 n

S

2

,当且

仅当 a1

?

a2

???

an 时,平方和取最小值

1 n

S2。

②例、已知 a,b, c, d 是不全相等的正数,证明: a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

方法一:轮换对称式,可以利用柯西不等式进行证明,注意为什么等号不能成立?

方法二:利用基本不等式

③例、已知 3x ? 2y ? z ?1,求 x2 ? y2 ? z2 的最小值. 分析:如何变形后构造柯西不等式? → 板演 → 变式:

④练习:若

x,

y,

z

? R?

,且

1 x

?

1 y

?

1 z

? 1,求

x

?

y 2

?

z 3

的最小值.

⑤例、若 a > b > c ,求证: 1 ? 1 ? 4 . a?b b?c a?c

思路: (a ? c)( 1 ? 1 ) ? [(a ? b) ? (b ? c)]( 1 ? 1 ) ? (1?1)2 ? 4

a?b b?c

a?b b?c

三、课堂练习:

n
? 、设,,…,>, 则 i ?1

n

xi

? xi
? i?1

1? xi n ?1

、设,,为正实数,且,求 4 ? 1 ? 9 的最小值。 xyz

、设,,?,求 2x ? y ? z 的最大值。 x2 ?2y2 ?z2

、求证 n(n ? 3) 个正实数,,…,满足

(a12 ? a22 ??? an2 )2 ? (n ?1)(a14 ? a24 ??? an4 )

、设 x, y, z ? R? ,

x2
:

?

y2

?

z2

?1。

y 2 ? z 2 ? yz z 2 ? x2 ? zx x2 ? y 2 ? xy

四、课堂小结:

柯西不等式的一般形式及应用;等号成立的条件;根据结构特点构造证明. 五、课后作业:课本 —

天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。 良言一句三冬暖,恶语伤人六月寒,下面是板报网为大家分享的有关激励人的名言,激励人心的句子,希望能够在大家的生活学习工作中起到鼓 励的作用。不要心存侥幸,避免贪婪的心作怪,这会令你思考发生短路。如果你不是步步踏实,学习确是件困难的事,但不怕不会,就怕不学,有谁生下来就是文学家,任何一件事情都要经历一 个过程,学习同样如此,在学习的过程中,暴露出的问题也会越来越多,但如果不经历这样的磨练,学习就失去了意义。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 我长大有写东西我们无能为力于是最后躲避最后的最后面对也只能面对,因为我们要活着。活着就不能被打败。这个季节梧桐大片大片的飘落花渐渐的凋零,没有声音。好象在编织着一个诱人的 梦。也许是金榜题名的美梦啊,前事不忘,后事之师。


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