2019年河北省名校名师俱乐部高三模拟考试数学(文)试题及答案

高考数学精品复习资料
2019.5

20xx 河北省名校名师俱乐部高三模拟考试 数学试卷(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.已知集合 A= {x | x 2 ? 4 ? 0} ,集合 B={-3,-2,0,1,3},则(CRA)∩B 等于 A.{-2,0,1} B.{-3,3} C.{0,1} D.{-2,0,1,3}

1+z 2.已知复数 z 满足 =1-z, 则 z 的虚部为 i A.-1 B.- i C.1 D. i

3.根据某市环境保护局公布 20xx~20xx 这六年的空气质量优良的天数,绘制成折线图如图,根据 图中的信息可知,这六年的每年空气质量优良天数的 中位数是

A. 300 4.已知 A. 3 2 6

B. 302.5

C. 305

D.

310

?
2
2 3

? ? ? ? , 3sin2?=2cos?, 则 cos(?-?)等于
B. 6 4 C. 2 2 3 D.

?y≤x ? 5.已知 x, y 满足不等式组?x+y≥2,则 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的比值为 ?x≤2 ?
1 A. 2 B.2 3 C. 2 4 D. 3

6. 一个球的球心到过球面上 A、B、C 三点的平面的距离等于球半径的一半,若 AB=BC=CA=3,则球的体积为

A.8?

B.

43? 4

C.12?

32? D. 3

7.在区间[1,5]上任取一个数m,则函数 y ? x2 ? 4x ? 2(0 ? x ? m)
的值域为[-6,-2]的概率是 3 A. 4 1 C. 2 3 B. 8 1 D. 3

8.某程序框图如右图所示,若输出的 S=57,则判断框内填 A. k>4? B. k>5? C. k>6? D. k>6?

9. 一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位:㎝),该组合体的体积为 A. 42 ㎝
3

B. 48 ㎝ 3 C. 56 ㎝ 3 D. 44 ㎝ 10. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 f ( x) ? f ( ) 对

3

?

6

x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增 2
区间是 A. [k? ? C. [ k? ?

?

?
?
6

,k? ?

, k ? ? ]( k ? Z ) D. [k? ? , k ? ](k ? Z ) 3 6 2 2 2 x y 11.已知点 F 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴 a b
的直线与双曲线交于 A,B 两点,?ABE 是直角三角形,则该双曲线的离心率是 A.3 B.2 C. 2 D. 3 12.函数 y ? ln(e ? x ? a ? 5)(e 为自然对数的底数)的值域是实数集 R,则实数 a 的取值范围是
x 2

?

2? ](k ? Z ) 3

B. [k? , k ? ?

?
2

](k ? Z )

?

A.[-2, 1]
→ →

B.[-1, 2]
→ → →

C.[-2,2]

D.(-2,3]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
13.已知向量 a =(1, n), b =(-1, n), 若 2 a - b 与 b 垂直,则正数 n= 14.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1, S6 ? 4S3 , 则 a3 ? __________. 15.设抛物线 x ? 8 y 的焦点为 F,准线为 l , P 为抛物线上一点,PA⊥ l ,A 为垂足,如果直线 AF 的
2

倾斜角等于 60°,那么|PF|=__________. 16 . 在 斜 三 角 形 ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若

tan C tan C ? ?1 ,则 tan A tan B

a 2 ? b2 = c2

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a3a6 ? ?8, a4 ? 2, a2 ? 0 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ( 2)
an

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 某中学高三(10)班有女同学 51 名,男同学 17 名, “五四”期间该班班主任按分层抽样的分法 组建了一个由 4 名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组. (Ⅰ)演讲比赛中,该小组决定先选出两名同学演讲,选取方法是:先从小组里选出 1 名演讲, 该同学演讲完后,再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲,求选中的两名同学恰有一名女同学 的概率; (Ⅱ)演讲结束后,5 位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是:69、71、72、73、75 分,给出 第二个 演讲同学的成绩分别是:70、71、71、73、75 分,请问哪位同学的演讲成绩更稳定,并说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥面 ABC, AC⊥BC, E 分别在线段 B1C1 上, B1E=3EC1, AC=BC=CC1=4. (Ⅰ)求证:BC⊥AC1; (Ⅱ)试探究:在 AC 上是否存在点 F,满足 EF∥平面 A1ABB1,若存在,请指出点 F 的位置, 并给出点 F 的位置,并给出证明;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? lnx (I)若 f ( x ) 无极值点,但其导函数 f ?( x ) 有零点,求 a 的值; 3 (Ⅱ) 若 f ( x ) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f ( x ) 的极小值小于- . 2

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知圆 C 的圆心 C(m, 0), m<3,半径为 5,圆 C 与椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有一个 a b
公共点 A(3,1) ,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(4, 4) ,试探求斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直线 PF1 的方程,若不能,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线, 分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. 求证: (Ⅰ)AD∥EC; (Ⅱ) 若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标和参数方程 在直角坐标系中, 以原点 O 为极点, 建立极坐标系.设曲线 C: x 轴的正半轴为极轴, ? (?为参数),直线 l : ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

? x ? 3 cos ? ? ? ? y ? sin ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知 a, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,求证: (Ⅰ)

1 1 ? ?8; a 2 b2 1 1 1 ? ? ? 8. a b ab

(Ⅱ)

数学试卷参考答案(文科)
1.A ∵A={x|x<-2 或 x>2},∴( RA)∩B={-2,0,1}. 2.C 由已知得 1+z=(1-z)i=i-iz,则 z= 1+i =

-1+i (-1+i)(1-i) 2 =i,故选 C. 300+305 2 =302.5.

3.B 该组数据为 290、295、300、305、305、315 共六个数据,所以其中位数为 4.C 由 3sin 2α =2cos α 得 sin α =3.因为 2 <α<π , 故 cos(α-π )=-cos α =)2=3.

1

π

1

2

5.B 约束条件对应的区域如图所示.当直线 z=2x+y 过点 A(2,2)时,z 取得最大值 6,当直线 z=2x+y 经过 B(1,1)时,z 取得最小值 3,故最大值与最小值的比值为 2,选 B. 6.D 设球心为 O,过 O 做 OM⊥平面 ABC,垂足是 M, MA=,可得球半径是 2,体积是 3 π .

32

7.C 当 x=2 时,y=-6;当 x=0 或 4 时,y=-2.即 m∈[2,4]时,函数 y=x -4x-2(0≤x≤m)值域为[-6, -2],则所求概率为 P=5-1=2. 8.A k=2,S=4;k=3,S=11;k=4,S=26;k=5,S=57,输出结果,判断框内填“k>4?”. 9.D 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为 6、4、1 的长方体 积为2×4×5、高为 2 的三棱柱组合而成,其体积 V=1×4×6+2×4×5×2=44 10.C 由 f(x)≤|f( 6 )|?f( 6 )=± 1?sin(φ+ 3 )=± 1, (1) 又由 f( 2 )<f(π )?sin(π +φ)<sin (2π +φ)?2sin φ >0, (2) 因为 φ∈(0,2π ),由(1)(2)可得 φ= 6 ,所以 f(x)=sin(2x+ 6 ),于是可求得增区间为 C. 11.B 因为 AB⊥x 轴,又已知△ABE 是直角三角形,且显然 AE=BE,所以△ABE 是等腰直角三角形.所以∠ AEB=90°.所以∠AEF=45°.所以 AF=EF.易知点 A(-c, a )(不妨设点 A 在 x 轴上方),故 a =a+c.即 b =a(a+c),
2

2

4-2 1

和一个底面 (cm3).

1

1

π

π

π

π

π

π

b2

b2

得 c -ac-2a =0,即 e -e-2=0,解得 e=2,或 e=-1(舍去).故选 B. 12.C 欲使值域为 R,则只需使 t=e -x+a -5 能取遍所有正数即可,即 t 的最小值小于等于 0 即可.t′=e -1, t′>0 解得 x>0,t′<0 解得 x<0,所以函数 t=e -x+a -5 在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,所以 当 x=0 时,t 有最小值 a -4.由题意得 a -4≤0,解得 a∈[-2,2]. 13. ∵2a-b=(3,n),2a-b 与 b 垂直,∴n -3=0?n=. 14.4或 1 由题可知 6a3=2a2+4a4,∴6a1q =2a1q+4a1q ,
2 3 2 2 2

2

2

2

x

2

x

x

2

1

∵a1=1,∴q=2或 1,∴a3=1 或 a3=4. 15.3 在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60°=4,∴|AF|=3,又∠PAF=∠PFA=30°,过 P 作 PB⊥AF 于 B, 则|PF|=cos 30°=cos 30°=3. 16 . 3 tan A + tan B = tan C( sin A + sin B ) = tan C · sin A·sin B = cos C·sin A·sin B =

1

1

8

8

|BF|

|AF|

8

tan C

tan C

cos A

cos B

sin(A+B)

sin2C

a2+b2-c2 2c2 a2+b2 ·ab =a2+b2-c2=1,变形得 c2 =3.
17.解:(1)∵{an}为等差数列,设公差为 d, 由题意得(a4-d)(a4+2d)=(2-d)(2+2d)=-8,解得 d=-2 或 d=3. 若 d=3,则 a2=a4-2d=2-6=-4<0(舍去); 若 d=-2,则 a2=a4-2d=2+4=6>0, ∴d=-2,∴an=2-2(n-4)=10-2n.(6 分) (2)由(1)知 bn=()an=(2)

1 n-5



∴Sn=2=32[1-(2) ].(12 分)

1

1n

18.解:(1)由题意知:P=68=17. 设演讲比赛小组中有 x 名男同学,则68=4,∴x=1,∴演讲小组中男同学有 1 人,女同学有 3 人. 把 3 名女生和 1 名男生分别记为 a1,a2,a3,b,则选取两名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1), (a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共 12 种. 其中恰有一名女同学的情况有 6 种,所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为 P=12=2.(7 分) (2)-1=5×(69+71+72+73+75)=72,

4

1

17 x

6

1

x

1

x 1 -2=5×(70+71+71+73+75)=72,
s1=5×[(69-72)2+(71-72)2+(72-72)2+(73-72)2+(75-72)2]=4, s2=5×[(70-72)2+(71-72)2+(71-72)2+(73-72)2+(75-72)2]=3.2.
因此第二个演讲的同学成绩更稳定.(12 分) 19.解:(1) ∵AA1⊥面 ABC, BC?面 ABC, ∴BC⊥AA1.(1 分) 又∵BC⊥AC,AA1,AC?面 AA1C1C,AA1∩AC=A,∴BC⊥面 AA1C1C,(3 分) 又 AC1?面 AA1C1C,∴BC⊥AC1.(4 分) (2)(法一)当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1.(7 分) 理由如下:在平面 A1B1C1 内过 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于 G,连结 AG. ∵B1E=3EC1,∴EG=4A1C1, 又 AF∥A1C1 且 AF=4A1C1, ∴AF∥EG 且 AF=EG, ∴四边形 AFEG 为平行四边形,∴EF∥AG,(10 分) 又 EF?面 A1ABB1,AG?面 A1ABB1,∴EF∥平面 A1ABB1.(12 分) (法二)当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1.(9 分) 理由如下: 在平面 BCC1B1 内过 E 作 EG∥BB1 交 BC 于 G,连结 FG. ∵EG∥BB1,EG?面 A1ABB1,BB1?面 A1ABB1, ∴EG∥平面 A1ABB1.∵B1E=3EC1,∴BG=3GC, ∴FG∥AB,又 AB?面 A1ABB1,FG?面 A1ABB1, ∴FG∥平面 A1ABB1. 又 EG?面 EFG,FG?面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 A1ABB1.(11 分) ∵EF?面 EFG,∴EF∥平面 A1ABB1.(12 分) 20.解:(1)由题意 x>0,f′(x)=2ax-2+x=

2 1 2 1

3

3

1 2ax2-2x+1 x .

f′(x)有零点而 f(x)无极值点,表明该零点左右 f′(x)同号,故 a≠0,且 2ax2-2x+1=0 的 Δ=0,由此可得 a=2.(4
分) (2)由题意,2ax -2x+1=0 有两不同的正根,故 Δ>0,a>0,解得:0<a<2.
2

1

1

设 2ax -2x+1=0 的两根为 x1,x2,不妨设 x1<x2,因为在区间(0,x1),(x2,+∞)上,f′(x)>0,而在区间(x1,x2) 上,f′(x)<0,故 x2 是 f(x)的极小值点. 因为在区间(x1,x2)上 f(x)是减函数, 如能证明 f( ×2a. 令2a=t,其中 t>1,设 g(t)=ln t-2t+2,利用导数容易证明 g(t)当 t>1 时单调递减,而 g(1)=0,因此 g(t)<0, 即 f(x)的极小值 f(x2)<-2.(12 分) 21.解:(1)由已知可设圆 C 的方程为(x-m) +y =5(m<3), 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得(3-m) +1=5, 即(3-m) =4,解得 m=1 或 m=5, ∵m<3,∴m=1. ∴圆 C 的方程为(x-1) +y =5.(4 分) (2)直线 PF1 能与圆 C 相切. 依题意设直线 PF1 的方程为 y=k(x-4)+4,即 kx-y-4k+4=0, 若直线 PF1 与圆 C 相切,则
2 2 2 2 2 2 2

2

x1+x2 3 3 x1+x2 1 1 1 1 1 1 3 2 )<-2,则更有 f(x2)<-2.由韦达定理, 2 =2a,f(2a)=a(2a)2-2(2a)+ln2a=ln2a-2

1

1

3

3

3

|k-0-4k+4| k2+1 =, 11 1

∴4k -24k+11=0,解得 k= 2 或 k=2, 当 k= 2 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为11,不合题意,舍去, 当 k=2时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, ∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0), ∴由椭圆的定义得:2a=|AF1|+|AF2|=+=5+=6, ∴a=3,即 a =18,∴b =a -c =2, 直线 PF1 能与圆 C 相切,直线 PF1 的方程为 x-2y+4=0,椭圆 E 的方程为18+ 2 =1.(12 分) 22.解:(1)连结 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.(4 分) (2)∵PA 是⊙O1 的切线,PD 是⊙O1 的割线,∴PA2=PB·PD. ∴62=PB·(PB+9),∴PB=3. 在⊙O2 中,由相交弦定理得 PA·PC=BP·PE. ∴PE=4,∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线,
2 2 2 2

11 1

36

x2 y2

∴AD2=BD·DE=9×16,∴AD=12.(10 分) 23.解:(1)将 C 转化为普通方程是 3 +y2=1, 将 l 转化为直角坐标方程是 x+y-4=0.(4 分) (2)在 3 +y2=1 上任取一点 A(cos α ,sin α ),则点 A 到直线 l 的距离为

x2

x2

d=

3cos α +sin α -4| |2sin(α +60°)-4| 2 = 2 ,它的最大值为 3.(10 分) a+b 1 1 1

24.证明:(1)∵ab≤( 2 )2=4,当且仅当 a=b=2时等号成立,∴ab≥4. ∵a2+b2≥ab≥8,当且仅当 a=b=2时等号成立,∴a2+b2≥8.(5 分) (2)∵a+b+ab=a+b +a+b =2(a+b)(a+b)=4+2(a+b)≥4+4b=8,当且仅当 a=b=2时等号成立, ∴a+b+ab≥8.(10 分)

1

1

2

1

1

1

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

b a

a

1

1 1


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