高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和素材新人教A版必修5

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等差数列前 n 项和公式的两个侧重
摘要:本文从在思想方法的角度给出了等差数列前 n 项和两个公式的侧重点。 关键词:等差数列 思想 前 n 项和公式 我们知道,教材就等差数列前 n 项和给出了两个公式:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式和为 S n ,公差 为 d , n ? N * ,则

Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d (公式一) 2 (a ? a ) S n ? 1 n n (公式二) 2
*

这两个公式在解决问题时如何使用,下面举例说明。以下 m, n, p, q ? N ,不再说明。 一 侧重于函数方程思想的公式一 1 方程思想: 所谓方程思想就是将题目条件运用前 n 项和公式,表示成关于首项 a1 和公差 d 的两个方程,通过解决 方程来解决问题。 例 1 已知{an}为等差数列,前 10 项的和 S10=100,前 100 项的和 S100=10,求前 110 项的和 S110. 剖析:方程的思想,将题目条件运用前 n 项和公式,表示成关于首项 a1 和公差 d 的两个方程. 解析:设{an}的首项为 a1,公差为 d,则

1 ? 10a1 ? ? 10 ? 9d ? 100, ? ? 2 ? ?100a ? 1 ? 100 ? 99d ? 10, 1 ? 2 ? 11 ? a1 ? ? , ? ? 50 解得 ? 1099 ?d ? . ? 100 ?
∴S110=110a1+

1 ×110×109d=-110. 2

拓展:观察结构特点,将公式一做如下变形: S n ? na1 ? 是会更方便。

S n(n ? 1) d d ? n ? a1 ? (n ? 1) ,在处理问题 2 n 2

例 2 如果等差数列 ?an ? 的前 4 项和是 2,前 9 项和是 ? 6 ,求其前 n 项和公式。

? S9 S 4 1 ? ? ?9 ? 4 ?d ? ?9 4 2 解:由变形公式得: ? ? S n ? S 4 ? 1 ?n ? 4 ?d ? 4 2 ?n
将 S 4 ? 2, S 9 ? ?9 代入 ?1?, ?2? 得: S n ? ?

?1? ?2 ?
7 2 43 n ? n 30 30
1

2

函数思想 将 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n ,当 d ? 0 ,数列 {an } 为常数列;当 d ? 0 ,则 Sn 是关于 2 2 2 d d n 的二次函数,若令 A ? , B ? a1 ? , 则 Sn ? An2 ? Bn 。此时可利用二次函数的知识解决。 2 2
例题 3 设等差数列 ?an ? 满足 3a8 ? 5a13 ,且 a1 ? 0 ,则 ?an ? 的前多少项的和最大?

2 ? a1 ? ( n ? 1)a1 ? 0 ? 2 ? 39 解析:思路一:由 3 a8=5a13 得:d= ? a1,若前 n 项和最大,则 ? , 39 ?a ? 2 na ? 0 1 1 ? 39 ?
39 41 ?n? ,∴n=20,即 ?an ? 的前 20 项和最大。这一做法为通法。 2 2 n(n ? 1) 1 1 d ? na1 ? n(n ? 1)a1 ? ? a1 (n 2 ? 40n) ,当且仅当 n ? 20 时 Sn n 最大。 思路二: S n ? na1 ? 2 39 39
又 a1>0 得: 点评:这一做法突显了数列的函数特征。 思路三: 由 3a8 ? 5a13 得 15a8 ? 25a13 ? 15 ?

a1 ? a15 a ?a ? 25 ? 1 25 ? S15 ? S25 ,又∵ a1 ? 0 , 2 2

∴ Sn 的图象是开口向下的抛物线上的点列,对称轴恰为 n ? 20 ,故 n ? 20 时 Sn 最大。 点评:这一做法中几乎没有运算,抓住了题目条件,结合数列的函数特性做处理,显得十分巧妙。 二 侧重于等差数列性质的公式二 1 侧重于性质:若 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? ap ? aq 。

有些涉及等差数列前 n 项和的题目,常与等差数列的上述性质融合在一起,将 a1 ? an 与其他条件进行转换。 例题 4 一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的和为 234,则 它的第七项等于( ) A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 解:设该数列有 项且首项为 ,末项为 ,公差为 ,则依题意有

? ?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 (1) ? ?an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? an ?4 ? 146 (2) ?a ? a ? 1 n ? n ? 234 (3) ? 2
结合上述性质可得 代入(3)有 从而有 故选 D 作为一个整体,问题即可迎刃而解。在求 时,巧用等差中

点评:依题意能列出 3 个方程,若将

2

项的性质也值得关注。知识的灵活应用,来源于对知识系统的深刻理解。 2 侧重于等差中项 利 用 等 差 中 项 , 可 以 实 施 等 差 数 列 前 n 项 和 Sn 与 其 通 项 an 的 转 换 :

an ?

a1 ? a2 n ?1 ? S2 n ?1 ? (2n ? 1)an 2

例题 5 在等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 中,它们的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

S n 2n ? 1 a ,则 7 的值是多少? ? Tn 3n ? 2 b7

分析:利用等差中项建立起等差数列前 n 项和与其通项的联系是解决本题的关键。

a1 ? a13 a1 ? a13 ?13 S a7 2 ? 7 ? 1 13 2 2 解析: ? ? ? 7 ? ? b1 ? b13 b7 b1 ? b13 T 3 ? 7 ? 2 23 7 ?13 2 2

3


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