2018-2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[A 级 基础巩固]

一、选择题

3

1

1.已知 α ,β 为锐角,sin α =5,tan(β -α )=3,则 tan β =( )

A.193 B.193 C.3 D.13

3 解析:因为 sin α =5,α 为锐角,

所以 cos α = 1-sin2α =45.

所以 tan

α

=scions

α α

=34,

所以 tan β =tan [(β -α )+α ]=

tan (β -α )+tan α 1-tan (β -α )·tan α

=193,故选

A.

答案:A

2. 3sin51π2 -cos51π2 的值是(

)

A. 2

B.

2 2

C.- 2

D.sin71π2

解析:

3sin

5π 12

-cos

5π 12

=2???sin51π2

cos

π 6

-cos

5π 12

sinπ6

???

=2sin???51π2 -π6 ???=2sin

π 4



2.

答案:A

3.在△ABC 中,若 sin(B+C)=2sin Bcos C,则△ABC 是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

解析:因为 sin(B+C)=2sin Bcos C,

所以 sin Bcos C+cos Bcos C=2sin Bcos C,

即 sin Bcos C-cos Bsin C=0,所以 sin(B-C)=0,

所以 B=C,所以△ABC 是等腰三角形.

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答案:D 4.化简 cos 15°cos 45°-sin 15°·sin 45°的值为( )

1

31

3

A.-2 B. 2 C.2 D.- 2

解析:根据两角和的余弦公式可得,cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°=cos(15°

+45°)=cos 60°=12,故选 C.

答案:C

5.已知 cos???α -π3 ???-cos α =13,则 cos???α +π3 ???的值为(

)

1

12

2

A.3 B.-3 C.3 D.-3

解析:由题意可得

cos???α -π3 ???-cos α

=cos

α

cos

π 3

+sin

α

sin

π 3

-cos

α

=-cos

α

cos

π 3

+sin

α

sin

π 3

=-???cos

α

cos

π 3

-sin

α

sin

π 3

???

=-cos???α +π3 ???, 据此有-cos???α +π3 ???=13, 所以 cos???α +π3 ???=-13.
答案:B 二、填空题

6.(2015·江苏卷)已知 tan α =-2,tan(α + β )=17,则 tan β 的值为________.

解析:tan

1

β

=tan[(α



β

)-α

]=1t+ant(anα(+α

β +

)-tan α β )tan α

7-(-2) =1+17×(-2)=

3.

答案:3

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7.计算

1-tan 15°

=________.

3+tan 60°tan 15°

解析:原式=

tan 45°-tan 15°



3(1+tan 45°·tan 15°)

13tan(45°-15°)=13.

1 答案:3

8.已知 cos???α -π6 ???=1132???π6 <α <π2 ???,则 cos α =________.

解析:由于

0<α

-π6

<(π3

)
,且

cos???α

-π6

???=1123,

所以 sin???α -π6 ???=153.

所以 cos α =cos ??????α -π6 ???+π6 ???=

cos???α -π6 ???cosπ6 -sin???α -π6 ???sinπ6 =

1132× 23-153×12=12 236-5.

12 3-5 答案: 26

三、解答题

9.已知 sin???π4 -α ???=-12,sin???π4 + β ???= 23,其中π4 <α <π2 ,π4 < β <π2 ,求
角 α + β 的值.

解:因为π4 <α <π2 ,所以-π4 <π4 -α <0.

因为π4 < β <π2 ,所以π2 <π4 + β <34π .

由已知可得 cos???π4 -α ???= 23,cos???π4 + β ???=-12,

则 cos(α + β )=cos??????π4 + β ???-???π4 -α ??????= cos???π4 + β ???·cos???π4 -α ???+sin ???π4 + β ???·sin???π4 -α ???=???-12???× 23+ 23×???-12???=

- 23.

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因为π2 <α + β <π .

所以 α + β =5π6 .

10.设方程 12x2-π x-12π =0 的两根分别为 α ,β ,求 cos α cos β - 3sin α cos

β - 3cos α sin β -sin α sin β 的值.

解:由题意知 α + β =π12,

故原式=cos(α + β )- 3sin(α + β )=
2sin???π6 -(α + β )???=2sin 1π2=2sin???π4 -π6 ???=

2???sinπ4 cosπ6 -cos

π 4

sin

π 6

???=

2??? 22× 23- 22×12???=

6- 2

2.

B 级 能力提升

1.已知 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π ),则 φ 的值是( ) A.-π6 B.π6 C.-56π D.56π

解析:因为 3sin x- 3cos x

=2 3???sin x· 23-cos x·21??? =2 3sin( x+φ ),

3

1

所以 cos φ = 2 ,sin φ =-2.

又因为 φ ∈(-π ,π ),所以 φ =-π6 .

答案:A 2.若 cos(α +β )=15,cos(α -β )=35,则 tan α tan β =________.

1 解析:cos (α +β )=cos α cos β -sin α sin β =5,①

cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β =35.②

由①+②,得 2cos α cos β =45,

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即 cos α cosβ =25.

由②-①,得 2sin α sinβ =25,

1 即 sin α sin β =5.

所以 tan

α

tan

β

=scions

α α

sin cos

β β

=12.

答案:12

3.在△ABC 中,三个内角分别为 A,B,C.已知 sin???A+π6 ???=2cos A. (1)求角 A 的值; (2)若 B∈???0,π3 ???,且 cos(A-B)=45,求 sin B.

解:(1)由 sin???A+π6 ???=2cos A,得 23sin A+12cos A=2cos A,即 sin A= 3cos A, 因为 A∈(0,π ),且 cos A≠0,
所以 tan A= 3,所以 A=π3 .

(2)因为 B∈???0,π3 ???,cos(A-B)=45,

所以 A-B=π3 -B∈???0,π3 ???. 因为 sin2(A-B)+cos2(A-B)=1, 所以 sin(A-B)=35,

所以 sin B=sin [A-(A-B)]=sin A cos (A-B)-cos A·sin (A-B)=4 130-3.

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