www.t4500.com:新课标教材高中数学测试题组(必修4)第三章 三角恒等变换(基础训练题共3组)含详细解答

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(数学必修 4)第三章
一、选择题 1.已知 x ? ( ? A.
7 24

三角恒等变换

[基础训练 A 组]

?
2

, 0) , cos x ?

4 ,则 tan 2 x ? 、 5
7 24

B. ?

C.

24 7

D. ?

24 7

2.函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是 A.

? 5

B.

? 2

C.

?

D. 2?

3.在△ ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ ABC 为 A.锐角三角形
0 0

B.直角三角形
0 0

C.钝角三角形

D.无法判定

4.设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? A. a ? b ? c B. b ? a ? c

6 ,则 a, b, c 大小关系 2
D. a ? c ? b

C. c ? b ? a

5.函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是 A. 周期为

? 的奇函数 4

B. 周期为

? 的偶函数 4

C. 周期为

? ? 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 2 2

6.已知 cos 2? ? A.

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3
B.

13 18
0 0

11 18
0 0

C.

7 9

D. ? 1

二、填空题 1.求值: tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? ____________.

2.若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? ____________. 1 ? tan ? cos 2?

3.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是____________. 4.已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

; cos 2? 的值为 时, cos A ? 2 cos

.

5. ?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为 大值为 三、解答题 .

B?C 取得最大值,且这个最 2

1.已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值.

1

2.若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围。 2

3.求值:

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 0 2sin 20
x x ? 3 cos , x ? R. 2 2

4.已知函数 y ? sin

(1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合; (2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

参考答案
一、选择题

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? ? 2? 2. D ; y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ? 1
1. D ; x ? ( ? 3. C ; cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角 4. D ; a ?

?

2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
2? ? 2 ? sin 4 x ,为奇函数, T ? 4 2 2
2 2 2 2

5. C ; y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ?
4 4 2

6. B ; sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 二、填空题 1.

1 2 1 11 sin 2? ? 1 ? (1 ? cos 2 2? ) ? 2 2 18

tan 200 ? tan 400 ? 3 3 ; tan 60 ? tan(20 ? 40 ) ? 1 ? tan 200 tan 400
0 0 0

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400
2. 2008 ;

1 1 sin 2? 1 ? sin 2? ? tan 2? ? ? ? cos 2? cos 2? cos 2? cos 2?

?
3.

(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

3 2 1 7 ? ? 2 4 1 7 2 4. , ; (sin ? cos ) ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 3 9 2 2 3 3 9 3 B ? C A A A 0 ? cos A ? 2sin ? 1 ? 2sin 2 ? 2sin 5. 60 , ; cos A ? 2 cos 2 2 2 2 2
2

? 2? ?? ? ; f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 cos(2 x ? ) , T ?

A A A 1 3 A 1 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? ,当 sin ? ,即 A ? 600 时,得 2 2 2 2 2 2 2 B?C 3 (cos A ? 2 cos ) max ? 2 2 ? ?2sin 2
三、解答题 1. 解: sin ? ? sin ? ? ? sin ? ,cos ? ? cos ? ? ? cos ? , (sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,

1 2 ? 2 cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? 。 2
2. 解:令 cos ? ? cos ? ? t ,则 (sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ) ? t ?
2 2 2

1 1 , 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? , 2 2

2 cos(? ? ? ) ? t 2 ?

3 3 1 2 7 14 14 2 , ?2 ? t ? ? 2, ? ? t ? , ? ?t ? 2 2 2 2 2 2

3. 解:原式 ?

0 2cos 2 100 sin 50 cos100 cos100 ? 2sin 200 0 cos 5 0 ? sin10 ( ? ) ? ? 2cos10 ? 4sin100 cos100 sin 50 cos 50 2sin100 2sin100

?

cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2cos 300 sin100 3 ? ? cos 300 ? 0 0 2sin10 2sin10 2
x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3

4. 解: y ? sin

(1)当

x ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值, ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 2 3 2 3 3 ? ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 纵坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? ? y ? 2sin ??????? ? y ? 2sin x ??????? ? 2 3 2

(2) y ? 2sin( ?

y ? sin x

(数学必修 4)第三章
一、选择题 1.设 a ?

三角恒等变换

[综合训练 B 组]

1 3 2 tan13 1 ? cos50 cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 则有 2 2 2 1 ? tan 13 2
B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

1 ? tan 2 2 x 2.函数 y ? 的最小正周期是 1 ? tan 2 2 x
A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

3. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ?
3

A. ?

1 2

B.

3 ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为 4 5 19 16 14 A. B. C. 25 25 25 1 5.若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ? ,则 cos 2? ? 3
4.已知 sin( A.
17 9

?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

D.

7 25

B. ?

17 9

C. ?

17 9

D.

17 3

6.函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期为 A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

二、填空题 1.已知在 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, 则角 C 的大小为______________.

2.计算:

sin 65 o + sin 15 o sin 10 o 的值为______________. sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

2x 2x ? ? cos( ? ) 的图象中相邻两对称轴的距离是______________. 3 3 6 1 4.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于______________. 2 π 5.已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 在同一个周期内,当 x ? 时, f ( x) 取得最大值为 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) 3
3.函数 y ? sin 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f ( x) 的一个表达式为______________. 三、解答题 1. 求值: (1) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; (2) sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50 。
0 0 0 0 2 0 2 0 0 0

2.已知 A ? B ?

?
4

,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

3.求值: log 2 cos

?
9

? log 2 cos
2

2? 4? ? log 2 cos 。 9 9

4.已知函数 f ( x) ? a(cos x ? sin x cos x) ? b (1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 a ? 0 且 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a , b 的值.

4

参考答案
一、选择题 1. C ; a ? sin 300 cos6 ? cos300 sin 6 ? sin 240 , b ? sin 260 , c ? sin 250 , 2. B ; y ?

1 ? tan 2 2 x 2? ? ? cos 4 x, T ? ? 2 1 ? tan 2 x 4 2

3. B ; sin17 (? sin 43 ) ? (? sin 73 )(? sin 47 ) ? cos17 cos 43 ? sin17 sin 43 ? cos600

? ? 7 ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 2 4 4 25 1 4 2 5. A ; (cos ? ? sin ? ) ? ,sin ? cos ? ? ? ,而 sin ? ? 0, cos ? ? 0 9 9
4. D ; sin 2 x ? cos(

?

cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? )2 ? 4sin ? cos ? ? ?

17 3

1 17 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? ? (? ) 3 3
6. B ; y ? (sin x) ? cos x ? (sin x) ? sin x ? 1 ? (sin x ? ) ?
2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

3 4

?

1 3 1 3 cos 2 2 x ? ? (1 ? cos 4 x) ? 4 4 8 4

二、填空题 1.

? 2 2 ; (3sin A ? 4cos B) ? (4sin B ? 3cos A) ? 37, 25 ? 24sin( A ? B) ? 37 6 1 1 ? sin( A ? B) ? ,sin C ? ,事实上 A 为钝角,? C ? 2 2 6
sin(800 ? 150 ) ? sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 ? ? ? 2? 3 sin(150 ? 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150

2. 2 ? 3 ;

3? 2x 2x ? 2x ? 2x ? 2x ? ? cos cos ? sin sin ? cos cos ? sin sin ; y ? sin 2 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2x ? 2? ? cos( ? ), T ? ? 3? ,相邻两对称轴的距离是周期的一半 2 3 6 3 3 1 1 3 2 4. ; f ( x) ? ? cos x ? cos x ? , 当 cos x ? 时, f ( x) max ? 4 2 2 4 ? T ? 2? 2? ? ? , ? ? 3,sin ? ? ?1, 可取? ? ? 5. f ( x) ? 2sin(3 x ? ) ; A ? 2, ? , T ? 2 2 3 3 ? 2
3. 三、解答题 1. 解: (1)原式 ? sin 6 cos12 cos 24 cos 48 ?
0 0 0 0

sin 60 cos 60 cos120 cos 240 cos 480 cos 60

5

1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 ?2 ?4 0 cos 6 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 ?8 ? 16 ? 16 ? 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16
(2) 原式 ?

1 1 1 1 ? cos 400 1 ? cos1000 1 ? ? (sin 700 ? sin 300 ) ? 1 ? (cos1000 ? cos 400 ) ? sin 700 ? 2 2 4 2 2 2

?

3 1 3 ? sin 700 sin 300 ? sin 700 ? 4 2 4 A? B ?

2. 证:

?

4

,? tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? 1, 得 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B, 1 ? tan A tan B

1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 ,? (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

3. 解:原式 ? log 2 (cos

?
9

cos

2? 4? ? 2? 4? cos ), 而 cos cos cos ? 9 9 9 9 9

sin

?
9

cos

?

2? 4? cos 9 9 9 ?1 ? 8 sin 9 cos

即原式 ? log 2

1 ? ?3 8

4. 解: f ( x) ? a ? ( 1) 2 k ? ? (2) 0? x?

1 ? cos 2 x 1 2a ? a ? a ? sin 2 x ? b ? sin(2 x ? ) ? ? b 2 2 2 4 2

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k? ?

3? ? 3? ? ? x ? k? ? , [ k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 8 8 8 8

? ?
2 4 ,

? 2x ?

?
4

?

5? 2 ? 1? 2 ,? ? sin(2 x ? ) ? 1,f ( x)min ? a ? b ? 3, f ( x)max ? b ? 4, 4 2 4 2

?a ? 2 ? 2 2, b ? 4

(数学必修 4)第三章
一、选择题 1.求值

三角恒等变换

[提高训练 C 组]

cos 200 cos350 1 ? sin 200

?
B. 2 C. 2 D. 3

A. 1 2.函数 y ? 2 sin( A. ? 3

?
3

? x) ? cos(

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于
C. ? 1 D. ? 5

B. ? 2

6

3.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是 A. (

2? 3 ,? ) 3 2
0

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. (?

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3

, ? 3)

4.△ ABC 中, ?C ? 90 ,则函数 y ? sin 2 A ? 2sin B 的值的情况 A.有最大值,无最小值 C.有最大值且有最小值 B.无最大值,有最小值 D.无最大值且无最小值

5. (1 ? tan 210 )(1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 )(1 ? tan 240 ) 的值是 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

cos2 x 6.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是 4 cos x sin x ? sin 2 x
A. 4 二、填空题 1.给出下列命题: ①存在实数 x ,使 sin x ? cos x ? ③函数 y ? sin( x ? B.

?

1 2

C. 2

D.

1 4

y ? sin(2 x ? ) 的图象.其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) 4 x 1 2.函数 y ? tan ? 的最小正周期是____________. 2 sin x 1 1 3.已知 sin ? ? cos ? ? , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =____________. 3 2
4.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ? 0,

?

2 3

?
2

3 ; 2

②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ; ④函数 y ? sin 2x 的图象向左平移

) 是偶函数;

? 个单位,得到函数 4

? ?? 上的最小值为____________. ? 2? ?

5.函数 y ? (a cos x ? b sin x) cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a ? ____, b ? ____. 三、解答题 1.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的定义域为 R , (1)当 ? ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 ? ? (0, ? ) ,且 sin x ? 0 ,当 ? 为何值时, f ( x ) 为偶函数. 2.已知△ ABC 的内角 B 满足 2cos 2B ? 8cos B ? 5 ? 0, ,若 BC ? a , CA ? b 且 a, b 满足: a b ? ?9 ,

a ? 3, b ? 5 , ? 为 a, b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。
7

3.已知 0 ? x ?

?
4

, sin(

?
4

? x) ?

5 ,求 13

cos2 x cos( ? x) 4
2

?

的值。

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ? (1) 写出函数的单调递减区间;

3 a ? b (a ? 0) 2

(2) 设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

参考答案
一、选择题 1. C ;

cos2 100 ? sin 2 100 cos100 ? sin100 2 sin 550 ? ? ? 2 cos350 (cos100 ? sin100 ) cos350 cos350

2. C ; y ? 2 cos( 3. B ; y ?

?

? x) ? cos( ? x) ? cos( ? x) ? ?1 6 6 6

?

?

1 3 1 3 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

? 3 ? k? ? 5? ? sin(2 x ? ) ? , 令2 x ? ? k? , x ? ? , 当k ? 2, x ? 3 2 3 2 6 6
4. D ; y ? sin 2 A ? 2sin B ? sin 2 A ? 2cos A ? 1 ? cos2 A ? 2cos A ? ?(cos A ?1)2 ? 2 ,而 0 ? cos A ? 1, 自变量取不到端点值 5. C ; (1 ? tan 210 )(1 ? tan 240 ) ? 2,(1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 ) ? 2 ,更一般的结论

? ? ? ? 450 ,(1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) ? 2
6. A ; f ( x) ?

1 1 1 ? ,当tan x ? 时, f ( x)min ? 4 2 1 1 tan x ? tan x ?(tan x ? )2 ? 2 2 4

二、填空题 1. ③ ;对于①, sin x ? cos x ?

? ? ? ? ? ,但是 cos ? ? cos ? ,对于③, y ? sin 2 x ? y ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? )
4 2
2.

? 3 2 sin( x ? ) ? 2 ? ;对于②,反例为 ? ? 300 , ? ? ?3300 ,虽然 4 2

? ;y?

1 ? cos x 1 cos x 1 ? ?? ?? sin x sin x sin x tan x

3. ?

59 13 59 2 2 ; (sin ? ? cos ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ? , 2sin(? ? ? ) ? ? 72 36 36

8

4. 1 ; y ? 2sin( x ?

? ?
3 ), 3
2

? x?

?
3

?

5? 5? , ymin ? 2sin ?1 6 6

b a a a 2 ? b2 a 5. 1, ?2 2 ; y ? a cos x ? b sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ? ) ? , 2 2 2 2 2

a 2 ? b2 a a 2 ? b2 a ? ? 2, ? ? ? ?1, a ? 1, b ? ?2 2 2 2 2 2
三、解答题 1. 解: (1)当 ? ? 0 时, f ( x) ? sin x ? cos x ?

3? ? ? x ? 2k? ? , f ( x) 为递增; 2 4 2 4 4 ? ? 3? ? 5? 2 k? ? ? x ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? x ? 2 k? ? , f ( x) 为递减 2 4 2 4 4 3? ? ? 5? , 2k? ? ], k ? Z ; f ( x) 为递减区间为 [2k? ? , 2k? ? ], k ? Z 。 ? f ( x) 为递增区间为 [2k? ? 4 4 4 4 2 k? ? ? x? ? 2 k? ? , 2 k? ?
( 2) f ( x ) ?

?

?

?

2 sin( x ? ) , 4

?

2 cos( x ?

?

4

? ? ) 为偶函数,则 ? ?

?

4

? k? ,?? ? k? ?

?

4

,k ?Z

2. 解: 2(2cos2 B ?1) ? 8cos B ? 5 ? 0, 4cos2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 得 cos B ?

1 3 , ,sin B ? 2 2

cos ? ?
3. 解:

3 4 4?3 3 ? ? ,sin ? ? , sin( B ? ? ) ? sin B cos ? ? cos B sin ? ? 5 5 10 a?b

a ?b

? ? ? ? ? 5 ( ? x) ? ( ? x) ? ,? cos( ? x) ? sin( ? x) ? , 4 4 2 4 4 13

120 ? ? ? ? 120 cos 2 x 12 而 cos 2 x ? sin( ? 2 x) ? sin 2( ? x) ? 2sin( ? x) cos( ? x) ? ,? ? 169 ? 。 ? 5 2 4 4 4 169 13 cos( ? x) 4 13
4. 解: f ( x) ? ( 1) 2 k ? ?

1 3a 3 a 3a ? a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a ? b ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 2 2 2 3
2 ? 2x ?

?

?
3

? 2 k? ?

3? 5? 11? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 ,?[k? ? 2 12 12 12 12

( 2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

f ( x)min

? 3 ?a ? 2 a ? b ? ?2 ? 3 ?? ?? ?? a ? b ? ?2, f ( x)max ? a ? b ? 3, ? 2 2 ? ?b ? ?2 ? 3 ?a ? b ? 3 ?

9


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