2013-2014学年高一下学期期末模拟数学试题(1)

2013-2014 学年度第二学期期末高一数学模拟试卷（1）
一、填空题：(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．) 1. cos82.5? cos 52.5? ? cos 7.5? cos 37.5? ? ______________ 2．已知集合 A ? {2 ? a , a} ， B ? {?1 , 1 , 3} ，且 A ? B ，则实数 a 的值是 3.函数 f ? x ? ? 3 ? 2x ? x 的定义域为
2

．

.

4．已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? ，且 2a ? b / /(a ? ?b ) ，则 ? = 5. 等比数列 ?an ? 中， a2 ? 9, a5 ? 243 ，则 ?an ? 的前 4 项和为

?

?

?

? ?

?

?

?

．

6. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD = 2，将△ABC 沿 AD 折成 60° 的 二面角，连结 BC，则三棱锥 C ? ABD 的体积为 ．

7．已知 m，n 是不重合的两条直线，α，β 是不重合的两个平面．下列命题：①若 α⊥β，m ⊥α，则 m∥β； ②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β；③若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α； m?β，则 α∥β．其中所有真命题的序号是 8．已知 ? , ? 为锐角, cos ? ? ． . ④若 m∥α，

4 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan? ? 5 3

π π 9．将函数 f(x)＝sin(3x＋ )的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，则函数 y 4 3 π 2π ＝g(x)在[ ， ]上的最小值为 3 3 ．

10．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f(1) ＜f(lg(2x))的 x 的取值范围是 ．

→ → 11．在△ABC 中，已知∠BAC＝90° ，AB＝6，若 D 点在斜边 BC 上，CD＝2DB，则 AB · AD 的值为 ．

1 － 12. 若函数 y＝( )|1 x|＋m 的图像与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是_______． 2 13. 某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在 A 处获悉后，测得该货轮在 北偏东 45?方向距离为 10 海里的 C 处，并测得货轮正沿北偏东 105?的方向、以每小时 9 海 里的速度向附近的小岛靠拢。我海 军护卫舰立即以每小时 21 海里的速度前去营救；则护卫 舰靠近货轮所需的时间是 小时.

14.设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若 a1 ? a2 ， b1 ? b2 ，且 bi ? ai2 (i ? 1,2,3) ，

1

则 数列{bn}的公比为 ．

二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，） 2b－ 3c cosC 15． （本小题满分 14 分） 在△ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 ＝ ． cosA 3a （1）求角 A 的值； （2）若角 B ?

?
6

， BC 边上的中线 AM = 7 ，求 ?ABC 的面积．

16.(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 P ? ABC 中，点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点． (1)求证： PA //平面 BEF ； (2)若平面 PAB ? 平面 ABC ， PB ? BC ，求证： BC ? PA ． A

P

E F C
（第 16 题图）

B

17. (本小题满分 15 分)在数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an?1 ? 2an ? 2n ． （Ⅰ）设 bn ?

an ．证明：数列 ?bn ? 是等差数列；（Ⅱ）求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ． 2 n ?1

2

18. (本小题满分 15 分) 已知 a ? R ，函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 。 ⑴若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立，求实数 a 的最值范围； ⑵若 a ? 1 ，且函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [1, a] ，求实数 a 的值。

19.(本小题满分 16 分)某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留 空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中 AD ? 60m ， AB ? 40m ，且 ?EFG 中， ?EGF ? 90? ，经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m ．为 保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点 G 作一直线交 AB , DF 于 M , N ，从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场，设 DN ? x(m) ． （1）将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数； （2）当 x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并 求出最大面积． A E G M F N D

B
3

C 第 19 题图

20. (本题满分 16 分)函数 fn ( x) ? x n ? bx ? c(n ? Z ,b, c ? R ) . （1）若 n ? ?1 ，函数 f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上是单调递增函数，求实数 b 的取值范围； （2）设 n ? 2 ，若对任意 x1, x2 ?[?1,1], f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立，求 b 的取值范围．

4

2013-2014 学年度第二学期期末高一数学模拟试卷
一、填空题：(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．) 3 1. cos82.5? cos 52.5? ? cos 7.5? cos 37.5? ? ________ _______ 2 2．已知集合 A ? {2 ? a , a} ， B ? {?1 , 1 , 3} ，且 A ? B ，则实数 a 的值是 3.函数 f ? x ? ? 3 ? 2x ? x 的定义域为
2

1

．

??3,1?
? ?

.

4．已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? ，且 2a ? b / /(a ? ?b ) ，则 ? = 5. 等比数列 ?an ? 中， a2 ? 9, a5 ? 243 ，则 ?an ? 的前 4 项和为 120

?

?

?

?

?

?

?

1 2

．

6. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD = 2，将△ABC 沿 AD 折成 60° 的 二面角，连结 BC，则三棱锥 C ? ABD 的体积为

2 3 3

．

7．已知 m，n 是不重合的两条直线，α，β 是不重合的两个平面．下列命题：①若 α⊥β，m ⊥α，则 m∥β； ②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β；③若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α； m?β，则 α∥β．其中所有真命题的序号是 8．已知 ? , ? 为锐角, cos ? ? ② ． ④若 m∥α，

4 1 13 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan? ? . 5 3 9 π π 9.将函数 f(x)＝sin(3x＋4)的图象向右平移3个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图

π 2π 象，则函数 y＝g(x)在[3， 3 ]上的最小值为

2 －2

．

10．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f(1) ＜f(lg(2x))的 x 的取值范围是 1 (0， )∪(5，+∞) ． 20

→ → 11．在△ABC 中，已知∠BAC＝90° ，AB＝6，若 D 点在斜边 BC 上，CD＝2DB，则 AB · AD 的值为 24 ．

1 － 12. 若函数 y＝( )|1 x|＋m 的图像与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是__－1≤m＜0______． 2 13. 某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在 A 处获悉后，测得该货轮在 北偏东 45?方向距离为 10 海里的 C 处，并测得货轮正沿北偏东 105?的方向、以每小时 9 海 里的速度向附近的小岛靠拢。我海 军护卫舰立即以每小时 21 海里的速度前去营救；则护卫 舰靠近货轮所需的时间是

2 3

小时.

5

14.设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若 a1 ? a2 ， b1 ? b2 ，且 bi ? ai2 (i ? 1,2,3) ， 则 数列{bn}的公比为
3? 2 2

．

二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，） 15．（本小题满分 14 分） 2b－ 3c cosC 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ＝ ． cosA 3a （1）求角 A 的值； （2）若角 B ?

?
6

， BC 边上的中线 AM = 7 ，求 ?ABC 的面积．

15．解析:（1）因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ，由正弦定理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C ， 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A = 3sin(A+C) ． 因为 B＝π－A－C，所以 sinB=sin(A+C)， 所以 2sin B cos A ? 3 sin B ． 因为 B∈(0，π)，所以 sinB≠0， 所以 cos A ?
3 ? ，因为 0 ? A ? ? ，所以 A ? ． 2 6

………2 分 ………………4 分

………………7 分 ………………8 分

（2）由（1）知 A ? B ? 设 AC ? x ，则 MC ?

π 2? ，所以 AC ? BC ， C ? ． 3 6

1 x ，又 AM ? 7. 2

在△AMC 中，由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2
故 S?ABC ?

解得 x＝2.

………………12 分 ……………14 分

1 2 2? x sin ? 3. 2 3

16.(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 P ? ABC 中，点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点． (1)求证： PA //平面 BEF ； (2)若平面 PAB ? 平面 ABC ， PB ? BC ，求证： BC ? PA ． 16．证明:（1）在 ?PAC 中， E 、 F 分别是 PC 、 AC 的中点，所以 PA // EF ， A 又 PA ? 平面 BEF ， EF ? 平面 BEF ， 所以 PA // 平面 BEF ．……………………………………6 分 F C
6

P

E

B

（第 16 题图）

（2）在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB ，垂足为 D ． 因为平面 PAB ? 平面 ABC ，平面 PAB ? 平面 ABC ? AB ，

PD ? 平面 PAB ，所以 PD ? 平面 ABC ,………………8 分
又 BC ? 平面 ABC ，所以 PD ? BC ，………………………………………10 分 又 PB ? BC ， PD ? PB ? P ， PD ? 平面 PAB ， P

PB ? 平面 PAB ，所以 BC ? 平面 PAB ，…………12 分
又 PA ? 平面 PAB ，所以 BC ? PA ．………………14 分 A E 17. 在数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an?1 ? 2an ? 2n ． （Ⅰ）设 bn ? F
D

B

an C ．证明：数列 ?bn ? 是等差数列；（Ⅱ）求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ． n ?1 2 a ?1 a ? nn ? 1 ， bn?1 ? bn ? 1 ， 解：（1） an?1 ? 2an ? 2n ， nn 2 2 ?1
则 bn 为等差数列， b1 ? 1 ，

bn ? n ， an ? n2n?1 ．

（2） S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2 n?1

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减，得

S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1
18. 已知 a ? R ，函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 。 ⑴若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立，求实数 a 的最值范围； ⑵若 a ? 1 ，且函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [1, a] ，求实数 a 的值。

7

19.(本小题满分 14 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘
AB ? 40m ， （如图中阴影部分） ， 水塘可近似看作一个等腰直角三角形， 其中 AD ? 60m ，

且 ?EFG 中， ?EGF ? 90? ，经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m ．为保证安全同时考虑美 观， 健身广场周围准备加设一个保护栏． 设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M , N ， 从 而 得 到 五 边 形 MBCDN 的 市 民 健 身 广 场 ， 设 A
DN ? x(m) ．

E G

F

N

D

（1）将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数； （2）当 x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并 求出最大面积．

M

B 第 17 题图

C

19．（1）作 GH⊥EF，垂足为 H， 因为 DN ? x ，所以 NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ，因为 所以

NH NA ? , HG AM

40 ? x 60 ? x 600 ? 10x ，所以 AM ? ……………2 分 ? 10 AM 40 ? x

A

E

H

F

N

D

G M T

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T， 则S
MBCDW

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM ， 2 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x

B

C

所以 y ? (40 ?

? 2400?

5?60 ? x ? 40 ? x

2

…………………………7 分

由于 N 与 F 重合时， AM ? AF ? 30 适合条件，故 x ? ? 0,30? ,…………8 分 （2） y ? 2400?

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ，…………………10 分 40 ? x 40 ? x ? ?
2

所以当且仅当 40 ? x ? 分

400 ，即 x ? 20 ? ?0,30? 时， y 取得最大值 2000， ………13 40 ? x

所以当 DN ? 20m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2000m 2 ．……………14 分

8

20. (本题满分 16 分) 函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c(n ? Z , b, c ? R) . （1）若 n ? ?1 ，函数 f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上是单调递增函数，求实数 b 的取值范围； （2）设 n ? 2 ，若对任意 x1, x2 ?[?1,1], f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立，求 b 的取值范围． 20. 解： （1） n ? ?1 时， f ? x ? ? 任设 x1 ? x2 ? 2 ， f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 ? bx ? c x

1 1 ? bx1 ? c ? ( ? bx2 ? c) x1 x2

?

? x1 ? x2 ?? bx1 x2 ? 1? ………………………………………………..2 分
x1 x2

? x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ，
因为函数 f ? x ? 在 ?2, ??? 上是单调递增函数，故恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ，..3 分 从而恒有 bx1 x2 ? 1 ? 0 ，即恒有 b ?

1 ，…………………………….4 分 x1 x2

当 x1 ? x2 ? 2 时， x1 x2 ? 4 ，?

1 1 1 ? ，? b ? ……………………..6 分 4 x1 x2 4

（2）当 n ? 2 时 f2 ( x) ? x2 ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 有 f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值与最小 值之差 M ? 4 ……………………..7 分 当?

b ? ?1 ，即 b ? 2 时， f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递增， 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (?1) ? 1? b ? c ， f 2 ( x)max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c ，所以 M ? 2b ? 4 ，与题 设矛盾；……………………………..9 分 当 ?1 ? ?

b b b ? 0 ，即 0 ? b ? 2 时， f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减，在 x ? [ ? ,1] 上单调 2 2 2

递增，所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?

b 2

b2 ? c ， f2 ( x)max ? f2 (1) ? 1 ? b ? c ， 4

9

所以 M ? ? 当0 ? ?

?b ? ? 1? ? 4 恒成立，所以 0 ? b ? 2 ；……………………………..11 分 ?2 ?

2

b b b ? 1 ，即 ?2 ? b ? 0 时， f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减，在 x ? [ ? ,1] 上单调 2 2 2

递增，所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?
2

b 2

b2 ? c ， f2 ( x)max ? f2 (?1) ? 1 ? b ? c ， 4

?b ? 所以 M ? ? ? 1? ? 4 恒成立，所以 ?2 ? b ? 0 ；……………………………….13 分 ?2 ?
当?

b ? ?1 ，即 b ? 2 时， f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递减， 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c ， f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c ，所以 M ? ?2b ? 4 ，与题 设矛盾．……………………………………………………………………………….15 分 综上所述，实数 b 的取值范围是 ?2 ? b ? 2 ．………………………………16 分

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