2013-2014学年高一下学期期末模拟数学试题(1)

2013-2014 学年度第二学期期末高一数学模拟试卷(1)
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 1. cos82.5? cos 52.5? ? cos 7.5? cos 37.5? ? ______________ 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1 , 1 , 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 3.函数 f ? x ? ? 3 ? 2x ? x 的定义域为
2



.

4.已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? ,且 2a ? b / /(a ? ?b ) ,则 ? = 5. 等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为

?

?

?

? ?

?

?

?



6. 已知△ABC 为等腰直角三角形,斜边 BC 上的中线 AD = 2,将△ABC 沿 AD 折成 60° 的 二面角,连结 BC,则三棱锥 C ? ABD 的体积为 .

7.已知 m,n 是不重合的两条直线,α,β 是不重合的两个平面.下列命题:①若 α⊥β,m ⊥α,则 m∥β; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;③若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; m?β,则 α∥β.其中所有真命题的序号是 8.已知 ? , ? 为锐角, cos ? ? . . ④若 m∥α,

4 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan? ? 5 3

π π 9.将函数 f(x)=sin(3x+ )的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y 4 3 π 2π =g(x)在[ , ]上的最小值为 3 3 .

10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式 f(1) <f(lg(2x))的 x 的取值范围是 .

→ → 11.在△ABC 中,已知∠BAC=90° ,AB=6,若 D 点在斜边 BC 上,CD=2DB,则 AB · AD 的值为 .

1 - 12. 若函数 y=( )|1 x|+m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是_______. 2 13. 某货轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军护卫舰在 A 处获悉后,测得该货轮在 北偏东 45?方向距离为 10 海里的 C 处,并测得货轮正沿北偏东 105?的方向、以每小时 9 海 里的速度向附近的小岛靠拢。我海 军护卫舰立即以每小时 21 海里的速度前去营救;则护卫 舰靠近货轮所需的时间是 小时.

14.设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,且 bi ? ai2 (i ? 1,2,3) ,

1

则 数列{bn}的公比为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,) 2b- 3c cosC 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 = . cosA 3a (1)求角 A 的值; (2)若角 B ?

?
6

, BC 边上的中线 AM = 7 ,求 ?ABC 的面积.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA . A

P

E F C
(第 16 题图)

B

17. (本小题满分 15 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 2 n ?1

2

18. (本小题满分 15 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 。 ⑴若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的最值范围; ⑵若 a ? 1 ,且函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [1, a] ,求实数 a 的值。

19.(本小题满分 16 分)某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留 空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m , AB ? 40m ,且 ?EFG 中, ?EGF ? 90? ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为 保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点 G 作一直线交 AB , DF 于 M , N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场,设 DN ? x(m) . (1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并 求出最大面积. A E G M F N D

B
3

C 第 19 题图

20. (本题满分 16 分)函数 fn ( x) ? x n ? bx ? c(n ? Z ,b, c ? R ) . (1)若 n ? ?1 ,函数 f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上是单调递增函数,求实数 b 的取值范围; (2)设 n ? 2 ,若对任意 x1, x2 ?[?1,1], f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立,求 b 的取值范围.

4

2013-2014 学年度第二学期期末高一数学模拟试卷
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 3 1. cos82.5? cos 52.5? ? cos 7.5? cos 37.5? ? ________ _______ 2 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1 , 1 , 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 3.函数 f ? x ? ? 3 ? 2x ? x 的定义域为
2

1



??3,1?
? ?

.

4.已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? ,且 2a ? b / /(a ? ?b ) ,则 ? = 5. 等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为 120

?

?

?

?

?

?

?

1 2



6. 已知△ABC 为等腰直角三角形,斜边 BC 上的中线 AD = 2,将△ABC 沿 AD 折成 60° 的 二面角,连结 BC,则三棱锥 C ? ABD 的体积为

2 3 3



7.已知 m,n 是不重合的两条直线,α,β 是不重合的两个平面.下列命题:①若 α⊥β,m ⊥α,则 m∥β; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;③若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; m?β,则 α∥β.其中所有真命题的序号是 8.已知 ? , ? 为锐角, cos ? ? ② . ④若 m∥α,

4 1 13 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan? ? . 5 3 9 π π 9.将函数 f(x)=sin(3x+4)的图象向右平移3个单位长度,得到函数 y=g(x)的图

π 2π 象,则函数 y=g(x)在[3, 3 ]上的最小值为

2 -2



10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式 f(1) <f(lg(2x))的 x 的取值范围是 1 (0, )∪(5,+∞) . 20

→ → 11.在△ABC 中,已知∠BAC=90° ,AB=6,若 D 点在斜边 BC 上,CD=2DB,则 AB · AD 的值为 24 .

1 - 12. 若函数 y=( )|1 x|+m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是__-1≤m<0______. 2 13. 某货轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军护卫舰在 A 处获悉后,测得该货轮在 北偏东 45?方向距离为 10 海里的 C 处,并测得货轮正沿北偏东 105?的方向、以每小时 9 海 里的速度向附近的小岛靠拢。我海 军护卫舰立即以每小时 21 海里的速度前去营救;则护卫 舰靠近货轮所需的时间是

2 3

小时.

5

14.设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,且 bi ? ai2 (i ? 1,2,3) , 则 数列{bn}的公比为
3? 2 2



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,) 15.(本小题满分 14 分) 2b- 3c cosC 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = . cosA 3a (1)求角 A 的值; (2)若角 B ?

?
6

, BC 边上的中线 AM = 7 ,求 ?ABC 的面积.

15.解析:(1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ,由正弦定理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A = 3sin(A+C) . 因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C), 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0, 所以 cos A ?
3 ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 2 6

………2 分 ………………4 分

………………7 分 ………………8 分

(2)由(1)知 A ? B ? 设 AC ? x ,则 MC ?

π 2? ,所以 AC ? BC , C ? . 3 6

1 x ,又 AM ? 7. 2

在△AMC 中,由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2
故 S?ABC ?

解得 x=2.

………………12 分 ……………14 分

1 2 2? x sin ? 3. 2 3

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA . 16.证明:(1)在 ?PAC 中, E 、 F 分别是 PC 、 AC 的中点,所以 PA // EF , A 又 PA ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , 所以 PA // 平面 BEF .……………………………………6 分 F C
6

P

E

B

(第 16 题图)

(2)在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB ,垂足为 D . 因为平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB ,

PD ? 平面 PAB ,所以 PD ? 平面 ABC ,………………8 分
又 BC ? 平面 ABC ,所以 PD ? BC ,………………………………………10 分 又 PB ? BC , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PAB , P

PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? 平面 PAB ,…………12 分
又 PA ? 平面 PAB ,所以 BC ? PA .………………14 分 A E 17. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ? F
D

B

an C .证明:数列 ?bn ? 是等差数列;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . n ?1 2 a ?1 a ? nn ? 1 , bn?1 ? bn ? 1 , 解:(1) an?1 ? 2an ? 2n , nn 2 2 ?1
则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,

bn ? n , an ? n2n?1 .

(2) S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2 n?1

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得

S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1
18. 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 。 ⑴若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的最值范围; ⑵若 a ? 1 ,且函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [1, a] ,求实数 a 的值。

7

19.(本小题满分 14 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘
AB ? 40m , (如图中阴影部分) , 水塘可近似看作一个等腰直角三角形, 其中 AD ? 60m ,

且 ?EFG 中, ?EGF ? 90? ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美 观, 健身广场周围准备加设一个保护栏. 设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M , N , 从 而 得 到 五 边 形 MBCDN 的 市 民 健 身 广 场 , 设 A
DN ? x(m) .

E G

F

N

D

(1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并 求出最大面积.

M

B 第 17 题图

C

19.(1)作 GH⊥EF,垂足为 H, 因为 DN ? x ,所以 NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,因为 所以

NH NA ? , HG AM

40 ? x 60 ? x 600 ? 10x ,所以 AM ? ……………2 分 ? 10 AM 40 ? x

A

E

H

F

N

D

G M T

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T, 则S
MBCDW

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x

B

C

所以 y ? (40 ?

? 2400?

5?60 ? x ? 40 ? x

2

…………………………7 分

由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? ,…………8 分 (2) y ? 2400?

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ,…………………10 分 40 ? x 40 ? x ? ?
2

所以当且仅当 40 ? x ? 分

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000, ………13 40 ? x

所以当 DN ? 20m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 .……………14 分

8

20. (本题满分 16 分) 函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c(n ? Z , b, c ? R) . (1)若 n ? ?1 ,函数 f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上是单调递增函数,求实数 b 的取值范围; (2)设 n ? 2 ,若对任意 x1, x2 ?[?1,1], f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立,求 b 的取值范围. 20. 解: (1) n ? ?1 时, f ? x ? ? 任设 x1 ? x2 ? 2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 ? bx ? c x

1 1 ? bx1 ? c ? ( ? bx2 ? c) x1 x2

?

? x1 ? x2 ?? bx1 x2 ? 1? ………………………………………………..2 分
x1 x2

? x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ,
因为函数 f ? x ? 在 ?2, ??? 上是单调递增函数,故恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,..3 分 从而恒有 bx1 x2 ? 1 ? 0 ,即恒有 b ?

1 ,…………………………….4 分 x1 x2

当 x1 ? x2 ? 2 时, x1 x2 ? 4 ,?

1 1 1 ? ,? b ? ……………………..6 分 4 x1 x2 4

(2)当 n ? 2 时 f2 ( x) ? x2 ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 有 f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值与最小 值之差 M ? 4 ……………………..7 分 当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递增, 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (?1) ? 1? b ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c ,所以 M ? 2b ? 4 ,与题 设矛盾;……………………………..9 分 当 ?1 ? ?

b b b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [ ? ,1] 上单调 2 2 2

递增,所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?

b 2

b2 ? c , f2 ( x)max ? f2 (1) ? 1 ? b ? c , 4

9

所以 M ? ? 当0 ? ?

?b ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 0 ? b ? 2 ;……………………………..11 分 ?2 ?

2

b b b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [ ? ,1] 上单调 2 2 2

递增,所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?
2

b 2

b2 ? c , f2 ( x)max ? f2 (?1) ? 1 ? b ? c , 4

?b ? 所以 M ? ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 ?2 ? b ? 0 ;……………………………….13 分 ?2 ?
当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递减, 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c ,所以 M ? ?2b ? 4 ,与题 设矛盾.……………………………………………………………………………….15 分 综上所述,实数 b 的取值范围是 ?2 ? b ? 2 .………………………………16 分

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