高中数学第三章椭圆方程及性质的综合应用习题课课后训练案巩固提升含解析北师大版选修2_1

习题课--椭圆方程及性质的综合应用
课后训练案巩固提升 A组 2 1.已知点 M(,0),直线 y=k(x+)与椭圆+y =1 相交于 A,B 两点,则△ABM 的周长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 2 2 2 解析:椭圆+y =1 的焦点在 x 轴上,a =4,b =1,c=, 所以椭圆的两个焦点为 N(-,0),M(,0). 又因为直线 y=k(x+)必经过定点 N(-,0), 由椭圆的定义知△ABM 的周长为 AB+AM+BM=(AN+AM)+(BN+BM)=2a+2a=4a=8. 答案:B 2.设 F1,F2 是椭圆=1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2 的面积等于 ( ) A.5 B.4 C.3 D.1 解析:由椭圆方程,得 a=3,b=2,c=, 因为|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|∶|PF2|=2∶1, 所以|PF1|=4,|PF2|=2. 2 2 2 由 2 +4 =(2) 可知,△F1PF2 是直角三角形, 故△F1PF2 的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4. 答案:B 2 2 3.椭圆 x +4y =36 的弦被 A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程为( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-14=0 D.x+2y-8=0 解析:设以 A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于 E(x1,y1),F(x2,y2),∵A(4,2)为 EF 中点,∴ x1+x2=8,y1+y2=4,把 E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆 x2+4y2=36,得 ∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴8(x1-x2)+16(y1-y2)=0, ∴k==-, ∴以 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4),整理,得 x+2y-8=0. 答案:D 2 4.已知椭圆+y =1 的左、 右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,当△F1PF2 的面积为 1 时,等于( ) A.0 B.1 C.2 D. 解析:设 P(x0,y0), 则依题意有·|F1F2|·|y0|=1, 而|F1F2|=2,所以 y0=±. 故得 x0=±. 取 P,可得=0. 答案:A 5.已知椭圆的两个焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.射线 D.直线 解析:因为|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PQ|+|PF1|=2a. 又因为 F1,P,Q 三点共线,

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所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|. 故|F1Q|=2a,即 Q 在以 F1 为圆心,以 2a 为半径的圆上. 答案:A 6.已知斜率为 2 的直线 l 被椭圆=1 截得的弦长为,则直线 l 的方程为 . 解析:设直线 l 的方程为 y=2x+m,与椭圆交于 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 2 2 消去 y 并整理得 14x +12mx+3(m -2)=0, 2 所以 x1+x2=-m,x1x2= (m -2). 由弦长公式得|AB|=, 解得 m=±, 所以直线 l 的方程为 y=2x±. 答案:y=2x± 7.导学号 90074062 设 AB 是椭圆=1 的不垂直于对称轴的弦,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,则 kAB·kOM= . 解析:由题意,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中点 M,所以 kAB=,kOM=, 所以 kAB·kOM=. 又因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 b +a =a b ,b +a =a b , 2 2 所以 b ()+a ()=0, 所以=-. 答案:8.已知椭圆的焦点在 x 轴上,且焦距为 4,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若△PF1F2 的面积为 2,求点 P 的坐标. 解(1)由题意知,2c=4,c=2, 且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8, 即 2a=8,所以 a=4. 2 2 2 所以 b =a -c =16-4=12. 又椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆的方程为=1. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),依题意知, |F1F2|·|y0|=2, 所以|y0|=,y0=±,代入椭圆方程=1,得 x0=±2, 所以点 P 的坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-). 2 2 9.已知圆 A:(x+3) +y =100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方 程. 解设圆 P 的半径为 r,又圆 P 过点 B,所以|PB|=r. 又因为圆 P 与圆 A 内切,圆 A 的半径为 10, 所以两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|), 所以点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 所以 2a=10,2c=|AB|=6. 所以 a=5,c=3. 2 2 2 所以 b =a -c =25-9=16. 即点 P 的轨迹方程为=1.

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10.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且 a =2b. (1)求椭圆的方程; 2 2 (2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,求 m 的值. 解(1)由题意得解得 2 故椭圆方程为 x +=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线与椭圆的方程得 2 2 即 3x +2mx+m -2=0, 所以 x0==-,y0=x0+m=, 即 M. 2 2 又因为点 M 在圆 x +y =5 上, 所以=5, 解得 m=±3. B组 1.若点 A(m,1)在椭圆=1 的内部,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-2,2) D.(-1,1) 2 解析:因为点 A(m,1)在椭圆=1 的内部,所以<1,整理得 m <2,解得-<m<. 答案:A 2.已知椭圆 E: =1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A,B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以 a=2.又 d=,所以 1≤b<2,所以 e=.因为 1≤b<2,所以 0<e≤,故选 A. 答案:A 2 2 2 3.已知点 P(x,y)在椭圆+y =1 上,则 x +2x-y 的最大值为 . 2 2 2 2 2 2 2 解析:因为点 P(x,y)在椭圆+y =1 上,所以 y =1-,所以 x +2x-y =x +2x-=x +2x-1=(x+1) -2,因为 2 2 2 椭圆中-2≤x≤2,所以当 x=2 时, x +2x-y 取得最大值,且最大值为(2+1) -2=7. 答案:7 2 2 4.一动圆 C 与定圆 A:x +y -6x-91=0 相切,且圆 C 过点 B(-3,0),求动圆圆心 C 的轨迹方程,并说 明它是什么样的曲线. 解设动圆圆心为 C(x,y),半径为 r, 2 2 将圆 A 的方程配方,得(x-3) +y =100, 由于点 B(-3,0)在圆 A 的内部, 因此动圆 C 与定圆 A 内切,且动圆 C 在定圆 A 的内部, 因此|CA|=10-r,|CB|=r, 两式的两边分别相加,得|CA|+|CB|=10, 由椭圆的定义知点 C 的轨迹是焦点为 A(3,0),B(-3,0),长轴长等于 10 的椭圆,并且椭圆的 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, ∴2c=6,2a=10,∴c=3,a=5, ∴b2=25-9=16,

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∴圆心 C 的轨迹方程为=1,轨迹是椭圆. 2 5.已知椭圆 C1: +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, =2,求直线 AB 的方程. 解(1)设椭圆 C2 的方程为=1(a>2). ∵e=,∴,∴a=4, 故椭圆 C2 的方程为=1. (2)设 A,B 两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由=2 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx,联立得(1+4k2)x2=4,∴. 2 2 联立得(4+k )x =16, ∴. 又由=2,得=4. ∴=4·,解得 k=±1. 故直线 AB 的方程是 y=x 或 y=-x. 6.
导学号 90074063 如图,椭圆 E: =1(a>b>0)经过点 A(0,-1),且离心率为. (1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. 2 2 2 解(1)由题设知,b=1,结合 a =b +c , 解得 a=. 2 所以椭圆的方程为+y =1. 2 (2)由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y =1,得 2 2 (1+2k )x -4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知得 Δ >0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 则 x1+x2=,x1x2=. 从而直线 AP,AQ 的斜率之和 kAP+kAQ==2k+(2-k) =2k+(2-k) =2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2.

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