【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课时作业 新人教A版必修4

1.3

三角函数的诱导公式(一)

课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式 进行求值、化简与证明.

1.设 α 为任意角,则 π +α ,-α ,π -α 的终边与 α 的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π +α 与 关于________对称 α -α 与 α 关于________对称 π -α 与 关于________对称 α 2.诱导公式一~四 (1)公式一:sin(α +2kπ )=__________,cos(α +2kπ )=________,tan(α +2kπ )= ________,其中 k∈Z. (2)公式二:sin(π +α )=______,cos(π +α )=________,tan(π +α )=________. (3)公式三:sin(-α )=________,cos(-α )=________,tan(-α )=________. (4)公式四:sin(π -α )=________,cos(π -α )=________,tan(π -α )=________.

一、选择题 1.sin 585°的值为( 2 2 A.- B. 2 2

) C.-

3 3 D. 2 2 nπ +α 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果是( ) nπ +α A.±tan α B.-tan α 1 C.tan α D. tan α 2 1 3 3.若 cos(π +α )=- , π <α <2π ,则 sin(2π +α )等于( 2 2 1 A. 2 B.± 3 2 C. 3 3 D.- 2 2 α -3π + π -α -α - π +α

)

4.tan(5π +α )=m,则 A.

的值为(

)

m-1 C.-1 D.1 m+1 5.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°等于( ) 2 2 1-k 1-k k A. B.- C. 2 k k 1-k
B.

m+1 m-1

D.-

k
1-k
2

1 ? π ? 6.若 sin(π -α )=log8 ,且 α ∈?- ,0?,则 cos(π +α )的值为( 4 ? 2 ? A. 5 3 B.- 5 3

)

1

C.±

5 3

D.以上都不对

二、填空题 π 3 5π 7.已知 cos( +θ )= ,则 cos( -θ )=________. 6 3 6 2 α +π α +3π 8.三角函数式 的化简结果是______. 3 α +π -α -π 1+2sin 290°cos 430° 的化简结果是______. sin 250°+cos 790° 10.设 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β )+2,其中 a、b、α 、β 为非零常数.若 f(2 009)=1,则 f(2 010)=____. 9.代数式 三、解答题 2 11.若 cos(α -π )=- ,求 3 α -2π π -α + - -α -3π -π -α α -3π α -4π 的值.

12.已知 sin(α +β )=1,求证:tan(2α +β )+tan β =0.

能力提升 13.化简:

k+

π +θ

kπ -θ

k+ π -θ ] (其中 k∈Z). kπ +θ

2

14.在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角.

1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四

作用 将角转化为 0~2π 求值 将 0~2π 内的角转化为 0~π 之间的角求值 将负角转化为正角求值 π 将角转化为 0~ 求值 2

2.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变, 符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名 称一致,符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α 看成锐角,只是 公式记忆的方便,实际上 α 可以是任意角.

§1.3

三角函数的诱导公式(一) 答案

知识梳理 1.原点 x 轴 y 轴 2.(1)sin α cos α -tan α (4)sin α 作业设计 1.A 2.C

tan α (2)-sin α -cos α -tan α

-cos α

tan α

(3)-sin α

cos α

1 1 3.D [由 cos(π +α )=- ,得 cos α = , 2 2 ∴sin(2π +α )=sin α =- 1-cos α =-
2

3 (α 为第四象限角).] 2
3

sin α +cos α tan α +1 m+1 4.A [原式= = = .] sin α -cos α tan α -1 m-1 5.B [∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k, 2 1- k 2 ∴sin 80°= 1-k .∴tan 80°= .

k

∴tan 100°=-tan 80°=-

1-k

2

k

.]

2 2 6.B [∵sin(π -α )=sin α =log2 2- =- , 3 3 ∴cos(π +α )=-cos α =- 1-sin α =- 3 3 8.tan α 7.- -cos α ?sin α 解析 原式= 3 tan α ?cos α +π tan α . 9.-1 1+ + 解析 原式= + =
2 2

4 5 1- =- .] 9 3



-cos α ?sin α cos α ?sin α sin α = = = 3 2 -tan α ?cos α sin α ?cos α cos α

2

2

+ + +

1-2sin 110°cos 70° 1-2sin 70°cos 70° = -sin 70°+cos 70° cos 70°-sin 70° |sin 70°-cos 70°| sin 70°-cos 70° = = =-1. cos 70°-sin 70° cos 70°-sin 70° 10.3 解析 f(2 009)=asin(2 009π +α )+bcos(2 009π +β )+2 =asin(π +α )+bcos(π +β )+2 =2-(asin α +bcos β )=1, ∴asin α +bcos β =1, f(2 010)=asin(2 010π +α )+bcos(2 010π +β )+2 =asin α +bcos β +2=3. - π -α - π +α π -α 11.解 原式= -cos α - -cos α α sin α -sin α cos α = 2 -cos α +cos α sin α -cos α = -cos α -cos α =-tan α . 2 ∵cos(α -π )=cos(π -α )=-cos α =- , 3 2 ∴cos α = .∴α 为第一象限角或第四象限角. 3 2 当 α 为第一象限角时,cos α = , 3 5 sin α 5 5 ,∴tan α = = ,∴原式=- . 3 cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α = , 3 sin α = 1-cos α =
2

4

sin α =- 1-cos α =- 综上,原式=±

2

5 sin α 5 5 ,∴tan α = =- ,∴原式= . 3 cos α 2 2

5 . 2 12.证明 ∵sin(α +β )=1, π ∴α +β =2kπ + (k∈Z), 2 π ∴α =2kπ + -β (k∈Z). 2 π ? ? ? ? tan(2α +β )+tan β =tan?2?2kπ + -β ?+β ?+tan β 2 ? ? ? ? =tan(4kπ +π -2β +β )+tan β =tan(4kπ +π -β )+tan β =tan(π -β )+tan β =-tan β +tan β =0, ∴原式成立. 13.解 当 k 为偶数时,不妨设 k=2n,n∈Z,则 n+ π +θ n+ π -θ ] 原式= = nπ -θ nπ +θ -sin θ -cos θ = =-1. -sin θ ?cos θ 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 n+ π +θ n+ π -θ ] 原式= s n+ π -θ n+ π +θ ] n+ π +θ n+ π -θ ] = π -θ π +θ sin θ ?cos θ = =-1. sin θ -cos θ ∴上式的值为-1. 14.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B, 2 2 平方相加得 2cos A=1,cos A=± , 2 π 3 又∵A∈(0,π ),∴A= 或 π . 4 4 3 3 ?π ? 当 A= π 时,cos B=- <0,∴B∈? ,π ?, 4 2 ?2 ? ∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去. π 3 π 7 ∴A= ,cos B= ,∴B= ,∴C= π . 4 2 6 12

π +θ π -θ -sin θ ?cos θ

5


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