2011年宁德市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷

2011 年宁德市普通高中毕业班质量检查

数学(文科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s? 1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数 z ? i(1 ? i) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知集合 A ? ?2,3? , B ? ?0,1, 2? ,若 x ? A 且 x ? B ,则 x 的值为 A.0
0

B.1

C.2

D. 3 [来

3. “ ? ? 60 ”是“ tan ? ? 3 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

文科数学试题 第 1 页 共 11 页

4. 若各项均不为零的数列 ?an ? 满足 an ?1 ? 2an (n ? N * ) ,则 A.4 B.8 C.16

a 4 ? a3 的值等于 a2 ? a1

D.64
2? 3

5. 已知 a , b 均为单位向量,若 a ? b ? 1 ,则 a , b 的夹角等于 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2 6. 函数 f ? x ? ? ln x ? 的零点一定位于区间 x A. (1, 2) B. (2,3) C.

(3, 4)

D. (4,5)

? 7.已知函数 y ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0 ,? ? 0 ,? |? ) 的图象如图 | 2 所示,则其表达式为

? A. y ? 3sin(4 x ? ) 3 ? B. y ? 3sin(4 x ? ) 3 ? C. y ? 3sin(2 x ? ) 3 ? D. y ? 3sin(2 x ? ) 3 8.已知向量 a ? ( x,1) , b ? ( x, tx ? 2) . 若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 [ ?1,1] 上不是单调函数, ..
则实数 t 的取值范围是 A. (??, ?2] ? [2, ??) B. (??, ?2) ? (2, ??) C. (?2, 2) D. [ ?2, 2]

9.已知 ? , ? 是两个不同平面, m, n 是两条不同直线. 若 m ? ? , n ? ? ,则下列命题为真命 题的是 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? C.若 m ? ? , n // ? , 则 m // n B.若 m // ? , n // ? , 则 ? // ? D.若 ? ? ? , n ? ? ,则 m ? ?

10.若不等式 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 4 ? 0 恰有一个解,则 ab 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

11.已知点 F , A 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点、右顶点,点 B(0, b) a 2 b2
?1 ? 5 2

满足 FB ? AB ,则双曲线的离心率为 A.
1? 5 2

B.

3 ?1

C.

D.

3 ?1

文科数学试题 第 2 页 共 11 页

12.已知函数 f ( x) ? 4 x x ?1 . 给出如下结论: ① f ( x) 是 R 上的单调递增函数; ②对于任意 x ?R , f ( x) ? f (? x) ? ?2 恒成立; ③函数 y ? f ( x) ? 2 x ? 1 恰有三个零点 x1 , x 2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ? 0 . 其中正确结论的个数为 A.0 B.1

C.2

D.3

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.某几何体的三视图如右图所示,其中正视图,侧视图 均为矩形,俯视图为等腰直角三角形,则该几何体的 侧面积为 . 1 正视图 2 2

14.某校在科技节活动中开展科普知识竞赛,每个代表队 由 7 个人组成,竞赛采用百分制,成绩均为整数.已 知某代表队各选手成绩组成的数据中,众数为 85 ,中 位数为 86 ,最小数为 82 ,最大数为 89 ,则该代表队 的平均分为 . 1 俯视图 1 正视图

15.已知圆 C 的圆心与点 M (1, 2) 关于直线 y ? x 对称,并且 圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切,则圆 C 的方程为______. 16.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M ? [a, b] ,使得 { y y ? f ( x), x ? M } ? M ,则称区间 M 为 函数 f ( x) 的一个“稳定区间”.给出下列 3 个函数: ① f ( x) ? x 3 ; ② f ( x) ? e x ; ③ f ( x) ? cos

?
2

x.

其中存在“稳定区间”的函数有 ____(填上所有正确的序号) .

文科数学试题 第 3 页 共 11 页

(背面还有试题)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n ? c . (Ⅰ )求 c 的值并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 bn ? Sn ? 2n ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分)
? 已知函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2cos2 x ?1 . 4 (Ⅰ )求 f ( x) 的最大值及其取得最大值时 x 的集合;

(Ⅱ )在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 求 ?ABC 的面积.

3 ? 5? , A ? ,b ? f ( ) , 4 3 12

19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直,且 AE ? AB , AE ? AB ? 4 , AD ? 2 ,
F ,G ,H 分别为 BE ,AE ,BC 的中点.

(Ⅰ 求三棱锥 A ? FGH 的体积; ) (Ⅱ )求证:直线 DE 与平面 FGH 平行.

D

C H

A G E 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E : F

B

1 x2 y 2 离心率为 , 直线 l :2 x ? y ? 2a ? 0 与 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , 2 2 a b

x, y 轴分别交于点 A, B, O 为坐标原点.

(Ⅰ )若椭圆 E 的短半轴长为 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ )设直线 l 截椭圆 E 所得弦的中点为 M ,证明: ?AFM 与 ?AOB 的面积比为定值.

文科数学试题 第 4 页 共 11 页

21. (本小题满分 12 分) 某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、 季军的代表队人数情况如右表.大会组委 会为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在 颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样 的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐,其中亚军队有 5 人. (Ⅰ )求季军队的男运动员人数; (Ⅱ )从前排就坐的亚军队 5 人(3 男 2 女)中随机抽取 2 人上台领奖,请列出所有的 基本事件,并求亚军队中有女生上台领奖的概率; (Ⅲ 抽奖活动中, ) 运动员通过操作按键, 使电脑自动产生 [0, 4] 内的两个随机数 x , y , 随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序. 若电脑显示“中奖”,则该运动员获 相应奖品,若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求该运动员获得奖品的概率. 开始 输入 x, y

4x ? y ? 8 ? 0
是 22. (本小题满分 14 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d (b ? 0) 在



输出 “中奖”

输出 “谢谢”

x ? 0 处取到极值 2.
(Ⅰ )求 c , d 的值;

结束

(Ⅱ )试研究曲线 y ? f ( x) 的所有切线与直线 x ? by ? 1 ? 0 垂直的条数; (Ⅲ )若对任意 x ? [1, 2] ,均存在 t ? (0,1] ,使得 et ? ln t ? 1 ? f ( x) ,试求 b 的取值范 围.

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文科数学试题 第 5 页 共 11 页

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1. B 2. D 3.A 4. C 5. B 6. B 7.D 8.C 9. C 10.B 11. A 12. D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分. 13. 4 ? 2 2 14. 86 15. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 16. ① ③

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识;考查运算求解能力,考查 化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? c , ???????1分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1 , ∴ an ? ?
? 2 ? c, n ? 1 ?2
n ?1

???????3 分

,n ? 2

???????4 分

∵数列 {an } 为等比数列, ∴ a1 ? 2 ? c ? 1 ∴ c ? ?1. ∴数列 {an } 的通项公式 an ? 2n?1 . (Ⅱ)∵ bn ? Sn ? 2n ? 1 ? 2n ? 2n , ∴ Tn ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n)
? 2(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? n 2 ? n .

???????5 分 ???????6 分 ???????7 分 ???????9 分 ?????12 分

解法二: (Ⅰ) a1 ? S1 ? 2 ? c, a2 ? S2 ? S1 ? 2, a3 ? S3 ? S2 ? 4 ,?????3 分 ∵数列 {an } 为等比数列, ∴ a22 ? a1a3 即 4 ? 4(2 ? c) , 文科数学试题 第 6 页 共 11 页

解得 c ? ?1. 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以公比为 2, ∴数列 {an } 的通项公式 an ? 2n?1 .

???????5 分 ???????6 分

(Ⅱ)同解法一. 18. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、正余弦定理等基 础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ) f ( x) ? 2(
? sin 2x ,

2 2 sin 2x ? cos 2x) ? cos 2 x , 2 2

? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x

???????4 分 ???????6 分 ???????7 分

? ∴ f ( x)max ? 1 , x ?{x x ? k ? ? , k ? Z} . 4

(Ⅱ) b ? f ( 由正弦定理 ∴c ?
1 . 4
1 2

5? 5? 1 ) ? sin ? , 12 6 2

? a b ,得 sin B ? 1 , B ? , ? 2 sin A sin B

???????10 分
3 . 32

∴ S ?ABC ? ac ?

???????12 分

解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ) b ? f (
5? 5? 1 ) ? sin ? , 12 6 2

???????7 分
3 1 1 ? c2 ? ? c , 16 4 2

由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 ∴c ?
1 . 4
1 2 3 . 32

???????10 分 ???????12 分

∴ S?ABC ? bc sin A ?

19. 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解(Ⅰ)由已知 HB ? 1 ,???????1 分
S?AGF ? 1 AG ? GF ? 2 , 2

D M A

C H B F

???????3 分

1 2 V= VA? FGH ? VH ? FGA ? BH ? S?AGF ? .???6 分 3 3

G (Ⅱ) 证明: AD 的中点 M , 取 连结 MH ,MG . 文科数学试题 第 7 页 共 11 页 E

∵ G , H 分别是 AE , BC 的中点, ∴ MH // AB, GF // AB , ∴ MH // GF ∴ MG ? 平面 FGH , ?????????9 分 又 MG // DE , 且 DE ? 平面 FGH , MG ? 平面 FGH , ∴ DE // 平面 FGH . ????????12 分 20. 本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力,数形结 合思想、化归与转化思想.满分 12 分. ?c 1 ? ? , 解: (I)根据题意得: ? a 2 ??????1 分 ?b ? 3. ? 又 a 2 ? b2 ? c2 , 解得 a ? 2 . ∴直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . (Ⅱ)由
c 1 ? 得 a ? 2c, b ? 3c , a 2

??????3 分 ??????4 分

∴椭圆 E 的方程为:

x2 y2 ? 2 ?1, 4c2 3c

直线 l 的方程为: 2 x ? y ? 4c ? 0 .
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 联立 ? 4c 3c 得 19 x 2 ? 64cx ? 52c 2 ? 0 , ?2 x ? y ? 4c ? 0 ?

??????5 分 ??????7 分

解得 x1 ? 2c, x2 ? ∴ xM ?

26 c, 19

??????9 分 ??????10 分

32 12 c , yM ? c . 19 19

1 12 c? c S?AFM 3 ∴ , ? 2 19 ? S?AOB 1 ? 2c ? 4c 38 2

∴ ?AFM 与 ?AOB 的面积比为定值

3 . 38

……………………12 分

21.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,考查或然 与必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设季军队的男运动员人数为 n .

文科数学试题 第 8 页 共 11 页

由题意得

5 16 , ? 50 30 ? 30 ? 30 ? 20 ? n ? 30

??????2 分

解得 n ? 20 . ???????3 分 (Ⅱ)记 3 个男运动员分别为 A1 , A2 , A3 ,2 个女运动员分别为 B1 , B2 , 所有基本事件如下: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 共 10 种, ?????5 分 设“亚军队中有女生上台领奖”为事件 M , 其中事件 M 的基本事件有 7 种,
7 . 10 (Ⅲ)由已知 0 ? x ? 4, 0 ? y ? 4 ,

∴ P(M ) ?

?????7 分

点 ( x, y ) 在如图所示的正方形 OABC 内,
?4 x ? y ? 8 ? 0, ? 由条件 ?0 ? x ? 4, 得到的区域为图中的阴影部分. ?0 ? y ? 4 ?

由 4x ? y ? 8 ? 0 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ,令 y ? 4 得 x ? 3 .
1 ∴在 x, y ? [0, 4] 时满足 4 x ? y ? 8 ? 0 的区域的面积 S1 ? ? (2 ? 3) ? 4 ? 10 2

?10 分 设“该运动员获得奖品”为事件 N , ∴该运动员获得奖品的概率 P( N ) ?
10 5 ? . 16 8

??????12 分

22. 本题主要考查函数与导数的基本性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想、分类 与整合思想和化归与转化思想.满分 14 分.
2 解法一: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c ,

?????1 分 ?????2 分

根据题意得 ?

? f (0) ? 2, 解得 c ? 0, d ? 2 . ? f ?(0) ? 0,

3 2 经检验 f ( x) ? x ? bx ? 2 (b ? 0) 在 x ? 0 处取到极值 2.

∴ c ? 0, d ? 2 .

?????3 分

2 2 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? ?b 即 3 x ? 2bx ? b ? 0 , ? ? 4b 2 ? 12b ,? 5 分

当 ? ? 0 ,即 b ? 3 或 b ? 0 时,满足条件的切线有 2 条, 当 ? ? 0 ,即 b ? 3 时,满足条件的切线有 1 条, 当 ? ? 0 ,即 0 ? b ? 3 时,满足条件的切线不存在. ?????8 分 文科数学试题 第 9 页 共 11 页

(Ⅲ)根据题意可知 g (t )min ? f ( x) min ,
1 et ?1 1 令 g ?(t ) ? e ? ? ? 0 ,得 t ? , t t e 1 1 当 0 ? t ? 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 时, g ?(t ) ? 0 , e e

?????9 分

1 1 所以函数 g (t ) ? et ? ln t ? 1 的递减区间为 (0, ) ,递增区间为 ( , ??) , e e 1 1 故函数 g (t ) ? et ? ln t ? 1 在 t ? 处取得最小值 g ( ) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .???11 分 e e

由(Ⅰ)得 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 , f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? 0 ,
2 解得 x ? 0 或 x ? ? b . 3
3 2 当 ? b ? 1 且 b ? 0 , 即 b ? ? 时 , 函 数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 在 [1, 2] 单 调 递 增 , 所 以 2 3 3 f ( x)min ? f (1) ? 3 ? b ? 1 ,得 b ? ? 2 ;所以 b ? ? 且 b ? 0 , 2 3 2 2 2 当 1 ? ? b ? 2 即 ?3 ? b ? ? 时,函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 在 (1, ? b) 单调递减,在 (? b, 2) 单 3 2 3 3

调递增,所以 f ( x)min ? f (? b) ?

2 3

3 3 3 4 3 b ? 2 ? 1 ,得 b ? ? ,所以 ? 3 ? b ? ? 3 27 2 4 4

2 当 ? b ? 2 即 b ? ? 3 时 , 函 数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 在 [1, 2] 单 调 递 减 , 所 以 3
9 f ( x)min ? f (2) ? 10 ? 4b ? 1 ,得 b ? ? ,故此时不满足题意. 4

综上, b ? ?

33 2 且b ? 0 . 2

?????14 分

解法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)根据题意可知 g (t )min ? f ( x) min ,
1 et ?1 1 令 g ?(t ) ? e ? ? ? 0 ,得 t ? , t t e 1 1 当 0 ? t ? 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 时, g ?(t ) ? 0 , e e 1 1 所以函数 g (t ) ? et ? ln t ? 1 的递减区间为 (0, ) ,递增区间为 ( , ??) , e e 1 1 故函数 g (t ) ? et ? ln t ? 1 在 t ? 处取得最小值 g ( ) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .???11 分 e e

?????9 分

f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 ? 1 在 [1, 2] 恒成立,
文科数学试题 第 10 页 共 11 页

1 在 [1, 2] 恒成立. x2 1 设 ? ( x) ? ? x ? 2 , x ? [1, 2] , x
即 b ? ?x ? 由 ? ?( x) ?

2 ? x3 2 ? x3 ? 0 得 1 ? x ? 3 2 ,由 ? ?( x) ? ?0得 3 2 ? x?2. x3 x3

∴函数 ? ( x) 在 [1, 3 2) 单调递增,在 ( 3 2, 2] 单调递减, ∴函数 ? ( x)max ? ? ( 3 2) ? ? ∴b ? ?
33 2 且b ? 0 . 2 33 2 , 2

?????14 分

文科数学试题 第 11 页 共 11 页


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