2011-12-16不等式的证明_图文

证明不等式的基本方法

潮阳实验学校:江烈欣

比较法
求证a ? b ? a b ? ab .
3 3 2 2

(1)作差比较法

例1.已知a, b都是正数且a ? b, ,
a 例 2. 如 果 用 白 糖 制 出 糖 溶 液 则 其 浓 度 为 , akg bkg , b 例2.已 知a液 中 再 添是 正 数,并 时 溶 ? b, 浓 度 , b, m 都 mkg白 糖 此 且a 液 的 , 若在上述溶 加 a a? ma ? m ? . 增 加 求 证 : 这 个 事 实 抽 象 为 数 问 题, 并 给 出 到 ,将 学 b?mb? m b 证 明.

比较法
a

(2)作商比较法
b b a

例3. 已知a, b是正数 求证a b ? a b , , 当且仅当 ? b时, 等号成立 a .
变式训练:
1.求证: 若a, b, c ? R? , 则a a bbc c ? (abc)
3.若a , b, m , n都 是 正 实 数且m ? n ? 1, , 求 证 ma ? nb ? m a ? n b .
a ? b? c 3

2.已知a ? 2, 求证: loga (a ? 1) ? log( a?1) a.

课堂练习: 课本P 23第1 - 4.

综合法与分析法
不 等 式 的 性 质 等 出 发 过 逻 辑 推 理推 导 出 所 要 证 明 ,通 , 的 结 论.这 种 从 已 知 条 件 出 发 用 定 义 、 公 理 、 定 、 ,利 理 性 质 等, 经 过 一 系 列 的 推 理 、 证 而 得 出 命 题 成 立 论 ,这 种 证 明 方 法 叫 做 综 合 法 叫 顺 推 法 或 执 因 道 法. .又 果

,我 综合法 在 不 等 式 的 证 明 中 们 经 常 从 已 知 条 件 和

用综合法证明不等式的 逻辑关系
(已知)(逐步推演不等式成立的 必要条件 结论) )(

A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B

综合法与分析法
例1.已 知a , b, c ? 0, 且不 全相 等 , 求 证: a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc.

例2. 已知a1 , a 2 ,?, an ? R ? , 且a1a 2 ?an ? 1, 求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2 .
n

综合法与分析法
逐 分析法 从 要 证 的 结 论 出 发 , 步 寻 求 使 它 成 立 的 充 分 条 件直 至 所 需 条 件 为 已 知 件 或 一 个 明 显 成 立 , 条 的 事 实 定 义 、 公 理 、 或 已 证定 理 、 性 质 等 从 而 得 ( 的 ), 出 要 证 的 命 题 成 立 , 种 证 明 方 法 叫 做 分 析 .这 是 一 这 法 种 执 果 索 因 的 思 考 和 明 方 法. 证

用分析法证明不等式的 逻辑关系
结论 (步步寻求不等式 成立的充分条件 ) 已知.

B ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? A

综合法与分析法
例3.求证 2 ? 7 ? 3 ? 6 .
a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 例4. 已 知a , b, c ? 0, 求 证: ? abc. a?b?c

变式训练:
1.a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c).
2 2 2 2 2 2

练习:

1.已 知a , b, c , d都 是 正 数 且bc ? ad , , a a ? c a ? 2c c 则 , , , 中 最 大 的 是D ). ( b b ? d b ? 2d d a a?c a ? 2c c A. B. C. D. b b?d b ? 2d d

2.若q ? 0, 且q ? 1, m , n ? N ? , 则1 ? q m ? n 与q m ? q n的 大 小 关 系 是 A ). ( A.1 ? q m ? n ? q m ? q n
m?n

B .1 ? q m ? n ? q m ? q n D.不 能 确 定

C .1 ? q

?q ?q
m

n

练习:
? ? 中 3.在 等 比 数 列an ?和 等 差 数 列bn ? , a1 ? b1 ? 0,
a3 ? b3 ? 0, a1 ? a3 , 则a5与b5的 大 小 关 系 为 ) (A A.a5 ? b 5 B.a5 ? b 5 C ,a 5 ? b 5 D.不 能 确 定
2

4.设 0 ? a ? b ? 1, 则a ? b,2 ab, a ? b ,2ab中
2

最 大 的 值 是 B) ( A.a ? b
2 2

B.a ? b

C .2ab

D.2 ab

练习:
5.设P ? a b ? 5, Q ? 2ab ? a ? 4a, 若P ? Q, ab 则实数 , b满足的条件为 ? 1或ab ? ?2 a __________
2 2 2

a?b 1 6.若0 ? a ? b ? 1, P ? log1 , Q ? (log1 a ? log1 b), 2 2 2 2 2
2

M ? log1 (a ? b), 则P , Q, M的 大 小 关 系 是Q>P>M __________

课堂小结

课堂练习
P20.Ex6,7,8,9.


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