法向量求二面角-空间向量_图文

平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角

(一)平面的法向量的定义:
如果n??,那么向 量n叫做平面?的 法向量

n

?

(二)平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 与平面所成的角:
直线与平面所成的 角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余 角。
A

?
n C

?
B

? 如图:直线AB与平面所成的角? = 2

?

( ? =<BA , n > )


2、利用平面法向量求二面角的大小
? m n ?

求二面角的大小,先求出两个半平面的法向 量的夹角,然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小

如图:二面角的大小等于?-<m ,n>

2、利用平面法向量求二面角的大小
? m n

指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。

?

如图:二面角的大小等于<m ,n>

例1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的 中点,求二面角M-EF-N的大小
D1 M N B1 C1

A1

E

D F
B

C

A

(2)

解:(1)建系如图 所示,设正方体棱长 为2,则M(0,1,2) A1 F(1,2,0) E(2,1,2) N(1,2,2) 则 MF=(1,1,-2) NF=(0,0,-2) EF=(-1,1,-2), 设平面ENF的法向量 A x 为n=(x,y,z),

D1 z
E

M

C1 N B1

D F

C y

B

EFn=0 -x+y-2z=0 ?{ -2z=0 则{ NFn=0 ?{ x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0) z=0

2

解:(2)建系如图, 由(1)得:面ENF N E 的法向量为 A1 B1 n=(1,1,0),又 MF=(1,1,-2) EF=(-1,1,-2) D C y 设面EMF的法向量 为m=(x,y,z) ,则 F A MF.m=0 B x { EFm=0 x+y-2z=0 令z=1,则m=(0,2,1) ?{-x+y-2z=0 ?cos<m,n>=?10/5 由题意可知,所 求二面角为锐角,故所求二面角的 x=0 ?{ y=2z 大小为arccos(?10/5)

D1

z

M

C1

(2)如图,在空间直角坐标系中,BC=2, 原点O为BC的中点,点A的坐标是(1,1,0) 点D在平面yoz上,且?BDC=90? ,?DCB=30? , 求二面角D-BA-C的大小
(0,-1/2,?3/2) D z

O

30?

y

B (0,-1,0) x

E

C (0,1,0)

A (1,1,0)

解:由题可知B(0,-1,0),C(0,1,0), 又A(1,1,0),得AC=1,AB=?5,又BC=2, ? ?ACB=90? ,又?BCD=30? ,?BDC=90? ,故 BD=1,CD=?3,由D点向BC作垂线DE,则 DE=?3/2,OE=1/2,得D(0,-1/2,?3/2), E(0,-1/2,0),? ED=(0,0,?3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,?3/2) ,?面ABC的法向量为ED,可求得面ABD的法向量 为n=(2?3,-?3,1) ?cos<ED,n>=1/4?<ED,n>=arccos(1/4)

?二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)


例2.在四面体 ABCD 中, AB⊥面 BCD , 0 BC=CD,∠BCD=90 ,∠ADB= 300 .E、F 分别是AC、AD的中点。 1)求证 平面BEF⊥平面ABC; 2)求二面角EF-B-CD的大小。
z A F E B
x

D y C

? 1.如图,正 ?ABC按它的一个法向量n平移到?A1B1C1 D, E分别是BC, CC1的中点, AB ? AA1 ? 2 (1)证明:BE ? AB1; (2)求二面角B ? AB1 ? D的大小。
C1 A1 B1 E

广州一模

C A D B

2.(广州二模)如图, PA ? 平面ABC, ?BAC ? 900 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点,AB=AC

=1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小; (2)求点P到平面DEF的距离。
P F A D B E

C

小结: 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用,注意所求角与法向量的联系, 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的 发展趋势,而向量是用代数的方法解决立体几 何问题的主要工具,故,学会用向量法解立体 几何问题是学好立体几何的基础。


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