资金时间价值与单利复利专题_图文

资金时间价值与利息计算
教学目的和要求:
通过本节学习,掌握货币的时间价值、单利 与复利、终值与现等概念及其运用。

本节内容:
货币时间价值、单利与复利、终值与现值

一 货币的时间价值 二 单利和复利 三* 年金

货币的时间价值
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货币的时间价值含义
在日常生活中,你把100元存入银行一年,利率是 5%,一年后,银行会给你105元,这5元就是利息, 是银行付你的报酬,换句话说,今天的100元钱与 一年后的105元等值。 在本金、利率相同的情况下,存款时间越长,利 息就越多。同样,当你从银行借款时,你要向银 行支付借款利息。企业若要发行债券,也要向债 券持有者支付债券的利息。这里的银行借款利息 和债券利息就是使用资金的成本。借用资金的时 间越长,资金的成本就越高。

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货币的时间价值含义
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原因是:随着时间的推移,货币会增值。这 就是货币的时间价值。注意:只有将货币作 为资金使用才具有增值的功能。
货币的时间价值,是指在正常情况下,两个不 同时点的同等数额的货币,其价值是不相等的。 换言之,是指货币随着时间的推延而形成的增 值。也就是说,今年的100元钱与去年的100元 钱,其价值是不相等的,年初的100元等于年 末的105元。这一随时间变化的差额就是货币 的时间价值。 它有两种表示形式:绝对数形式(利息)和相 对数形式(利息率)。

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上例中用绝对数表示的就是5元,用相对数表 示的就是5%,即这个差额与本金的比率: 5÷100=5%。 货币的时间价值往往指随着时间的推延,货币 能够增值。但要,作为一般等价物的货币本身 并不具备这种增值能力,只有在货币作为资金 使用,并与劳动要素相结合的条件下,才能使 价值增值。货币的时间价值指的便是这种增值 现象。

单利和复利
一、 单利 ? 单利-是只对本金计息。计算前,先将符号 定义如下: P-本金(现值); i-利率 ; F-终值; I-利息; n -期数或年数; A -每年等额支付或收到的款项; 则:I=P× i ×n

【例1】某人将1000元存入银行,银行存款 年利率为10%,按单利计息,5年后的本利和: ? 利息=1000×10%×5=500(元) ? 本利和=1000+500=1500(元) ? 可以看出,若按单利计息,各计息期的本金 和利息都是相同的。

二、复利
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复利是根据本金和前期利息之和计算的利 息,也说是不仅要计算本金的利息,还要计 算利息的利息。复利俗称“利滚利”。续前

例:

第一年利息: ? I =1000×10%=100(元) ? 第二年利息: ? I =(1000+100)×10%=110(元) ? 第三年利息: ? I =(1000+100+110)×10%=121(元) ? 第四年利息: ? I =(1000+100+110+121)×10%=133.1(元) ? 第五年利息: ? I =(1000+100+110+121+133.1)×10%=146.4
?
1 2 3 4 5

(元)

? 到期利息:
I=100+110+121+133.1+146.4≈611(元)

复利计算的利息比单利计息要多。

三、终值和现值
(一)终值 ? 到期值或本利和,是指一定期间后本 金与利息的和。 ? 按计算方式不同:单利终值和复利终 值。 ? 比较单利终值和复利终值计算,如果 本金P,利率为i,见下表:

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表4-1

单利终值与复利终值的计算
单利终值 复利终值

第一年年末 F=P+P×i=P(1+i) F= P(1+i) 第二年年末 F=P+P×2i=P(1+2i) F=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2 …… …… …… 第n年年末 F=P+P×ni=P(1+ni) F=P(1+i)(1+i)…(1+i) =P(1+i)n

复利终值
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复利终值是指按复利计息的一定时期的本利 和。 计算公式: F=P?(1+i)n 式中:P-本金(现值) i-利率 n-计息期 F-终值 其中(1+i)n被称为复利终值系数或1元的 复利终值,用符号(F/P,i,n)表示。见附 表1。

[例2] 如果你想存入1000元,将来收回2000元, 当年利率为10%时,要存几年?
? ?

∵ ∴

F= P(1+i) n ,即2000=1000×(1+10%) n

?

(1+10%)n=2000÷1000=2 查复利终值系数表,10%这一栏,查得期限 为7年时,终值系数为1.94872,期限为8年 的终值系数为2.14359。说明存储期在7至8 年之间,可使将来收到的本利和为2000元。 可用图4-1表示如下:内插法的运用
A (7,1.94872) B (n,2) C (8,,2.14359)

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应用等比公式,可求得n: 8?n 8?7 ? 2.14359? 2 2.14359? 1.94872 n ? 7.263 ? 7年3个月 年 同理,在已知本金(P)、终值(F)、期限 (n)条件下,可求出预期的报酬率(i)。

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(二)现值
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现值指一定期间后,一定量的货币(终值) 在现在的价值。 单利现值和复利现值 假定你想在将来得到一笔钱(终值),按一 定的利率,现在一次应存入多少钱呢?按单 利计算,公式如下: 单利现值公式:P=F/1+ni 若按复利计算,则公式是: F P? ? F (1 ? i ) ?n (1 ? i ) n

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复利现值: 是指按复利计算的将来一定时期达到预定金 额现在需要的投入数。 复利现值计算是复利终值计算的逆运算。从 复利终值计算公式可知: P = F/(1+i)n= F?(1+i)- n 其中(1+i)- n被称为复利现值系数或1元 的复利现值,用符号(P/F,i,n)表示。见 附表2。复利现值系数与复利终值系数互为倒 数。

【例3】企业打算存入银行一笔钱,5年后

一次可取出本利和1000元,已知复利年利 率为6%,计算现在一次需存入银行多少钱? ? 根据题意:F=1000 i=6% n=5 ? 根据公式:P = F· (1+i)- n =1000 ×0.747=747(元) ? 在P,F,i,n中,可已知其中三个,根据复利终 值和现值系数表,用内插法求得另一个值。 见教材例题3。 ? 又上例,若年利率8%,现在存入747元,几年 后可一次取出1000元?

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?

i=6% (P/F,6%,5) =0.747

i= 8% (P/F,8%,n) =0.747 ? 查表:n=5 (P/F,8%,5) =0.681 ? n=3 (P/F,8%,3) =0.794 ? 说明 3<n<5 (5-n) /(0.681-0.747) =(5-3)/(0.681-0.794) n≈3.832

即:需要3年10个月

(三)名义利率与实际利率的关系
在以上讨论中,我们假定利率是年利率, 并且每年按复利计息一次。但实际生活中, 某些款项在1年内不止计息一次,有些抵押 借款每月或每季计息一次,有些债券半年计 息一次。 名义利率是指以1年为基础的利率。 当利息在一年内要复利几次时,给出的年利 率称为名义利率。实际利率是真正有效的利 率,随每年复利次数而变。 如果1年只计息一次,名义利率与实际利率 相等。

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如1年内复利m次,名义利率为r,则: ? 实际利率i的公式: ? i =(1+r/m)m -1 1+i= (1+r/m)m 【例4】名义利率为6%,本金1000元,每半年复 利一次,5年后本利和是多少? ? 实际利率i = (1+6%÷2)2 –1=6.09% ? 第一种方法: ? F=1000×(1+6%÷2)10=1000×(1+3%)10 =1344 ? 第二种方法: ? F=1000×(1+6.09%)5 =1344 答:5年以后本利和1344元。
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年金*
1、年金概念 ? 年金是指在一定时期内,每隔相同时期收入或支 出相当金额的款项. 2、年金特点 ? (1)间隔相等。在一定时期内每隔一段时间就发 生一次收款或付款业务。 ? (2)金额相等。各期发生的款项在数额上相等。 ? 在现实经济生活中,分期等额形成或发生的各 种偿债基金、折旧费、养老金、保险金、租金、 等额分期收付款、零存整取、整存零取、债券利 息、优先股股息、以及等额收回的投资额等,多 属于年金的范畴。

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3、年金分类: 年金按收付的时间不同具体划分为:普通年 金、预付年金、递延年金和永续年金四种。 (1)普通年金-凡收入或支出发生在每期期末 的年金。 (2)预付年金-凡收入或支出发生在每期期初 的年金。 (3)递延年金-凡收入或支出发生在第一期以 后某一时间的年金。 (4)永续年金-凡无限期收入或支出的年金。

一、普通年金 ? 普通年金是指收入或支出发生在每期期末 的年金,又叫后付年金,用A表示。 1、普通年金终值计算 ? 普通年金终值简称年金终值,记作FA 。 ? 普通年金终值是将每期的金额按复利换算到 最后一期期末的终值,然后加总,即复利终 值之和,就是该年金终值。计算公式: ? FA =A[(1+i)n-1]?i ? 其中[(1+i)n-1]/i被称为年金终值系数 或一元的年金终值,用符号(FA/A,i,n) 表示,附表3为年金终值系数表。

?普通年金是后付年金,最后一期不

计息,因此,计息期为总期数减1。 ?设某企业于每年年底在银行存款1元,连续存4年, 按年利率i计息,则第4年末该项年金的终值可图4-2 所示:
?0
?

1

2

3

4

1
?

(1+i) 1

(1+i)2 (1+i) 1

(1+i)3 (1+i)2 (1+i) 1

终值计算如下:(FA/A,4,i)=

1+(1+i)+(1+i)2 +(1+i)3

(1)

?

?

?

将(1)式两边均乘(1+i),得: (F /A,4,i)· (1+i) =(1+i)+(1+i)2 + (1+i)3 +(1+i)4 (2) (2)式减(1)式,得:
A

? ?

(F/A,4,i)(1+i)-(F/A,4,i) =(1+i)4 -1 (F/A,4,i)(1+i-1)=(1+i)4 -1

(1 ? i ) ? 1 ( F / A,4, i) ? i
4

即1元的普通年金终值系数。表示利率为i时, 1元普通年金在n期后的终值。
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【例5】企业连续每年末存款1000元,按10% 的复利计息,第10年末可以一次取出本利和 为多少? 根据题意:年金A=1000 期数n=10 利率i=10% 则:FA=A·[(1+i)n-1]/i =A· A/A,10%,10) (F =1000×15.937=15937(元)

2、年偿债基金的计算 年偿债基金又叫积累基金,是指已知年金 终值FA ,求年金A的过程,它是年金终值 的逆运算,亦属于已知整取求零存的问题。 根据年金终值公式可知: ? A =FA ÷[(1+i)n-1]/i =FA ÷ (FA/A,i,n) 该系数可用年金终值系数的倒数求出来。

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【例6】企业准备在10年内每年末存入银

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行一笔钱,以便在第10年末归还一笔到 期100万元的债务。如果存款的年利率为 10%,请问每年末至少应存入银行多少资 金? 据题意:FA=100万元 i=10% n=10 则年金:A=FA ÷[(1+i)n-1]/i =FA ÷ (FA/A,10%,10) =100÷15.937=6.275万元 答:每年末至少存入银行6.275万元。

3、普通年金现值计算 普通年金现值简称年金现值,记作PA 。 普通年金现值是指每期后收(付)等额 款项复利现值之和,计算公式: ? PA =A· [1-(1+i)-n]?i ? 其中[1-(1+i)-n]/i 被称为年金现 值系数或一元的年金现值,用符号 (PA/A ,i,n)表示,附表4为年金现值 系数表。

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【例7】企业准备连续10年在每年末取出 1000元,按10%的复利计息,问现在一次需 支付的款项为多少? 根据题意:A=1000 n=10 i=10% 则:PA= A· [1-(1+i)-n]/i =A· A/A ,10%,10) (P =1000×6.145=6145(元) 答:现在一次需支付6145元。

4、年回收额的计算 ? 年回收额的计算是年金现值计算的逆运 算,即已知年金现值PA,求年金A,也就 是已知整存求零取的问题。根据年金现 值公式可知: ? A = PA ÷[1-(1+i)-n]/i = PA ÷(PA/A ,i,n) 该系数可用年金现值系数倒数求出来。

【例8】企业准备投资100万元,该项目预

计有效年限为10年,若企业期望的报酬率为 10%,计算企业至少每年末要从该项目中获 得多少报酬才合算? ? 据题意:PA =100万元 i=10% n=10 ? 则年金A = PA ÷[1-(1+i)-n]/i = PA ÷(PA/A ,10%,10) =100÷6.145=16.274 ? 答:企业每年末应获得16.274万元才合算。

二、预付年金
预付年金是指收入或支出发生在每期期 初,也叫先付年金,记作A’。 1、预付年金终值计算 ? 预付年金终值是指每期先收(付)等额 款项复利终值之和。记作F’A ? 预付年金终值计算和普通年金计算相比, 差一个计息期,可以根据普通年金终值计 算公式加以调整,所以,预付年金终值计 算公式为:
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预付年金终值计算公式为:
F'A=A'· [(1+i)n+1 -1]/ i –1} { = A'· {(FA /A,i,n+1)-1} 或 = A'· [(1+i)n -1]/ i· { (1+i)} = A'· {(FA /A,i,n)· (1+i)} 即:n期的预付年金终值系数等于n+1期的普 通年金终值系数减1。或等于n期的普通年 金终值系数乘以1+i。

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【例9】企业连续每年初存款1000元,按10%

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的复利计息,第10年末可以一次取出本利 和为多少? 根据题意:A’=1000 n=10 i=10% 则:F’A= A'· {(FA /A,i,n+1)-1} =1000×{(FA/A,10%,11)-1} =1000×(18.531-1) =17531(元) 答:第10年末可取出17531元。

2、预付年金现值计算 ? 是指每期先收(付)等额款项复利现值之和。 记作P'A ? 预付年金现值计算同样可以根据普通年金现 值计算公式加以调整,预付年金现值计算公 式为: ? P'A=A'· {[1-(1+i)-(n-1)]/ i +1} = A'· {(PA /A,i,n-1)+1} ? 或 = A'· {[1-(1+i)-n]/ i · (1+i)} = A'· {(PA /A,i,n)· (1+i)} ? 即:n期的预付年金现值系数等于n-1期的普 通年金现值系数加1。或等于n期的普通年金 现值系数乘以1+i。

【例10】企业准备现在一次投入一笔资金,

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以后连续10年每年初可取得1000元,按 10%的复利计息,问现在一次需支付的款 项为多少? 根据题意:A’=1000 n=10 i=10% 则:P’A =A’·{(PA /A,i,n-1)+1} =1000× {(PA/A,10%,9)+1} = 1000×(5.759+1) =6759(元) 答:现在一次需支付6759元。

三、递延年金现值计算 ? 递延年金是指在第一期以后(从0期隔S期) 才发生的年金,也叫延期年金,记作A’’。 ? 递延年金终值不受递延期的影响,计算方法 与普通年金终值相同。 ? 递延年金现值有两种方法: ? (1)先算出普通年金现值(n-s),再将其从递 延期(s)按复利现值系数折算至现在; ? (2)算出包括递延期在内的年金现值(n),减 去按递延期计算的年金现值(s)。即:

递延年金现值的计算公式:
P’’A= A’’·[1-(1+i)-(n-s)] /i · (1+i)-s =A’’·(PA/A ,i,n-s)· (P/F ,i,s) 或= A”· {[1-(1+i)-n]/ i - [1-(1+i)-s]/ i} =A’’·{(PA/A ,i,n) -(PA/A ,i,s)}

【例11】企业准备现在一次投入一笔资金,从

第4年末每年取出1000元至第10年,按10%的复 利计息,问现在一次需支付的款项为多少? ? 据题意:A”=1000 n=10 s=3 i=10% P’’A= A’’·{[1-(1+i)-n]/i-[1-(1+i)-s]/i} =A’’·{(PA/A,10%,10) - (PA/A,10%,3)} =1000×(6.145-2.487)=3658 ? 或=A’’·[1-(1+i)-(n-s)]/ i · (1+i)-s =A’’·(PA/A ,10%,7) (P/F ,10%,3) =1000×4.868×0.751=3656 ? 答:现在一次需支付3656元。

四、永续年金现值的计算
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永续年金是指无限期等额支付的特种年金, 即当n趋近+∞时的普通年金。如存本取息、 土地使用权收入。 由于永续年金没有终点,故不存在终值问 题,只计算现值。

当n +∞时,(1+i)-n 的极限为零,则 年金现值系数公式: ? (PA/A,n,i)= [1-(1+i)-n ]/i 可写成: (PA/A,n,i)= 1/i
?

永续年金现值公式:
PA=A?1/ i 【例12】企业持有某公司的股票每年股利收 益为10万元,假定企业不准备在近期转让 该股票,对该项股票投资进行估价。(已 知折现率10%) ? 根据题意:A=10 i=10% ? PA = A·1/ i=10×1/10%=100万元 即:企业现在需要投资100万元。
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