数与代数式

一、

数与代数

1. 实数 (1) 分类:a.有理数:整数和分数 b.无理数:无限不循环小数 (2)实数与数轴上的点一一对应 (3)只有符号不同的两个数互为相反数;在数轴上,一个数所对应的点到原点的距离叫做 该数的绝对值 (4)若 x2=a,则 x 是 a 的平方根,记作 ,其中 a ; 是 a 的算术平方根。 3 若 x =a,则 x 是 a 的立方根,记作 ,其中 a 。 (注意区别平方根和算术平方根) (5)对于一个近似数,从左边第一个不为 0 的数字起到精确的数位止,所有的数都叫做这 个数的有效数字。 (6)科学记数法:a×10n 的形式,其中 0≤a<1,n 为整数 (7)有理数的加、减、乘、除、乘方运算,要注意考虑运算结果的符号与绝对值这两部分。 有理数的混合运算要注意运算的顺序,并恰当地运用运算律,可使运算更加简便。 2. 整式 (1)分类:a.单项式:数与字母的乘积 b.多项式:几个单项式的和 (2)幂的运算:am×an=am+n am÷an=am-n (am)n=amn (ab)n=anbn 规定:a0=1(a≠0);a-p=1/ap(a≠0,p 为正整数) (3)乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 (4)分式因解:a.提公因式 b.公式法:平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 c.十字相乘法 d.分组分解法 3. 分式 (1)如果除式 B 中含有字母,那么称 A/B 为分式,其中 B≠0。当 B=0 时,分式没有意义; 当 A=0,B≠0 时,分式的值为 0. (2)分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式 的值不变 (3)分式的约分、通分和加减乘除四则运算与分数的约分、通分和加减乘除四则运算类似 4. 二次根式 (1)定义:一般的,式子 a ( a≥0 ) 叫做二次根式。其中“ ”叫做二次根号,二次根

号下的 a 叫做被开方数。(根号下的 a 可以是任意代数式,必须被看做一个整体。) 只有当 a 是一个非负数时, a 才有意义。 性质:a.两个非负性:(1)根号下的 a 必须是非负数,表示为 a≥0; (2) a (a≥0)本身是一个非负数.表示为 a ≥0

b.a(a≥0)的平方根是± a , a(a≥0)的算术平方根是 a c. a =│a│=
2

a (a≥0) -a (a<0)

( a )2=a(a≥0)

a · b = ab (a≥0,b≥0)

反过来: ab = a · b (a≥0,b≥0)

a a b = b (a≥0,b>0)

a a 反过来, b = b (a≥0,b>0)

(注意:b 的取值与 a 不相同,因为 b 在分母,所以不能为 0) 要特别注意:不能直接将根号、平方一起去掉,应该有绝对值号,然后再计算绝对值。计算 绝对值的时候,要注意绝对值内代数式的正负性,绝对值内是一个整体 (1) 最简二次根式应满足的条件: a. 被开方数不含分母或分母中不含二次根式; b. 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 (2) 化简最简二次根式的方法: a. 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式; b. 化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化; c. 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号 外的时候要带绝对值,注意符号问题) (3) 二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二 次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部 分不变),不能合并的直接抄下来。 (4) 二次根式的乘法:参照公式,结果要化为最简二次根式。 (5) 二次根式的除法: 二次根式相除, 通常先写成分式的形式, 然后把分母的根号化去。 把分母的根号化去,叫做分母有理化。方法为:(1)分子、分母可以约分;(2) 分子、分母都乘以分母的有理化因式。 (6) 有理化因式: 一般常见的互为有理化因式有如下几类: ① ③ 与 与 ; ; ② ④ 与 与 ; .

(7) 二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减 (8) 同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。判断是否是同 类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。 (9) 二次根式的比较: a. 若 ,则有 ;(2)若 ,则有 .

b. 将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小


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