37.2014高考领航(文)6-5课时

【A 级】

基础训练

1 1 1.“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=?3?x 是指数函数(小前提),所以 y=?3?x ? ? ? ? 是增函数(结论)”,上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 解析:y=ax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错,故选 A. 答案:A 2.(2012· 高考江西卷)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x| +|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 ) B.80 D.92 )

解析:由|x|+|y|=1 的不同整数解的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解的个数为 8,|x| +|y|=3 的不同整数解的个数为 12,归纳推理得|x|+|y|=n 的不同整数解的个数为 4n, 故选 B.(本题用列举法也不难找出|x|+|y|=20 的 80 个不同整数解) 答案:B 3.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质:(ⅰ)1]( A.n C.n-1 B.n+1 D.n2 )

解析:n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=[n-(n-1)]*1+(n-1)=n.故选 A. 答案:A 4.(2013· 山东高考命题专家原创卷)观察等式 13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23 +33+43=(1+2+3+4)2,?,照此规律,第四个等式为________. 解析: 观察前 3 个等式发现等式的左边分别是从 1 开始的前两个正整数、 前三个正整数、 前四个正整数的立方和,等式的右边分别是这几个数的和的平方,因此可得第四个等式 是 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2. 答案:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2 5.(2013· 长春联考)当 n∈N*时,定义函数 N(n)表示 n 的最大奇因数.如 N(1)=1,N(2)=1, N(3)=3,N(4)=1,N(5)=5,N(10)=5,记 S(n)=N(2n 1)+N(2n 1+1)+N(2n 1+2)+?
- - -

+N(2n-1)(n∈N*),则 S(3)=________. 解析:依题意知,S(3)=N(4)+N(5)+N(6)+N(7)=1+5+3+7=16. 答案:16 1 1 1 5 6. (2013· 江西九江模拟)已知 f(n)=1+ + +?+n(n∈N*), 经计算得 f(4)>2, f(8)> , f(16) 2 3 2 7 >3,f(32)> .则有________. 2 n+2 4 5 6 7 解析:因为 f(22)> ,f(23)> ,f(24)> ,f(25)> ,所以当 n≥2 时,有 f(2n)> .故 2 2 2 2 2 填 f(2n)> n+2 (n≥2,n∈N*). 2 n+2 (n≥2,n∈N*) 2

答案:f(2n)>

3 7.已知:sin230° +sin290° +sin2150° , = 2 3 sin25° +sin265° +sin2125° . = 2 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明. 解:一般性的命题为 3 sin2(α-60° )+sin2α+sin2(α+60° . )= 2 证明如下: 左边= 1-cos?2α-120° 1-cos 2α 1-cos?2α+120° ? ? + + 2 2 2

3 1 = - [cos(2α-120° )+cos 2α+cos(2α+120° )] 2 2 3 1 = - (cos 2αcos 120° +sin 2αsin 120° +cos 2α+cos 2α· 120° cos -sin 2αsin 120° ) 2 2 3 1 = - (cos 2α+2cos 2αcos 120° ) 2 2 3 = =右边. 2 ∴结论正确. 8.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那 么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5. (1)求 a18 的值; (2)求该数列的前 n 项和 Sn. 解:(1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,易知 a2n-1=2,

a2n=3(n=1,2,?),故 a18=3. (2)当 n 为偶数时,Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an) 5 =2+2+?+n个2+3+3+?+n个3= n; 2 3 2 2 2 当 n 为奇数时, 5 5 1 Sn=Sn-1+an= (n-1)+2= n- . 2 2 2

?2n 综上所述:S =? 5 1 ?2n-2
5
n

?n为偶数?, ?n为奇数?. 【B 级】 能力提升

1.下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ②由向量 a 的性质|a|2=a2 类比得到复数 z 的性质|z|2=z2; ③方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实数根的条件是 b2-4ac>0 可以类比得 到:方程 az2+bz+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是 b2-4ac>0; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论错误的是( A.①③ C.②③ ) B.②④ D.①④

解析:选项②中若 z=i,则|z|2≠i2,选项③中,若 a,b,c 为实数,则方程有实根.故 选 C. 答案:C 2.在数列{an}中,若存在非零整数 T,使得 am+T=am 对于任意的正整数 m 均成立,那么称 数列{an}为周期数列, 其中 T 叫做数列{an}的周期. 若数列{xn}满足 xn+1=|xn-xn-1|(n≥2, n∈N),且 x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),当数列{xn}的正周期最小时,该数列的前 2 009 项 的和是( A.669 C.1 339 解析:x1=1,x2=a,x3=|a-1|=1-a, x4=|1-a-a|=|1-2a|, 依题意知正周期最小为 3, ∴|1-2a|=1,得 a=1,a=0(舍去), ∴x1=1,x2=1,x3=0,从而 S2 009=1 340.故选 D. ) B.670 D.1 340

答案:D 3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒 1 数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为n(n≥2),其余每个数是它下 1 1 1 1 1 1 1 1 1 一行左右相邻两数的和,如 = + , = + , = + ,?,则第 7 1 2 2 2 3 6 3 4 12 行第 4 个数(从左向右数)为( 1 A. 140 1 C. 60 ) 1 B. 105 1 D. 42

1 1 解析:由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为n”可知,第 7 行第 1 个数为 ,由“其余每 7 1 1 1 个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第 7 行第 2 个数为 - = .同理易知,第 7 6 7 42 行第 3 个数为 答案:A 4.(2013· 山东高考原创卷)对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7? 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19? 根据上述分解规律,若 m2=1+3+5+?+11,p3 的分解中最小的正整数是 21,则 m+ p=________. 解析: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7, 可知 n2=1+3+5+?+(2n-1). 由 ?, 由 m2=1+3+5+?+11,可知 m=6,易知 53=21+23+25+27+29,则 21 是 53 的分解 中最小的正整数,可得 p=5.故 m+p=11. 答案:11 x2 y2 5.(2013· 浙江丽水一模)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1 外,则过 P0 作椭圆的两条切线的切点 a b x0x y0y 为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线方程是 2 + 2 =1.那么对于双曲线则有如下命题: a b x2 y2 若 P0(x0,y0)在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)外,则过 P0 作双曲线的两条切线的切点为 a b P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线方程是________. x2 y2 解析:对于椭圆 2+ 2=1,求其切点弦 P1P2 所在直线方程就是将 x2→x0x,y2→y0y 而得 a b 到的,据此类比可知过 P0 作双曲线的两条切线的切点为 P1,P2,则切点 P1,P2 所在直 x0x y0y 线方程为 2 - 2 =1. a b 1 1 1 1 1 1 - = ,第 7 行第 4 个数为 - = .故选 A. 30 42 105 60 105 140

答案:

x0x y0y - =1 a2 b2

6.(2013· 江西南昌二模)设 M1(0,0),M2(1,0),以 M1 为圆心,|M1M2|为半径作圆交 x 轴于点 M3(不同于 M2), 记作⊙M1; M2 为圆心, 2M3|为半径作圆交 x 轴于点 M4(不同于 M3), 以 |M 记作⊙M2;?;以 Mn 为圆心,|MnMn+1|为半径作圆交 x 轴于点 Mn+2(不同于 Mn+1),记 作⊙Mn;?. 当 n∈N*,过原点作倾斜角为 30° 的直线与⊙Mn 交于 An,Bn,考察下列论断: 当 n=1 时,|A1B1|=2; 当 n=2 时,|A2B2|= 15; 35×42+23-1 当 n=3 时,|A3B3|= ; 3 当 n=4 时,|A4B4|= 35×43-24-1 ;?. 3

由以上论断推测一个一般的结论: 对于 n∈N*,|AnBn|=________. 解析:由已知条件知当 n=1 时,|A1B1|= 当 n=2 时,|A2B2|= 35×40+2-1 =2, 3

35×4-22-1 135 = = 15. 3 3

由此类推,当 n∈N*时, |AnBn|= 答案: 35×4n 1+?-1?n 1×2n-1 . 3 35×4n 1+?-1?n 1×2n-1 3
- - - -

7.(创新题)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的 四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”, 归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式, 并根据你得 到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

解:(1)f(5)=41.

(2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ? 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n, 所以 f(n+1)=f(n)+4n, f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, 1 1 1 1 1 - ?, = = ? f?n?-1 2n?n-1? 2?n-1 n? ∴ 1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ ?1-2+2-3+3-4+?+n-1-n? 2? ? 1 1 =1+ ?1-n? ? 2? 3 1 = - . 2 2n


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