人教版选修4-4抛物线的参数方程_图文

抛物线的参数方程

3.四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标
?p ? ? ,0 ? ?2 ?
? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

准线方程
p x?? 2

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

x?

p 2

x2 ? 2 py

? p ? 0?

? p? ? 0, ? ? 2?

p y?? 2

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

p y? 2

? x ? 2t 2 1、若抛物线的参数方程 为: , ? ? y ? 2t 则抛物线的准线方程为 : ,焦点坐标为: ? x ? 4t 2、若抛物线的参数方程 为: , ? 2 ? y ? 4t 则抛物线的准线方程为 : ,焦点坐标为:

[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时,常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x,y 表示成关于参数的函数),然 后消去参数得普通方程.这种方法是参数法,而涉及曲线上的点 的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标.

[通一类] 2.已知抛物线
2 ? ?x=2t C: ? ? ?y=2t

(t 为参数),设 O 为坐标原点,点 M

在抛物线 C 上,且点 M 的纵坐标为 2,求点 M 到抛物线焦点 的距离.

2 ? x = 2 t ? 解:由? ? ?y=2t

,得 y2=2x,即抛物线的标准方程为 y2=2x.

又∵M 点的纵坐标为 2,∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=-2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(-2)=2+2=2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2.

? x ? 2 pt 2 1.若曲线 ? ( t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M1,M 2所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦 M1 M 2所在直线的斜率是( C ) A、t1 ? t 2 , 1 C、 , t1 ? t 2 B、t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,则可得点M1和M 2的坐标分别为 M1 (2 pt , 2 pt1 ), M 2 (2 pt , 2 pt 2 ) ? k M1 M 2 2 pt1 ? 2 pt 2 1 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt 2 t1 ? t 2
2 1 2 2

[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM

到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线.

[精讲详析]

本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用. 解

答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标,然 后借助中点坐标公式求解.

设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线的延长 线上, 且 M 为线段 OP
? ?x=2t, 的中点, 抛物线的参数方程为? 2 ? y = 2 t , ?

? ?x0=4t, 由中点坐标公式得? 2 ? ?y0=4t ,

1 2 变形为 y0=4x0,即 x2=4y. 表示的为抛物线.

2 ? x = 2 t ? 解:由? ? ?y=2t

,得 y2=2x,即抛物线的标准方程为 y2=2x.

又∵M 点的纵坐标为 2,∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=-2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(-2)=2+2=2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2.

[悟一法] 对于同一个方程,确定的参数不同, 所表示的曲线就不同, 当题目条件中出现多个字母时,一定要注明什么是参数,什么是 常量,这一点尤其重要.
[通一类]
? ?x= 5cos 3.(2011· 广东高考)已知两曲线参数方程分别为? ? ?y=sin θ

θ

5 ? ?x= t2 4 (0≤θ≤π)和? (t∈R), 它们的交点坐标为___________. ? ?y= t

? ?x= 5cos 解析:由? ? ?y=sin θ

θ

x2 2 (0≤θ≤π)得 5 +y =1(y≥0),

52 ? ?x= t 5 2 4 ? 由 (t∈R)得 x=4y . ? ? y= t
2 ?x 2 + y =1, ?5 联立方程可得? ?x=5y2 4 ?

则 5y4+16y2-16=0,

4 5 2 2 解得 y =5或 y =-4(舍去),则 x=4y =1.
2

2 5 又 y≥0,所以其交点坐标为(1, 5 ).

2 5 答案:(1, 5 )

本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互 化.2012 年天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义 的应用,属低档题. [考题印证]
2 ? x = 2 pt , ? (2012· 天津高考)已知抛物线的参数方程为? ? ?y=2pt,

(t 为参

数),其中 p>0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂 线, 垂足为 E.若|EF|=|MF|, 点 M 的横坐标是 3, 则 p=________.

[命题立意]

本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化

及抛物线定义的应用.

[解析]

由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点

p p F(2,0),准线 x=-2,设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|=|MF|,所以△MEF 是正三角形,在 Rt△EFA 中,|EF| p =2|FA|,即 3+2=2p,得 p=2.
[答案] 2

例2.设M 为抛物线y ? 2 x上的动点, 给
2

定点M 0 ( ?1, 0), 点P为线段M 0 M的中点, 求点P的轨迹方程。

例3.如图O是直角坐标原点, A, B是抛物线 y ? 2 px( p ? 0)上异于顶点的两动点,且
2

OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于点M, 求点M的轨迹方程。

y o

A M

x
B

解 : 根据条件, 设点M , A, B的坐标分别为( x , y ),
2 (2 pt12 , 2 pt1 ),(2 pt 2 , 2 pt 2 )( t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0) 2 则 OM ? ( x , y ), OA ? (2 pt12 , 2 pt1 ), OB ? (2 pt 2 , 2 pt 2 ) ? ? ?

AB ? (2 p( t ? t ), 2 p( t 2 ? t1 ))
2 2 2 1

?

因为 OA ? OB , 所以 OA? OB ? 0, 即 (2 pt1t 2 )2 ? (2 p)2 t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1...........(8)

?

?

?

?

因为 OM ? AB, 所以 OM ? OB ? 0, 即
2 2 px( t 2 ? t12 ) ? 2 py( t 2 ? t1 ) ? 0

?

?

?

?

所以x( t1 ? t 2 ) ? y ? 0, y 即t1 ? t 2 ? ? ( x ? 0)................................(9) x 因为 AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ),
2 MB ? (2 pt 2 ? x , 2 pt 2 ? y )且A, M , B三点共线, ? ?

2 所以( x ? 2 pt12 )(2 pt 2 ? y ) ? (2 pt 2 ? x )( y ? 2 pt1 )

化简,得y( t1 ? t 2 ) ? 2 pt1 t 2 ? x ? 0...............(10) 将(8),(9)代入(10), 得到 y y( ? ) ? 2 p ? x ? 0 x 2 2 即x ? y ? 2 px ? 0( x ? 0) 这就是点M的轨迹方程

说明:设出参数能大大 简化运算。

探究:在例3中, 点A, B在什么位置时, ?AOB的面积最小?最小值是多少 ?
由例3可得
2 2 OA = (2 pt1 ) ? (2 pt1 )2 ? 2 p t1 2 2 OB ? (2 pt 2 ) ? (2 pt 2 )2 ? 2 p t 2 2 t1 ?1 2 t2 ?1

所以,?AOB的面积为 S ?AOB ? 2 p 2 t1 t 2
2 ( t12 ? 1) ? ( t 2 ? 1)

2 2 ? 2 p 2 t1 ? t2 ? 2 ? 2 p 2 ( t1 ? t 2 ) 2 ? 4 ? 4 p 2

当且仅当t1 ? ? t 2,即当点A, B关于x轴对称时, ?AOB的面积最小,最小值为4 p 2 .

4. (见教材P 35第4题)已知A, B, C 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0)上的三个点,且BC与x轴垂直,
2

直线AB, AC 分别与抛物线的轴交于D,E两点. 求证:抛物线的顶点平分线段DE .

5.(见教材P 35第5题)经过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB ,以直 线OA的斜率k为参数, 求线段AB的中点M的轨迹 的参数方程.

小节: 1、抛物线的参数方程的形式 2、抛物线参数的意义


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