高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修22_图文

新课标导学

数 学
选修2-2 ·人教A版

第一章

导数及其应用

1.4 生活中的优化问题举例

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

低碳生活 (lowcarbon life) 可以理解为减少二氧化碳的排 放, 就是低能量、 低消耗、 低开支的生活. 低碳生活节能环保, 势在必行.现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们希望汽 油的使用效率最高, 即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油 能使汽车行驶的路程最长. 如何使汽油的使用效率最高?

? 1.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的 自变量 变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中 ________的取值范围. 最值 ? 2.实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值就是 ________. ? 3.解决优化问题的基本思路:

1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关 1 系式为 y=-3x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( C ) A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件

[ 解析]

1 3 ∵y=-3x +81x-234,

∴y′=-x2+81(x>0). 令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 得 0<x<9, ∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值.故选 C.

2.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则其表面积最小时,底面边长 为( C ) A. V 3 C . 4V 3 B. 2V 3 D.2 V 3

[ 解析]

如图,设底面边长为 x(x>0),

3 2 V 4V 则底面积 S= 4 x ,∴h= S = 2. 3x 4V 3 2 4 3V 3 2 4 3V S 表=x· 2×3+ 4 x ×2= x + 2 x ,S′表= 3x- x2 ,令 S′表=0 得 x 3x = 4V,因为 S 表只有一个极值,故 x= 4V为最小值点. 3 3

? 3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相 144 同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大 值为________cm3.
[ 解析] 设小正方形边长为 x,则盒子的容积为 V=x(10-2x)(16-2x), 即 V=4(x3-13x2+40x),(0<x<5),V′=4(3x2-26x+40)=4(3x-20)(x-2), 20 令 V′=4(3x-20)(x-2)=0 得,x=2,x= 3 (不符合题意,舍去),x=2 是唯 一极值点也就是最值点, 所以,x=2 时,盒子容积的最大值为 144cm3.

4.一张 1.4m 高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼 睛 1.8m,要使观察者观察得最清晰,他与墙的距离应为(视角最 大时最清晰, 视角是指观察图片上底的视线与观察图片下底的视线
2.4 m . 所夹的角)________
[ 解析] 如图所示,设 OD=x,∠ADO=β,∠BDO=γ,α 为视角,则 α=γ

3.2 1.8 -β,tanγ= x ,tanβ= x ,tanα=tan(γ-β)= 3.2 1.8 tanγ-tanβ x - x 1.4x = = 2 (x>0), 1+tanγtanβ 3.2×1.8 x +5.76 1+ x2

1.4?x2+5.76?-2x×1.4x 令(tanα)′= =0, ?x2+5.76?2 解得 x=2.4 或 x=-2.4(舍去), 在 x=2.4 附近,导数值由正到负, 所以在 x=2.4 时,tanα 取得最大值,α 也取得最大值.

互动探究学案

命题方向1 ?面积、容积最大问题
典例 1 有一块边长为 a 的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相

同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方 形边长应为多少?

? [思路分析] 设截下的小正方形边长为x,用x表示出长方 体的边长,根据题意列出关系式,然后利用导数求最值.
[ 解析] 设截下的小正方形边长为 x,容器容积为 V(x),则做成的长方体形无
2

a 盖容器底面边长为 a-2x,高为 x,V(x)=(a-2x) x,0<x<2. a 即 V(x)=4x -4ax +a x,0<x<2.
3 2 2

实际问题归结为求

? a? V(x)在区间?0,2?上的最大值点.为此,先求 ? ?

V(x)的极值

? a? 点.在开区间?0,2?内,V′(x)=12x2-8ax+a2. ? ?

令 V′(x)=0,得 12x2-8ax+a2=0. 1 1 解得 x1=6a,x2=2a(舍去). ? a? 1 x1=6a 在区间?0,2?内,x1 可能是极值点.且 ? ? 当 0<x<x1 时,V′(x)>0; a 当 x1<x<2时,V′(x)<0. 因此
? a? x1 是极大值点,且在区间?0,2?内,x1 ? ?

1 是唯一的极值点,所以 x=6a 是

V(x)的最大值点. 1 即当截下的小正方形边长为6a 时,容积最大.

? 『规律总结』 面积、体积(容积)最大,周长最短,距离 最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求 解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法 求解,最后检验.

? 〔跟踪练习1〕 ? (2017·临沂高二检测)如图,要设计一张矩形广告牌,该 广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广 告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?

[ 解析]

设广告牌的高和宽分别为 xcm、ycm,则每栏的高和宽分别为 x-20,

y-25 2 ,其中 x>20,y>25. y-25 18000 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18000,由此得 y= +25 x-20 广告的面积
?18000 ? 18000x ? S=xy=x?x-20 +25? ?= x-20 +25x ? ?

360000 整理得 S= +25(x-20)+18500. x-20 因为 x-20>0 所以 S≥2 =24500. 360000 +25?x-20?+18500 x-20

360000 当且仅当 =25(x-20)时等号成立,此时有(x-20)2=14400(x>20) x-20 解得 x=140 18000 代入 y= +25,得 y=175. x-20 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小.

命题方向2 ?利润最大问题
典例 2
某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价

1 2 格 P(元/吨)之间的关系为 P=24200-5x ,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 元.问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润 =收入-成本).

[ 思路分析]

根据题意,月收入=月产量×单价=px,月利润=月收入-成本

=px-(50000+200x)(x≥0),列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大 值.

[ 解析]

每月生产 x 吨时的利润为

1 2 f(x)=(24200-5x )x-(50000+200x) 1 3 =-5x +24000x-50000 (x≥0). 3 2 由 f ′(x)=-5x +24000=0, 解得 x1=200,x2=-200(舍去). 因 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f ′(x)=0,故它就是最大值点,且 1 最大值为:f(200)=-5×2003+24000×200-50000=3150000(元) 答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

? 『规律总结』 利润最大、效率最高等实际问题,关键是 弄清问题的实际背景,将实际问题用函数关系表达,再求 解.

〔跟踪练习 2〕 1 2 已知某厂生产 x 件产品的成本为 c=25000+200x+40x (元). (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?
[ 解析] (1)设平均成本为 y 元,则

1 2 25000+200x+40x 25000 x y= = x +200+40(x>0), x
?25000 x? 25000 1 ? ? + 200 + y′= x 40?′=- x2 +40. ?

? ? ? ? ?

令y′=0,得x1=1000,x2=-1000(舍去). 当在x=1000附近左侧时,y′<0; 在x=1000附近右侧时,y′>0; 故当x=1000时,y取得极小值. 由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小值 ,因此要使平均成本最低,应生产1000件产品.

x2 (2)利润函数为 L=500x-(25000+200x+40) x2 =300x-25000-40. x ∴L′=300-20. 令 L′=0,得 x=6000,当 x 在 6000 附近左侧时,L′>0;当 x 在 6000 附近 右侧时,L′<0,故当 x=6000 时,L 取得极大值. 由于函数只有一个使 L′=0 的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点 取得最大值.因此,要使利润最大,应生产 6000 件产品.

命题方向3 ?费用(用料)最省问题

?

有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸 边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km 的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此 岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费 用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才 能使水管费用最省? ? [思路分析] 设出CD的长为x,进而求出AC、BC,然后将 总费用表示为变量x的函数,转化为求函数的最值问题.
典例 3

[ 解析]

如图所示,依题意,点 C 在直线 AD 上,设 C

点距 D 点 x km. 因为 BD=40,AD=50,所以 AC=50-x. 所以 BC= BD2+CD2= x2+402. 又设总的水管费用为 y 元,则 y=3a(50-x)+5a x2+402(0<x<50). 5ax 所以 y′=-3a+ 2 2 . x +40

令 y′=0,解得 x1=30,x2=-30(舍去). 当 x<30 时,y′<0;当 x>30 时,y′>0. 所以当 x=30 时,取得最小值,此时 AC=50-x=20(km), 即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.

? 『规律总结』 用料最省、费用最低问题出现的形式多与 几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往 要从几何体的面积、体积入手),将这一指标表示为关于 自变量x的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定 要注意自变量的取值范围.

〔跟踪练习 3〕 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为 64π 圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为 3 立方米.假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球体部分每平方米建造费用为 4 千元.设该容器的总建造费用为 y 千元.
(1)将 y 表示成 r 的函数, 并求该函数的 定义域; (2)确定 r 和 l 为何值时, 该容器的建造 费用最小,并求出最小建造费用.

[ 解析]

64π 4πr3 64 64 2 (1)因为容器的体积为 3 立方米, 所以 3 +πr l= 3 π, 解得 l=3r2-

4 64 4 128π 8πr2 3r,所以圆柱的侧面积为 2πrl=2πr(3r2-3r)= 3r - 3 , 两端两个半球的表面积之和为 4πr2, 128π 8πr2 128π 2 所以 y=( 3r - 3 )×3+4πr ×4= r +8πr2. 64 4 4 4 又 l=3r2-3r>0?r<23,所以定义域为(0,23).

16π?r -8? 128π (2)因为 y′=- r2 +16πr= , r2 4 所以令 y′>0 得 2<r<23;令 y′<0 得 0<r<2, 8 所以当 r=2 时,该容器的建造费用最小为 96π 千元,此时 l=3.

3

利用基本不等式处理优化问题

? 在解决生活中遇到的优化问题时,基本不等式在解决此类 问题中有广泛的应用.利用基本不等式求最值时,必须注 意使用的前提以及等号成立的条件成立,否则易犯错误, 注意f′(x0)=0的x0是否在定义域内,从而进行分类讨论.

?

某船由甲地逆水行驶至乙地,甲、乙两地相距 s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度 为b(km/h)(b>a),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与 船在静水中的速度的平方成正比,比例系数为k,问:船 在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最省?
典例 4
[ 解析] 设船在静水中的航行速度为 xkm/h,全程的燃料费用为 y 元, s 由题设可得 y= · kx2,x∈(a,b]. x-a ?x-a?2+2a?x-a?+a2 x2 ∴y=ks· =ks· x-a x-a a2 =ks[(x-a)+ +2a]. x-a

a2 当 2a≤b 时,y=ks[(x-a)+ +2a] x-a ≥ks(2 a2+2a), 当且仅当 x=2a 时,ymin=4aks. 当 2a>b 时,令 t=x-a, 则 t∈(0,b-a]. a2 ∴y=ks(t+ t +2a), ?t-a??t+a? a2 ∴y′=ks(1- t2 )=ks . t2

令 0<t≤b-a, ∴-a<t-a≤b-2a<0, a2 ∴y′<0,即 y=ks(t+ t +2a)在(0,b-a]上是递减的, 1 ∴当 t=b-a,即 x=b 时,ymin=ksb . b-a
2

综上可知,当 b<2a 时,船在静水中的速度为 bkm/h 时,航行燃料费用最省. 当 b≥2a 时,船在静水中的速度为 2akm/h 时,航行燃料费用最省.

? 〔跟踪练习4〕 ? 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水 处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为 400元/m2,中间两道隔墙建造单价为248元/m2,池底建造单 价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计. ? (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出 最低总造价; ? (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设 计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

[ 解析]

(1)设污水处理池的长为 xm,

200 则宽为 x m, 200 200 再设总造价为 y 元, 则有 y=2x×400+ x ×2×400+248×2× x +80×200 259200 =800x+ x +16000≥2 259200 800x· x +16000

=2×800×18+16000=44800, 259200 当且仅当 800x= x .即 x=18m 时,y 取得最小值. 100 ∴当污水池的长为 18m,宽为 9 m 时总造价最低,为 44800 元.

200 (2)∵0<x≤16,0< x ≤16, ∴12.5≤x≤16,x≠18, ∴不能用基本不等式,但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间 [12.5,16] 上是减函数,从而利用单调性求得最小值.当然也可以利用导数解决. 324 由(1)知,y=φ(x)=800(x+ x )+16000(12.5≤x≤16). 解法 1:利用定义证明单调性. 对任意 x1,x2∈[12.5,16] ,设 x1<x2, 1 1 则 φ(x1)-φ(x2)=800[(x1-x2)+324(x -x )] 1 2 800?x1-x2??x1x2-324? = >0. xx
1 2

∴φ(x1)>φ(x2), 故 y=φ(x)在[12.5,16] 上为减函数. 从而有 φ(x)≥φ(16)=45000. 解法 2:利用导数判断单调性.
2 x -324 324 y′=φ′(x)=800(1- x2 ),当 12.5≤x≤16 时,y′=800· x2 <0,

∴φ(x)在[12.5,16] 上为减函数. 从而 φ(x)≥φ(16)=45000. 所以, 当该池的长为 16m, 宽为 12. 5m 时, 总造价最低, 最低总造价为 45000 元.

?

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶 到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输 成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分 与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分 为a元. ? (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并 指出这个函数的定义域; ? (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
典例 5

含参数的函数求最值时,注意极值与参数取值的关 系

[ 错解]

s (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v,全程运输成本

?a ? ?a ? s 2 s ? +bv?,所求函数及其定义域为 y=s? +bv?,v∈(0,c]. 为 y=a· v+bv · v=s?v ? ?v ?

(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数, 由
? a? y′=s?b-v2?=0 ? ?

得 v=±

a ab b,又 0<v≤c,所以当 v= b (※)时,全程运

输成本 y 最小.

[ 辨析]

ab 第(2)问中 b 与 c 未进行比较大小而直接得出结论,故错误.

[ 正解] 当
? v∈? ?0, ?

ab ab 上接错解※处,①若 b ≤c,则 v= b 是使 y 的导数为 0 的点,且
? a? ? ? 时, y ′≤ 0 ; v ∈ ? b? ? ?

ab a ? ? 时,y′≥0.所以当 v= b 时,全程运 b,c? ?

输成本 y 最小. ab ②若 b >c,v∈(0,c],此时 y′<0,即 y 在(0,c]上为减函数.所以当 v=c 时,y 最小. ab ab ab 综上可知, 为使全程运输成本 y 最小. 当 b ≤c 时, 行驶速度 v= b ; 当 b >c 时,行驶速度 v=c.

? [点评] 若函数f(x)的解析式或定义域中含有参数,参数的 取值可能引起函数最值的变化,这时要注意分类讨论.

1.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增 1 ? ?400x- x2?0≤x≤400?, 2 加 100 元, 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 则 ? ?80000?x>400?, 总利润最大时,每年生产的产品是( D ) A.100 C.250 B.200 D.300

[ 解析]

由题意知,总成本为 C=20000+100x,所以总利润为

1 2 ? ?300x- x -20000?0≤x≤400?, 2 P=R-C=? ? ?60000-100x?x>400?,
? ?300-x?0≤x≤400?, P′=? ? ?-100?x>400?.

令 P′=0,当 0≤x≤400 时,得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立,易知 当 x=300 时,总利润最大.

2.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为( A ) 2 3 A. 3 R 3 3 C. 2 R 3 B. 3 R 3 D. 2 R

[ 解析]

作轴截面如图所示,设圆柱体高为 2h,则底面半径为 R2-h2,圆柱

体体积为 V=π· (R2-h2)· 2h=2πR2h-2πh3. 令 V′=0 得 2πR2-6πh2=0, 3 2 3 ∴h= 3 R.即当 2h= 3 R 时,圆柱体的体积最大.

? 3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一 边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌 壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 ( ) A ? A.32 16 B.30 15 ? C.40 20 D.36 18
[ 解析] 要求用料最省,则要求新砌的墙壁总长最短,设场地宽为 x 米,则长 512 512 512 为 x 米,因此新墙总长为 L=2x+ x (x>0),则 L′=2- x2 , 令 L′=0 得 x=± 16,又 x>0, 512 ∴x=16,则当 x=16 时,Lmin=64,∴长为 16 =32(米).

? 4.如图将一个矩形花坛ABCD扩建 成一个更大的矩形花坛AMPN,要求 B在AM上,D在AN上,且对角线MN 过C点,|AB|=3m,|AD|=2m.
(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32m2,则 AN 的长应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. (3)若 AN 的长度不小于 6m,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最 小?并求出最小面积.

[ 解析]

设 AN 的长为 xm(x>2),

|DN| |DC| 3x ∵ |AN| =|AM|,∴|AM|= . x-2 3x2 ∴S 矩形 AMPN=|AN|· |AM|= . x-2 3x 2 (1)由 S 矩形 AMPN>32 得 >32. x-2 ∵x>2,∴3x2-32x+64>0,即(3x-8)(x-8)>0, 8 ∴2<x<3或 x>8, 8 即 AN 的长度的取值范围是(2,3)∪(8,+∞).

3x2 (2)设 S 矩形 AMPN=y,则 y= x-2 3?x-2?2+12?x-2?+12 12 = =3(x-2)+ +12 x-2 x-2 ≥2 12 3?x-2?· +12=24. x-2

12 3x2 当且仅当 3(x-2)= ,即 x=4 时,y= 取得最小值,即当 AN 的长度 x-2 x-2 为 4m 时,S 矩形 AMPN 取得最小值 24m2.

2 6 x ? x - 2 ? - 3 x 3x?x-4? 3x (3)令 y= ,则 y′= = . x-2 ?x-2?2 ?x-2?2 2

3x 2 ∴当 x>4 时,y′>0,即函数 y= 在(4,+∞)上单调递增, x-2 3x2 ∴函数 y= 在[6,+∞)上也单调递增. x-2 3x2 ∴当 x=6 时,y= 取得最小值,即当 AN 的长度为 6m 时,S 矩形 AMPN 取得 x-2 最小值 27m2.


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