高一(上)期末数学试卷12

2011-2012 学年山东省济宁市鱼台县二中高一 (上) 期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. (5 分)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,则( A.b>a>0 B.a>0>b ) C.a>b>0 ) D.2:9 D.b>0>a

2. (5 分)如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为( A.8:27 B.2:3 C.4:9

3. (5 分)已知函数 A .9 B.

,那么 C.﹣9

的值为(

) D.

4. (5 分)某学生从家里去学校上学,骑自行车一段时间,因自行车爆胎,后来推车步行,下图中横轴表示出发后 的时间,纵轴表示该生离学校的距离,则较符合该学生走法的图是( ) A. B. C. D.

5. (5 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥ 底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中

点,则下列叙述正确的是(

) B. AC⊥ 平面 ABB1A1 D.A1C1∥ 平面 AB1E

A.CC1 与 B1E 是异面直线 C. AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥ B1C1

6. (5 分) (2005?辽宁)已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ① 若 m⊥ α,m⊥ β,则 α∥ β; ② 若 α⊥ γ,β⊥ α,则 α∥ β; ③ 若 m∥ α,n∥ β,m∥ n,则 α∥ β; ④ 若 m、n 是异面直线,m⊥ α,m∥ β,n⊥ β,n∥ α,则 α⊥ β 其中真命题是( ) A .① 和② B.① 和③ C .③ 和④ D.① 和④ 7. (5 分) (2004?陕西)圆 x +y ﹣4x=0 在点 P(1, A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0
2 2

)处的切线方程为( C.x﹣ y+4=0

) D.x﹣ y+2=0

8. (5 分)已知 a=0.3 ,b=3 ,c=log0.33,则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c 9. (5 分)函数 y=1﹣cosx,x∈[0,2π]的大致图象是( A. B. ) C.

3

0.3

) D.c<b<a

D.

10. (5 分) (2004?重庆)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( A. B. C. ﹣ ﹣

) D.

11. (5 分)函数 y=3 +x﹣2 的零点所在的大致区间是(参考数据 A. B. C.

x



) ( D.(1,2)



12. (5 分)△ ABC 中,sinA=2sinCcosB,那么此三角形是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形

D.直角三角形

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分共 20 分.请把答案直接填在题中横线上. 13. (5 分) (2006?上海)已知集合 A={﹣1,3,2m﹣1},集合 B={3,m }.若 B?A,则实数 m= 14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,且 f(m+1)>f(2m﹣1) ,则 m 的取值范围是
2

_________ . _________ .

15. (5 分)设点 A(2,0) ,B(4,2) ,点 P 在直线 AB 上,且|

|=2|

|,则点 P 的坐标为 _________ .

16. (5 分)已知函数 平移

,给出下列命题:① f(x)的图象可以看作是由 y=sin2x 的图象向左 )的图象保持纵坐标不变,横坐标缩小为原来的 而

个单位而得;② f(x)的图象可以看作是由 y=sin(x+

得;③ 函数 y=|f(x)|的最小正周期为 你认为正确的所有结论的序号)

;④ 函数 y=|f(x)|是偶函数.其中正确的结论是: _________ . (写出

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知函数 y= (1)令 t=log2x,求 y 关于 t 的函数关系式,t 的范围. (2)求该函数的值域. 18. (12 分) 设平面 α∥ β, 两条异面直线 AC 和 BD 分别在平面 α、 β 内, 线段 AB、 CD 中点分别为 M、 N, 设 MN=a, 线段 AC=BD=2a,求异面直线 AC 和 BD 所成的角. (2≤x≤4)

19. (12 分)已知 M 为圆 C:x +y ﹣4x﹣14y+45=0 上任一点,且点 Q(﹣2,3) . (Ⅰ )若 P(a,a+1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (Ⅱ )求|MQ|的最大值和最小值; (Ⅲ )若 M(m,n) ,求 的最大值和最小值.

2

2

20. (12 分) (2007?江西)如图,函数 ,且在该点处切线的斜率为﹣2. (1)求 θ 和 ω 的值; (2)已知点 时,求 x0 的值.

的图象与 y 轴交于点

,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当



21. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上的增函数,令 g(x)=f(x)﹣f(2010﹣x) (1)求证 g(x)+g(2010﹣x)时定值; (2)判断 g(x)在 R 上的单调性,并证明; (3)若 g(x1)+g(x2)>0,求证 x1+x2>2010. 22. (12 分)设函数 f(x)=loga(1﹣x) ,g(x)=loga(1+x) (a>0 且 a≠1) . (1)设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,判断 F(x)的奇偶性并证明; (2)若关于 x 的方程 (3)若 a>1 且在 x∈[0,1]时, 有两个不等实根,求实数 m 的范围; 恒成立,求实数 m 的范围.

2011-2012 学年山东省济宁市鱼台县二中高一 (上) 期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. (5 分)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,则( ) A.b>a>0 B.a>0>b C.a>b>0 D.b>0>a 考点: 专题: 分析: 解答: 对数值大小的比较. 计算题. 构造函数,从函数值的范围上即可比较大小
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解:设函数 f(x)=log0.7x,g(x)=log1.1x 则 a=f(0.8)=log0.70.8,b=g(0.9)=log1.10.9 由函数 f(x)=log0.7x,g(x)=log1.1x 的性质知 a=log0.70.8>log0.71=0,b=log1.10.9<log1.11=0 ∴ a>0>b 故选 B 点评: 本题考查对数值比较大小,可先从函数值的范围上比较大小,不能从范围上比较大小的须构造函数根据单 调性或数形结合比较大小.属简单题 2. (5 分)如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为( A.8:27 B.2:3 C.4:9 考点: 专题: 分析: 解答: ) D.2:9

球的体积和表面积. 计算题. 据体积比等于相似比的立方,求出两个球的半径的比,表面积之比等于相似比的平方,即可求出结论. 解:两个球的体积之比为 8:27,根据体积比等于相似比的立方,表面积之比等于相似比的平方, 可知两球的半径比为 2:3, 从而这两个球的表面积之比为 4:9. 故选 C. 点评: 本题是基础题,考查相似比的知识,考查计算能力,常考题.
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3. (5 分)已知函数 A .9 B.

,那么 C.﹣9

的值为(

) D.

考点: 函数的概念及其构成要素. 分析: 由 ,进而 f( )= 解答:

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,又因为﹣2<0,所以 f[f( )]=f(﹣2)=3 ,求出答案.
﹣2

﹣2

解:∵ f[f( )]=f(﹣2)=3 = .

故选 B. 点评: 根据分段函数在不同段的表达式不同求函数值的问题经常在选择题中出现,应给与注意.

4. (5 分)某学生从家里去学校上学,骑自行车一段时间,因自行车爆胎,后来推车步行,下图中横轴表示出发后 的时间,纵轴表示该生离学校的距离,则较符合该学生走法的图是( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的图象与图象变化. 作图题. 先利用函数的单调性排除两项,再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果 解:随着时间的增加,距学校的距离在减小,即函数图象应为减函数,排除 A、C 曲线的斜率反映行进的速度,斜率的绝对值越大速度越大,步行后速度变小,故排除 B 故选 D 点评: 本题考查了函数单调性,函数图象的倾斜角的实际意义,排除法解选择题
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5. (5 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥ 底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中

点,则下列叙述正确的是(

) B. AC⊥ 平面 ABB1A1 D.A1C1∥ 平面 AB1E

A.CC1 与 B1E 是异面直线 C. AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥ B1C1

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;综合法. 分析: 由题意,此几何体是一个直三棱柱,且其底面是正三角形,E 是中点,由这些条件对四个选项逐一判断得 出正确选项 解答: 解:A 不正确,因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中,故不是异面直线; B 不正确,由题意知,上底面 ABC 是一个正三角形,故不可能存在 AC⊥ 平面 ABB1A1; C 正确,因为 AE,B1C1 为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线; D 不正确, 因为 A1C1 所在的平面与平面 AB1E 相交, 且 A1C1 与交线有公共点, 故 A1C1∥ 平面 AB1E 不正确; 故选 C. 点评: 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解题的关键是理解清楚题设条件,根据所学的定理,定义对 所面对的问题进行证明得出结论,本题考查空间想像能力以及推理谁的能力,综合性较强.
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6. (5 分) (2005?辽宁)已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ① 若 m⊥ α,m⊥ β,则 α∥ β; ② 若 α⊥ γ,β⊥ α,则 α∥ β; ③ 若 m∥ α,n∥ β,m∥ n,则 α∥ β; ④ 若 m、n 是异面直线,m⊥ α,m∥ β,n⊥ β,n∥ α,则 α⊥ β 其中真命题是( ) A .① 和② B.① 和③ C .③ 和④ D.① 和④ 考点: 平面与平面平行的判定.

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专题: 探究型. 分析: 要求解本题,需要寻找特例,进行排除即可. 解答: 解:① 因为 α、β 是不重合的平面,m⊥ α,m⊥ β,所以 α∥ β; ② 若 α⊥ γ,β⊥ α,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,可知 α 不一定平行 β; ③ m∥ α,n∥ β,m∥ n,αβ 可能相交,不一定平行; ④ 因为 mn 两直线是异面直线,可知不平行,又因为 m⊥ α,m∥ β,n⊥ β,n∥ α,可知 α、β 只能满足垂直关系. 故选 D. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,是基础题. 7. (5 分) (2004?陕西)圆 x +y ﹣4x=0 在点 P(1, A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0
2 2

)处的切线方程为( C.x﹣ y+4=0

) D.x﹣ y+2=0

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点为圆的切线方程. (1)我们可设出直线的点斜式方程,联立直线和圆的方程,根据一元 二次方程根与图象交点间的关系,得到对应的方程有且只有一个实根,即△ =0,求出 k 值后,进而求出直线 方程. (2)由于点在圆上,我们也可以切线的性质定理,即此时切线与过切点的半径垂直,进行求出切线 的方程. 解答: 解:法一: 2 2 x +y ﹣4x=0 2 2 y=kx﹣k+ ?x ﹣4x+(kx﹣k+ ) =0.
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该二次方程应有两相等实根,即△ =0,解得 k= ∴ y﹣ = (x﹣1) ,



即 x﹣ y+2=0. 法二: 2 2 ∵ 点(1, )在圆 x +y ﹣4x=0 上, ∴ 点 P 为切点,从而圆心与 P 的连线应与切线垂直. 又∵ 圆心为(2,0) ,∴ 解得 k= , y+2=0. ?k=﹣1.

∴ 切线方程为 x﹣ 故选 D

点评: 求过一定点的圆的切线方程,首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为切点,若点 P(x0,y0) 2 2 2 2 在圆(x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0)上,则 过点 P 的切线方程为(x﹣a) (x0﹣a)+(y﹣b) (y0﹣b)=r (r>0) ;若在圆外,切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率 只有一个,应找出过这一点与 x 轴垂直的另一条切线. 8. (5 分)已知 a=0.3 ,b=3 ,c=log0.33,则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c 考点: 专题: 分析: 解答:
3 0.3

) D.c<b<a

对数值大小的比较;指数函数的单调性与特殊点. 计算题. 由指数函数、幂函数、与对数函数的性质即可判断 a、b、c 的大小.
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解:∵ 0<a=0.3 <1,c=log0.33<log0.31=0,b=3 >3 =1, ∴ c<a<b. 故选 B.

3

0.3

0.3

点评: 本题考查对数值大小的比较,关键在于掌握三类函数的性质并灵活运用之,注意与 0 与 1 的比较,属于基 础题. 9. (5 分)函数 y=1﹣cosx,x∈[0,2π]的大致图象是( A. B. ) C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦函数的图象. 应用题. 只要检验函数的一些特殊点的坐标,排除错误选项,找出正确选项即可 解:只要检验函数的一些特殊点的坐标,排除错误选项,找出正确选项即可 当 x=0 时,f(0)=1﹣cos0=0,故可排除选项 A,B,C 故选 D 点评: 本题目主要考查了余弦函数的图象的变化中的平移变化,解题的关键是熟练掌握余弦函数的图象
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10. (5 分) (2004?重庆)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( A. B. C. ﹣ ﹣

) D.

考点: 两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值. 分析: 通过两角和公式化简,转化成特殊角得出结果. 解答: 解:原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223° =cos(163°﹣223°) =cos(﹣60°) = .

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故答案选 B 点评: 本题主要考查了正弦函数的两角和与差.要熟练掌握三角函数中的两角和公式.
x

11. (5 分)函数 y=3 +x﹣2 的零点所在的大致区间是(参考数据 A. B. C.



) ( D.(1,2)



考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 由于 当 x= 时,y= 解答:

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+ ﹣2<0,当 x= 时,y=

+ ﹣2>0,由此可得函数的零点所在的大致区间.

解:∵ 函数 y=3 +x﹣2,当 x= 时,y=

x

+ ﹣2<0.

当 x= 时,y=

+ ﹣2>0,

故函数 y=3 +x﹣2 的零点所在的大致区间是

x



故选 B. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 12. (5 分)△ ABC 中,sinA=2sinCcosB,那么此三角形是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形

D.直角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由三角形的内角和及诱导公式得到 sinA=sin(B+C) ,右边利用两角和与差的正弦函数公式化简,再根据已 知的等式,合并化简后,再利用两角和与差的正弦函数公式得到 sin(B﹣C)=0,由 B 与 C 都为三角形的 内角,可得 B=C,进而得到三角形为等腰三角形. 解答: 解:∵ A+B+C=π,即 A=π﹣(B+C) ,∴ sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC. 又 sinA=2cosBsinC,∴ sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC. 变形得:sinBcosC﹣cosBsinC=0,即 sin(B﹣C)=0. 又 B 和 C 都为三角形内角,∴ B=C,则三角形为等腰三角形. 故选 C. 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有诱导公式,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角 函数值,熟练掌握公式是解本题的关键,同时注意三角形内角和定理及三角形内角的范围的运用,属于中 档题.
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二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分共 20 分.请把答案直接填在题中横线上. 2 13. (5 分) (2006?上海)已知集合 A={﹣1,3,2m﹣1},集合 B={3,m }.若 B?A,则实数 m=

1 .

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 根据题意,若 B?A,必有 m =2m﹣1,而 m =﹣1 不合题意,舍去,解可得答案,注意最后进行集合元素 互异性的验证. 2 解答: 解:由 B?A,m ≠﹣1, 2 ∴ m =2m﹣1.解得 m=1. 验证可得符合集合元素的互异性, 此时 B={3,1},A={﹣1,3,1},B?A 满足题意. 故答案为:1 点评: 本题考查元素的互异性即集合间的关系,注意解题时要验证互异性,属于基础题.
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14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,且 f(m+1)>f(2m﹣1) ,则 m 的取值范围是 m<2 . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,不知具体的函数解析式,仅知道函数单调性时,利用函数的单 调性定义把抽象函数的法则去掉,得到要找的字母的等价不等式进而求解即可. 解答: 解:因为函数 f(x)是定义在 R 上的增函数, 所以 f(m+1)>f(2m﹣1)?m+1>2m﹣1?m<2. 故答案为:m<2. 点评: 此题考查了利用函数的单调性定义得到,函数为定义域上的单调递增函数时,f(x1)<f(x2)?x1<x2, 这一结论的应用.
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15. (5 分)设点 A(2,0) ,B(4,2) ,点 P 在直线 AB 上,且|

|=2|

|,则点 P 的坐标为 (3,1)或(1,﹣1) .

考点: 向量的模. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得点 P 分
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成的比 λ=

=1 或﹣ ,分别利用定比分点坐标公式求出点 P 的坐标.

解答: 解:∵ 点 P 在直线 AB 上,| ∴ 点P分 成的比 λ= |=2| |,

=1 或﹣ .

设点 P(x,y) ,当 λ=1 时,则由定比分点坐标公式可得 x=

=3,y=

=1,故点 P 的坐标为(3,1) .

当 λ=﹣

时,则由定比分点坐标公式可得 x=

=1,y=

=﹣1,故点 P 的坐标

为(1,﹣1) . 故答案为 (3,1)或(1,﹣1) . 点评: 本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义,定比分点坐标公式的应用,体现了数形结合、分类讨论 的数学思想,属于基础题.

16. (5 分)已知函数 平移

,给出下列命题:① f(x)的图象可以看作是由 y=sin2x 的图象向左 )的图象保持纵坐标不变,横坐标缩小为原来的 而

个单位而得;② f(x)的图象可以看作是由 y=sin(x+

得;③ 函数 y=|f(x)|的最小正周期为 确的所有结论的序号)

;④ 函数 y=|f(x)|是偶函数.其中正确的结论是: ① ③ . (写出你认为正

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题. 分析: 利用三角函数的图象的平移原则,左加右减,上加下减,以及伸缩变换,判断① ② 的正误,求出函数的周期 判断③ 的正误;利用函数的奇偶性判断④ 的正误; 解答: 解: : ① 由 y=sin2x 的图象向左平移 个单位而得到 = ; 所以① 正确;
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② 由 y=sin(x+ 所以② 不正确;

)的图象保持纵坐标不变,横坐标缩小为原来的 而得到

的图象,

③ 函数 y=|f(x)|,函数的图象就是 对称中心在 x 轴,所以原函数的周期减半,最小正周期为 ④ 函数 y=|f(x)|= 是偶函数.④ 不正确. ,因为

,x 轴下部对称到 x 轴的上部, ;③ 正确; ,所以不

故答案为:① ③ . 点评: 本题考查三角函数的图象的平移变换,三角函数的基本性质,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知函数 y= (1)令 t=log2x,求 y 关于 t 的函数关系式,t 的范围. (2)求该函数的值域. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: (1)由 y=(log2x﹣2) ( = 结合对数函数的性质可求 t 的范围 (2)由 解答: = = ,结合二次函数的性质可求函数的值域 ﹣ log2x+1 (2≤x≤4)

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﹣ log2x+1,令 t=log2x,则可求 y 关于 t 的关系,

解: (1)∵ y=(log2x﹣2) ( 令 t=log2x, 则 ∵ 2≤x≤4 ∴ 1≤t≤2 (2)∵ = 时, =

由二次函数的性质可知,当 当 t=1 或 2 时,ymax=0 ∴ 函数的值域是

点评: 本题主要考查了对数函数的值域的求解,二次函数的值域的求解,属于二次函数与对数函数的综合考查 18. (12 分) 设平面 α∥ β, 两条异面直线 AC 和 BD 分别在平面 α、 β 内, 线段 AB、 CD 中点分别为 M、 N, 设 MN=a, 线段 AC=BD=2a,求异面直线 AC 和 BD 所成的角.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 证明题. 分析: 取 AD 的中点为 P,则 PM、PN 分别为三角形 ADB、三角形 DAC 的中位线, ,∠ MPN 即为异面直线 AC 和 BD 所成的角. 根据三边长,可得△ PMN 为等边三角形,∠ MPN=60°,即得答案. 解答: 解:连接 AD,取 AD 的中点为 P,连接 PM 和 PN,则 PM、PN 分别为三角形 ADB、三角形 DAC 的中位 线, ∴ PM∥ BD,PN∥ AC,∠ MPN 即为异面直线 AC 和 BD 所成的角.
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∵ PM=

=a,PN=

=a,MN=a,∴ △ PMN 为等边三角形,∴ ∠ MPN=60°,

即异面直线 AC 和 BD 所成的角为 60°. 点评: 本题考查异面直线所成的角的定义和求法, 找出, ∠ MPN 即为异面直线 AC 和 BD 所成的角, 是解题的关键. 19. (12 分)已知 M 为圆 C:x +y ﹣4x﹣14y+45=0 上任一点,且点 Q(﹣2,3) . (Ⅰ )若 P(a,a+1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (Ⅱ )求|MQ|的最大值和最小值; (Ⅲ )若 M(m,n) ,求 的最大值和最小值.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )由点 P(a,a+1)在圆 C 上,可得 a=4,即得到 P(4,5) . ,进而求出所以线段 PQ 的长及直线 PQ 的 斜率.
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(Ⅱ )由题意可得圆的圆心 C 坐标为(2,7) ,半径 根据圆的性质可得答案. (Ⅲ )可知

.可得



表示直线 MQ 的斜率,设直线 MQ 的方程为:y﹣3=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k+3=0,根据直线

与圆的位置关系可得 ,即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ )由点 P(a,a+1)在圆 C 上, 2 2 可得 a +(a+1) ﹣4a﹣14(a+1)+45=0,所以 a=4,P(4,5) . 所以
2 2


2 2



(Ⅱ )由 C:x +y ﹣4x﹣14y+45=0 可得(x﹣2) +(y﹣7) =8. 所以圆心 C 坐标为(2,7) ,半径 . 可得 因此 (Ⅲ )可知 , 表示直线 MQ 的斜率, , .

设直线 MQ 的方程为:y﹣3=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k+3=0, 则 .

由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 可得 所以 的最大值为 , ,最小值为 .



点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握圆的坐标方程及其一个的性质,并且熟练掌握直线与圆的位置关系的判定.

20. (12 分) (2007?江西)如图,函数 ,且在该点处切线的斜率为﹣2. (1)求 θ 和 ω 的值;

的图象与 y 轴交于点

(2)已知点 时,求 x0 的值.

,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当



考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;导数的运算. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)根据(0, )以及 θ 的范围,求 θ,利用导数和斜率的关系求 ω 的值;
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(2)利用点

,点 Q(x0,y0)求出 P,点 P 是该函数图象上一点,代入表达式,利用 ,求 x0 的值.



解答:

解: (1)将 x=0, 因为 ,所以

代入函数 y=2cos(ωx+θ)得 . ,所以 ω=2,



又因为 y'=﹣2ωsin(ωx+θ) ,y'|x=0=﹣2, 因此 (2)因为点 所以点 P 的坐标为 又因为点 P 在 因为 从而得 即 或 . ,所以 或 .

,Q(x0,y0)是 PA 的中点, . 的图象上,所以 , .





点评: 本题考查 y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,导数的运算,考查分析问题解决问题的能力,是中档题. 21. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上的增函数,令 g(x)=f(x)﹣f(2010﹣x) (1)求证 g(x)+g(2010﹣x)时定值; (2)判断 g(x)在 R 上的单调性,并证明; (3)若 g(x1)+g(x2)>0,求证 x1+x2>2010. 考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: (1)利用条件化简 g(x)+g(2010﹣x)=f(x)﹣f(2010﹣x)+f(2010﹣x)﹣f(x)=0,显然为定值. (2)f(x)在 R 上的增函数,设 x1<x2,化简(x1)﹣g(x2)为[f(x1)﹣f(x2)]+[f(2010﹣x2)﹣f(2010
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﹣x1)],小于 0,从而得到 g(x)在 R 上的增函数. (3)用反证法证明,假设 x1+x2≤2010,利用 g(x)在 R 上的增函数推出 g(x1)+g(x2)≤0,这与已知 g (x1)+g(x2)>0 矛盾,从而应有 x1+x2>2010. 解答: 解: (1)∵ g(x)=f(x)﹣f(2010﹣x) , ∴ g(x)+g(2010﹣x)=f(x)﹣f(2010﹣x)+f(2010﹣x)﹣f(x)=0 为定值. (2)g(x)在 R 上的增函数,设 x1<x2,则 2010﹣x1>2010﹣x2, ∵ f(x)是 R 上的增函数∴ f(x1)<f(x2) ,f(2010﹣x1)>f(2010﹣x2) 故 g(x1)﹣g(x2)=f(x1)﹣f(2010﹣x1)﹣f(x2)+f(2010﹣x2)=[f(x1)﹣f(x2)]+[f(2010﹣x2) ﹣f(2010﹣x1)]<0, 即 g(x1)<g(x2) ,∴ g(x)在 R 上的增函数. (3)假设 x1+x2≤2010,则 x1≤2010﹣x2 ,故 g(x1)≤g(2010﹣x2) , 又 g(2010﹣x2)=﹣g(x2) , ∴ g(x1)+g(x2)≤0,这与已知 g(x1)+g(x2)>0 矛盾, ∴ x1+x2>2010. 点评: 本题主要考查函数的单调性的判断和证明,函数的单调性的应用,属于中档题. 22. (12 分)设函数 f(x)=loga(1﹣x) ,g(x)=loga(1+x) (a>0 且 a≠1) . (1)设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,判断 F(x)的奇偶性并证明; (2)若关于 x 的方程 (3)若 a>1 且在 x∈[0,1]时, 有两个不等实根,求实数 m 的范围; 恒成立,求实数 m 的范围.

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的判断;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题. 分析: (1)求函数 F(x)的定义域,即是使得函数 f(x) ,g(x)都有意义的条件,利用函数奇偶函数的定义检 验 F(﹣x)与 F(x)的关系可判断函数的奇偶性;
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(2)原方程有两个不等实根即﹣x +x+2=1﹣m﹣x 有两个不等实根,其中
2 2

2

,从而进一步转化

为 x ﹣2x﹣1﹣m=0 在 x∈(﹣1,2)上有两个不等实根,构造函数 h(x)=x ﹣2x﹣1﹣m,可得

,从而可求实数 m 的范围;

(3)问题等价于 a>1 且 x∈[0,1]时

恒成立,所以 x∈[0,1]有

恒成立,故可求实数 m 的范围. 解答:

解: (1)

其中 ∴ x∈(﹣1,1) ∵

∴ F(x)为奇函数. (2)∵ 函数 f(x)=loga(1﹣x) ,g(x)=loga(1+x) ∴ ∵ 关于 x 的方程 ∴ ﹣x +x+2=1﹣m﹣x 有两个不等实根,且
2

有两个不等实根



可得
2

从而问题可转化为 x ﹣2x﹣1﹣m=0 在 x∈(﹣1,2)上有两个不等实根.
2

记 h(x)=x ﹣2x﹣1﹣m,对称轴 x=1,由



∴ ﹣2<m<﹣1 (3)f(m﹣2x)=loga(1﹣m+2x) , 即 a>1 且 x∈[0,1]时 恒成立

∴ x∈[0,1]有 由① 得 m<1

恒成立,

令 2 ∴ 由② 得 2t ﹣t﹣1>m 在 时恒成立 2 记 q(t)=2t ﹣t﹣1,则 q(t)min>m, ∵ 对称轴为 ∴ q(t)min=q(1)=0>m 综上 m<0 点评: 本题综合考查了对数函数的定义域的求解,对数的运算性质,函数奇偶性的判断,对数不等式的解法,牵 涉的知识比较多,但只要掌握基本知识、基本方法,问题就能迎刃而解.


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